Формула Лефшеца

В некоторых случаях мы приводим важные общие сведения в тексте без доказательства. Это случается, когда определенный результат органически связан с данным параграфом книги. Хороший пример такого результата — формула Лефшеца для числа неподвижных точек отображения. [c.15]

Хотя все упомянутые выше понятия являются глобальными, некоторые взаимоотношения между ними устанавливаются с помощью ключевого локального понятия индекса неподвижной (или периодической) точки отображения или неподвижной точки потока, которое отражает топологическое поведение отображения либо соответственно отображения сдвига за время t вблизи неподвижной точки. В частности, рассмотрение точек, имеющих отличный от нуля индекс, важно по ряду причин например, они не исчезают в результате С -возмущений системы. Центральным элементом для установления связи между упомянутыми понятиями служит формула Лефшеца, выражающая сумму индексов неподвижных точек через гомологические данные. Понятие индекса является основным и для теории Нильсена, которая позволяет оценить снизу число периодических точек через гомотопические данные. В следующей главе мы покажем, как понятия, связанные [c.314]

Замечание. В некотором смысле это седло может быть получено склейкой вместе трех простых седел индексов —1. Таким образом, индекс аддитивен в следующем смысле если поток (рд вложен в такое однопараметрическое семейство потоков что потоки имеют три простых седла ддя е > О, то 1ро естественным образом оказывается потоком с многократным седлом, полученным объединением трех простых седел, т. е. е = О — би( уркационное значение согласно определению из 7.3. Соответствующий пример дают гамильтоновы потоки гамильтонианов Н х,у) = ех + -Ь ху х -ь у) х - у), показанных на рис. 8.4.1 для е = О и е = 1/10. Таким образом, сумма индексов в этой ситуации сохраняется. Если мы вложим эту локальную картину в компактное многообразие, тогда этот факт окажется следствием формулы Лефшеца (теоремы 8.6.2). [c.329]

Формула Лефшеца и ее приложения [c.333]

При рассмотрении степени отображений окружности было установлено, что понятие степени может использоваться для доказательства существования (большого количества) периодических точек. По существу мы подсчитывали число точек пересечения графика нашего отображения со сдвинутой диагональю в произведении К х Й универсального накрывающего пространства на себя. Более сложный вариант того же соображения пригоден в большей общности и использует в качестве главного инструмента понятие индекса неподвижной точки. Мы имеем в виду формулу Лефшеца, связывающую действие отображения / на группах гомологий с суммой индексов неподвижных точек. Эта формула описывает глубокую связь между глобальным поведением отображения, проявляющимся при действиях на группы гомологий, и локальным поведением в неподвижных точках, представляемом их индексом. В частности, если известно, что индексы неподвижных точек не могут быть большими (например, благодаря теореме Шуба — Сулливана), мы, таким образом, получим нижнюю границу для числа неподвижных точек и, следовательно, для числа периодических точек итераций отображения /. [c.333]

Теорема 8.6.2 (формула Лефшеца). Пусть М — компактное многообразие, возможно с границей, и / М- М — непрерывное отображение, все неподвижные точки которого изолированы. Тогда [c.334]

Следующий критерий представляет собой наиболее очевидное применение формулы Лефшеца в динамике. [c.334]

ФОРМУЛА ЛЕФШЕЦА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 335 [c.335]

Таким образом, опираясь на формулу Лефшеца и следствия из нее, можно попытаться оценить скорость роста периодических орбит, а не просто установить факт их существования. Рассмотрим следующий типичный, конкретный пример (который мы уже обсуждали в п. 8.2 в), показывающий, как формула Лефшеца дает оценку на рост числа периодических точек. [c.335]

П р е р. Рассмотрим отображение / - S , z , на римановой сфере С = С и оо , т. е. на одноточечной комапктификации комплексной плоскости. Поскольку / покрывает сферу дважды, deg/ = 2. Следовательно, L (/ ) = 1+2" и, как было показано в 8.2, Р (/) = 2+2"-1 = 2 +1 = (/"). Это означает, что все периодические точки имеют одинаковый индекс. С другой стороны, известный нам контрпример не обладает таким большим количеством периодических точек, как можно было бы предположить, исходя из значения числа Лефшеца. Действительно, степень отображения д S , zi- z / 2 z ), равна двум. По формуле Лефшеца [c.336]

Этот пример показывает, в чем состоит трудность при использовании формулы Лефшеца для получения большого количества периодических точек одна периодическая точка может поглощать весь рост числа Лефшеца за счет отсутствия каких бы то ни было ограничений на индекс. Однако существование такой неподвижной точки, поглощающей рост числа Лефшеца, требует существенной негладкости g в оо. Теорема Шуба — Сулливана 8.5.1 показывает, что для дифференцируемых отображений последовательность ind . X ограничена равномерно по п для всех х. В такой ситуации часто бывает возможно доказать существование бесконечно большого количества периодических точек. В частности, теперь мы можем установить несколько следствий из предыдущих результатов н теоремы Шуба — Сулливана 8.5.1. [c.336]

