Лефшеца число

В некоторых случаях мы приводим важные общие сведения в тексте без доказательства. Это случается, когда определенный результат органически связан с данным параграфом книги. Хороший пример такого результата — формула Лефшеца для числа неподвижных точек отображения. [c.15]

Некоторые из алгебраических данных индексного типа (см. 8.4) могу] быть определены не только для изолированных неподвижных точек, но посредством правильного обобщения, и для этих связных компонент. Та КИМ образом, глобальная топологическая информация для диффеоморфиэ MOB Артина — Мазура может быть получена при помощи аналога формулк Лефшеца. Подобным образом, можно изменить определение (3.1.3) дзета функции, связанной с ростом числа периодических орбит (см. п. 4.1 а), так чтобы включить все связные компоненты множества периодических точек. Для диффеоморфизмов Артина — Мазура эта измененная дзета-функция имеет положительный радиус сходимости. [c.312]

Хотя все упомянутые выше понятия являются глобальными, некоторые взаимоотношения между ними устанавливаются с помощью ключевого локального понятия индекса неподвижной (или периодической) точки отображения или неподвижной точки потока, которое отражает топологическое поведение отображения либо соответственно отображения сдвига за время t вблизи неподвижной точки. В частности, рассмотрение точек, имеющих отличный от нуля индекс, важно по ряду причин например, они не исчезают в результате С -возмущений системы. Центральным элементом для установления связи между упомянутыми понятиями служит формула Лефшеца, выражающая сумму индексов неподвижных точек через гомологические данные. Понятие индекса является основным и для теории Нильсена, которая позволяет оценить снизу число периодических точек через гомотопические данные. В следующей главе мы покажем, как понятия, связанные [c.314]

При рассмотрении степени отображений окружности было установлено, что понятие степени может использоваться для доказательства существования (большого количества) периодических точек. По существу мы подсчитывали число точек пересечения графика нашего отображения со сдвинутой диагональю в произведении К х Й универсального накрывающего пространства на себя. Более сложный вариант того же соображения пригоден в большей общности и использует в качестве главного инструмента понятие индекса неподвижной точки. Мы имеем в виду формулу Лефшеца, связывающую действие отображения / на группах гомологий с суммой индексов неподвижных точек. Эта формула описывает глубокую связь между глобальным поведением отображения, проявляющимся при действиях на группы гомологий, и локальным поведением в неподвижных точках, представляемом их индексом. В частности, если известно, что индексы неподвижных точек не могут быть большими (например, благодаря теореме Шуба — Сулливана), мы, таким образом, получим нижнюю границу для числа неподвижных точек и, следовательно, для числа периодических точек итераций отображения /. [c.333]

Необходимая информация относительно действия отображения / на группах гомологий заключена в числе Лефшеца /. [c.334]

Для многообразий с особенно простой структурой групп гомологий число Лефшеца может легко вычислено. Например, для отображений сферы мы получаем следующий результат, который полезно сравнить с некоторыми фактами, установленными при обсуждении понятия степени для отображений 5, в частности с полученным выражением для числа периодических точек. [c.335]

Таким образом, опираясь на формулу Лефшеца и следствия из нее, можно попытаться оценить скорость роста периодических орбит, а не просто установить факт их существования. Рассмотрим следующий типичный, конкретный пример (который мы уже обсуждали в п. 8.2 в), показывающий, как формула Лефшеца дает оценку на рост числа периодических точек. [c.335]

П р е р. Рассмотрим отображение / - S , z , на римановой сфере С = С и оо , т. е. на одноточечной комапктификации комплексной плоскости. Поскольку / покрывает сферу дважды, deg/ = 2. Следовательно, L (/ ) = 1+2" и, как было показано в 8.2, Р (/) = 2+2"-1 = 2 +1 = (/"). Это означает, что все периодические точки имеют одинаковый индекс. С другой стороны, известный нам контрпример не обладает таким большим количеством периодических точек, как можно было бы предположить, исходя из значения числа Лефшеца. Действительно, степень отображения д S , zi- z / 2 z ), равна двум. По формуле Лефшеца [c.336]

Этот пример показывает, в чем состоит трудность при использовании формулы Лефшеца для получения большого количества периодических точек одна периодическая точка может поглощать весь рост числа Лефшеца за счет отсутствия каких бы то ни было ограничений на индекс. Однако существование такой неподвижной точки, поглощающей рост числа Лефшеца, требует существенной негладкости g в оо. Теорема Шуба — Сулливана 8.5.1 показывает, что для дифференцируемых отображений последовательность ind . X ограничена равномерно по п для всех х. В такой ситуации часто бывает возможно доказать существование бесконечно большого количества периодических точек. В частности, теперь мы можем установить несколько следствий из предыдущих результатов н теоремы Шуба — Сулливана 8.5.1. [c.336]

С другой стороны, для отображений общего положения формула Лефшеца может быть использована для оценки роста числа периодических орбит. [c.337]

Вычислите число Лефшеца для отображений окружности. [c.337]

Прежде чем перейти к общему доказательству ограниченности числа периодических точек числом Лефшеца, посмотрим, что происходит с возмущениями линейных отображений. По предложению 1.1.4 любая периодическая точка PJ сохраняется при достаточно малых С -возмущениях и ее индекс также не меняется. Замечательно, что если преобразование А гиперболическое, то достаточно малое возмущение сохраняет индексы всех периодических точек. Это можно показать следующим образом в силу структурной устойчивости (теорема 2.6.3 для двумерного случая, которая дословно переносится на случай произвольной размерности) число Р (/) точек периода п постоянно для любого отображения /, достаточно близкого к и по следствию 6.4.7 они все гиперболические и, следовательно, все имеют одинаковый индекс, поскольку L(/) = L( ). [c.339]

Вычислите число Лефшеца преобразования и найдите p(i ) для любой целочисленной матрицы А, используя определение 8.6.1. [c.340]

В этом параграфе вводится ряд понятий из теории гомологий, которые нужны нам при определении степени отображения и обсуждении числа Лефшеца. [c.716]

Используйте формулу Лефшеца для числа неподвижных точек (теорема 8.6.2). [c.745]

Покажите, что индексы периодических точек любого данного периода равны, и используйте формулу Лефшеца для числа неподвижных точек. [c.745]

Замечание. Эта алгебраическая кратность т в топологии известна как число Лефшеца неподвижной точки. Для любого непрерывного отображения f M M компактного п-мерного многообразия в себя в случае, когда число неподвижных точек конечно, числа Лефшеца этих точек определены, и их сумма в терминах групп гомологий выражается так [c.170]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...