Неприводимые представления и чистые состояния

Неприводимые представления и чистые состояния [c.110]

Теперь мы хотим доказать, что неприводимые представления — это именно те представления, которые в конструкции ГНС порождаются чистыми состояниями. Докажем сначала следующую лемму ) [c.115]

Пользуясь этой леммой, мы можем теперь доказать сформулированную ранее теорему, которая устанавливает связь между чистыми состояниями и неприводимыми представлениями. [c.117]

Следствие. Всякий вектор состояния, ассоциированного с неприводимым представлением я С -алгебры Si, является чистым. [c.118]

Неприводимое представление 111 Неприводимые представления и чистые состояния ПО [c.417]

Поскольку РфО, мы уже знаем, что РФ Ф О, где Ф — циклический вектор, соответствующий ф, а РФ — циклический вектор рассматриваемого подпредставления. Если бы это подпредставление не было неприводимым, то в коммутанте нашелся бы оператор проектирования Q, такой, что О ф Q с Р, а это противоречило бы минимальности оператора проектирования Р. Следовательно, (Я) Р — неприводимое представление и состояние ф из 23(р, определяемое соотношением (ф Р) = = (Ф, РЛф (Р) Ф)/ РФ р, чисто. Предположим теперь, что в существует вектор такой, что состояние (ф Р) = (Ч Лф (Р) Ч ) чисто на 9 . Пусть Рхр — оператор проектирования на 3X (9 ) Ч . Мы уже видели, что Рхр принадлежит коммутанту зх , (9J). Если бы в Лф(9 ) нашелся оператор проектирования Q, такой, что О ф Q Рцг, то представление (9i) Р г не было бы неприводимым вопреки предположению о том, что ф — чистое состояние. Итак, теорема доказана. [c.180]

Доказательство. Поскольку ф —чистое состояние, представление Яф неприводимо и, следовательно, алгебраически неприводимо, т. е. среди линейных многообразий в Ж относительно Яф устойчивы лишь 0 и само пространство Ж . — устойчивое линейное многообразие в Жщ. Поскольку же оно плотно в Жщ, из алгебраической неприводимости представления Яф следует, что 91ф совпадает с Ж,f. й [c.118]

Доказательство. Для каждого чистого состояния ф из < представление я неприводимо и, следовательно, заведомо при-марио. На основании предыдущей леммы мы заключаем, что для любого вектора Ф е справедливо равенство (Ф, Яд [/ 5] Ф) = = (Ф, Яд [/ ] Яд [5] Ф) и, в частности, (ф [У ] [5]) = 0. [c.211]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...