С другой стороны, для отображений общего положения формула Лефшеца может быть использована для оценки роста числа периодических орбит. [c.337]

Без этого предположения существование каких-либо неподвижных точек не может быть гарантировано (см. упражнение 8.7.2). Наше первое наблюдение состоит в том, что индексы всех неподвижных точек преобразования Fj одинаковы и равны signdet(Id - Л) (предложение 8.4.6). Таким образом, по формуле Лефшеца L(F ) = signdet(Id—A) ardFix(i ). [c.338]

Чуть более длинные вычисления (по-прежнему несложные, поскольку все кривые, относительно которых мы осуществляем отражение, являются либо отрезками, либо дугами окружностей см. упражнение 9.2.7) показывают, что орбита 7, соответствует случаю гиперболической седловой орбиты индекса -1, а орбита 73, вопреки ожиданиям, не эллиптична, но соответствует случаю обратного седла (пятая строка таблицы из 8.4), индекс которого равен единице. Тогда сумма индексов по-прежнему равна нулю, как и в случае изолированной орбиты периода два в эллипсе, хотя структура второй орбиты в этом случае другая. Этот факт следующим образом согласуется с формулой Лефшеца (теорема 8.6.2). В окрестности границы, которую не посещает ни одна периодическая орбита данного периода, можно возмутить биллиардное отображение таким образом, чтобы получилось тождественное отображение. Затем, отождествляя компоненты границы получившегося кольца, мы получим тор, на котором биллиардное отображение порождает некоторое отображение, гомотопное линейному преобразованию [c.354]

В этом параграфе будет показано, что в случае диффеоморфизмов Аносова на торе структурная устойчивость приводит к глобальной классификации. Мы уже видели в 2.6, что в пределах гомотопического класса гиперболического автоморфизма любое отображение / (и, следовательно, любой диффеоморфизм Аносова) имеет линейную модель в качестве фактора. Сначала будет показано, что любой диффеоморфизм Аносова гомотопен линейному гиперболическому. Ключевую роль в доказательстве этого факта играют теорема 18.5.6 и формула Лефшеца (8.6.1). Затем мы докажем, что полусопряжение с линейнои моделью на самом деле инъективно, следовательно, является гомеоморфизмом. В качестве промежуточного результата, представляющего независимый интерес, покажем, что неблуждающее множество совпадает со всем тором. [c.588]

Доказательство формулы Лефшеца для неподвижных точек можно найти в [87] (теорема 5.10). Кроме того, эта книга содержит рад приложений данной формулы к динамическим [c.729]

Используйте формулу Лефшеца для числа неподвижных точек (теорема 8.6.2). [c.745]

Покажите, что индексы периодических точек любого данного периода равны, и используйте формулу Лефшеца для числа неподвижных точек. [c.745]

Для положения равновесия х индекс Кронекера (L. Кгопе-скег)—Пуанкаре равен вращению поля фазовой скорости на малой сфере, охватывающей х (с помощью локальных координат поле и сфера переносятся в R ). В топологии в этом случае говорят об индексе нуля векторного поля. Индекс ind (а, f) изо-,. лированной неподвижной точки а непрерывного отображения -f -.(необязательно гладкого) равен, в терминах локальных координат, индексу соответствующего нуля поля смещения f(x)—x. (Топологи часто берут индекс для поля х—f(x) тогда пропадает множитель (—1)" в формуле Лефшеца см. в) ниже). Индекс периодической (с периодом I) точки а отображения f равен ind(a,f ). Оказывается, что все точки f a имеют такой же Индекс, так что его можно приписать соответствующей периодической траектории. (Это очевидно, если f в точках этой траектории является локальным диффеоморфизмом. В общем случае можно использовать аппроксимационные соображения, сочетая [c.182]

Если взять за а сумму индексов Кронекера—Пуанкаре периодических точек периода i, то получится гомологическая дзета-функция, которую иногда называют ложной. Она легко вычисляется с помощью формулы Лефшеца в терминах отображений (1) i[781. [c.189]

Здесь определяются группы монодромни и связанные с ними понятия исчезающих циклов, диаграмм Дынкина и описываются формулы Пикара—Лефшеца. [c.53]

Система путей (ф1),..., <(фц) определяет базис исчезающих циклов г(Д1),..., ,(Дц), который выражается (при одном из возможных способов введения ориентации) через базис Дь .. т Дц формулами Пикара—Лефшеца. [c.69]

Исторически первым результатом, основанным на теории монодромии, является теорема Ньютона о неинтегрируемости плоских овалов в 4.1 мы доказываем многомерные обобщения этой теоремы и приводим несколько новых формул Пикара—Лефшеца, естественно возникающих в этой задаче. 4.2 посвящен теории лакун Петровского, изучающей регулярнбсть фундаментальных решений гиперболических уравнений в частных производных вблизи волновых фронтов. Помимо прочего, здесь мы доказываем обращение локального критерия Петровского для гиперболических операторов общего положения. [c.9]

При таком определении действие Ар на Н описьшается форл лей, повторяющей формулу обычного отображения Пикара Лефшеца Ар(а) = а—( —1) " > < а, б > [c.34]

Пусть Zi,..., z i, z — аффинная система координат с центром в а, такая что Xt = Zn = t , в частности y= z = 0). Рассмотрим функцию / от координат Zi,..., z как одиопараметри-ческую деформацию ф (zi,..., z i) =/ (Zi,..., z i, t) функции фо. Петля I соответствует окружности 1 U ==е в базе Qt) этой деформации. Если особенность а дивизора А была изолированной, то петля I лежит в недискрнмннантном множестве оператор Var для нее вычисляется по стандартным формулам. Пикара—Лефшеца (см. [22, 2.1]). [c.178]

Обычная формула Пнкара—Лефшеца (см. [22, 2.1]) немедленно выводится из приведенных теорем индукцией с основанием г=0 (нлн, что нагляднее, г=1). [c.182]

Пример 1 (см. посЛеДНЮк) теорему п. 2.8). Пусть а — неособая точка дивизора А, У — плоскость, касательная к А в точке а. X — близкая некасательная плоскость. Тогда из нетривиальности класса х.у) (или, эквивалентно, И. х, у)) следует диффузность со стороны соответствующей компоненты дополнения к фронту. Это утверждение аналогично теореме п. 1.10, в обозначениях из п. 1.10 она доказывается следующей последовательностью рассуждений. Группа Н -г(Х А В) лорождается циклами Л,-, исчезающими прн подходе в прямой L X ) к критическим значениям функции ф. Из двойственности Пуанкаре следует, что найдется исчезающий цикл Д,, такой что в Л ГИ П-0 индекс пересечения не равен нулю. Из формулы Пикара—Лефшеца следует, что соответствующая петля в прямой L X ) добавляет к циклу Х1(х,у) исчезающий цикл Д,- с ненулевым коэффициентом. Наконец, для любого исчезающего цикла найдется подходящая форма A (Jt, V,-Р), интеграл которой по двойной трубке i<>i(Aj)6 [c.199]

Замечания о реализации алгоритма. А. Все явные формулы для преобразований П1—П7 вытекают из формул Пикара—Лефшеца и формул (1), (2), см. также [35, 4,5]. Из всех этих преобразований только П1 и П2 приводят к изменению локальных классов Петровского, при ПЗ—Пб пространства Я 1(У() для начального и конечного значения t естественно отождествляются (при помощи связности Гаусса—Манина , см. [22]) это отождествление уважает классы Петровского, при этом (как и в случае П7) преобразование набора дискретных характеристик сводится просто к замене базисов исчезающих циклов в соответствующих пространствах. Скачок класса Петровского при операциях П1, П2 состоит в добавлении к нему взятого с нужным знаком исчезающего цикла, соответствующего критическому значению, перепрыгивающему через О (см. [182], [35]). [c.237]

Для доказательства достаточно рассмотреть типичные (неособые) точки дискриминанта. В такой точке вырождение слоя V , имеет мор-совский тип, и, следовательно, ветвление на цикле описывается формулами Пикара-Лефшеца. [c.99]

Естественные стратификации пространств функций и отображений существуют как в вещественном, так и в комплексном случае. Топологические свойства зтих стратификаций важны во многих приложениях теории особенностей например, в теории лакун Петровского для гиперболических уравнений (см. [120]-[122], [80]). Например, возможность акустической связи в нашем 3-пространстве (и невозможность таковой в 2-пространстве) объясняется различием знаков в формуле Пикара-Лефшеца, описывающей ветвление интегралов в комплексной области. [c.132]

Доказательство формул (Dis 1). Достаточно (как и в [29]) применить формулу Пикара — Лефшеца и формулу вычетов Лере. Класс ht локально может быть представлен (при соглашениих, принятых в п. А. ИГ. 2.2) как векторное поле, трансверсальное к Sii и, следовательно, трансверсальное к границе клетки Иц, и легко видеть, что эта клетка представлиет собой сток или источник векторного поля, если е а . О Vi или, соответственно, 0 Vi(oHa не является ни стоком, ни источником, если не все ег имеют одинаковый знак). Для индекса пересечения (е I (применяя рассуждения, аналогичные рассуждениям работы [29], гл. П, пример 7.4) получаем следующие значения [c.137]

Остается лишь подставить эти значения в формулу Пикара — Лефшеца. В случае е .а. О V/ необходимо иметь в виду, что мы начинаем со значения интеграла J t) (действительно, именно этот интеграл берется по почти вещественному циклу ht) и что J t) получается из него при помощи обхода вокруг t в отрицательном направлении. Следовательно, надо применить формулу Пикара — Лефшеца наизнанку . [c.137]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...