Теорема о семействах е-траекторий

Теорема 18.1.3 (теорема о семействах е-траекторий). Пусть М — риманово многообразие, с/ — расстояние, индуцированное римановой метрикой, множество I/ сМ открыто, II М — -диффеоморфизм и Каи —компактное гиперболическое множество /. [c.567]

Теорема 18.1.7 (теорема о семействах е-траекторий для потоков). Пусть М — риманово многообразие, d — расстояние, индуцированное римановой метрикой, — гладкий поток и А — компактное гиперболическое множество для <р . Тогда существуют такая окрестность и(А)эА множества А и такие числа е , 5 > О, что для всех 5 >0 найдется е >0 со следующим свойством. [c.570]

Покажите, что теорема о семействах е-траекторий не выполняется для отображения сдвига за единичное время градиентного потока для отрицательной величины функции высоты на вертикальном торе. [c.572]

Теорема о семействах е-траекторий используется непосредственно, чтобы установить ряд свойств, показывающих, что динамика на гиперболическом множестве устойчива, имеет определенную структуру и, вообще говоря, богата. Прототипом такого результата служит следствие 6.4.19 леммы Аносова о замыкании (теорема 6.4.15). В этом параграфе мы докажем еще два основных результата такого типа. [c.572]

Замечание. Утверждение единственности из теоремы о семействах е-траекторий используется здесь вместо свойства разделения в доказательстве теоремы 2.6.3. [c.573]

Использование теоремы о семействах е-траекторий 18.1.7 для потоков с помощью аналогичных рассуждений позволяет получить сильную структурную устойчивость гиперболических множеств потоков. [c.573]

Теорема о семействах е-траекторий в такой общей форме принадлежит Аносову [18]. Доказательство было опубликовано в статье Катка из книги [12]. Мы следуем этому доказательству при изложении данного результата и его непосредственных следствий. [c.735]

Эта теорема (см. [Н, 5.1]) может быть доказана с помощью весьма общей и глубокой теоремы Д. В. Аносова о семействах е-траекторий, упрощенный вариант которой мы сейчас приведем (в полном объеме эту теорему вместе с доказательством и следствиями см. в [8]). [c.212]

Доказательство. В доказательстве мы трижды используем теорему о семействах е-траекторий (теорему 18.1.3). Сначала выберем такое бд < 6, как в этой теореме, и, применяя ее с е < ,/2, = А, а = И д и д = получим единственное такое отображение /3 Л—> 7(Л), что /3 о/ = / о По предложению 6.4.6 множество Л = 3 А) гиперболическое. [c.572]

Затем, в главе 6, мы получили частичные результаты общего характера, например предложение 6.4.6, утверждающее, что для возмущения / диффеоморфизма / с гиперболическим множеством А существует такая окрестность и множества Л, что любое / -инвариантное подмножество и гиперболично для /. Тогда, однако, не было ясно, существует ля вообще какое-нибудь инвариантное нетривиальное множество в этой окрестности. Теорема о семействах е-траекторий, доказанная в предыдущем параграфе, позволяет доказать существование такого / -инвариантного множества, го-меоморфного А. В то же время опадает топологическое сопряжение. Таким образом, мы получаем структурную устойчивость, более того, даже сильную структурную устойчивость (определение 2.3.4). [c.572]

Теперь используем относящуюся к единственности часть теоремы о семействах е-траекторий в случае /=/, когда, ивиальн обратом, ао/ = = / о а и в то же вр я, как доказано выше, /3 о / = / о 9, 3 = к о 3. [c.573]

Доказательство. Пусть 5 > е > О выбраны как в теореме о семействах е-траекторий. Рассмотрим множество Л =. ..,, — открытое покрытие множества Л с с11ат(Х ) < е/2 и с11ат(/(Х )) < е/2 для всех i. Определим для i,j е О,..., Н — 1 следующим образом A j = 1, если i(X ) П Ху 5" 0, и A j = О в противном случае. Выберем точки р,. и определим отображение а —>Л равенством а ш) = р . [c.573]

Заметим, что отображение а непрерывно если ш, ш близки, то = И, следовательно, а(и) = а(ш ). В силу выбора p и X, существует точка X е /(Х )П и, следовательно, (а а ш)),/(а(ш))) = = /(Рч,)) а )- -й( х, /(р )) < е/2-Ье/2, откуда со(аа , /а) < е. По теореме о семействах е-траекторий е-орбиты а(а (ш)) = р 5-прибли-жаются орбитами Р(ш), где /3 е С°(а ,А) и PaJ = f 3. Отображение /3 сюръективно если ж Л, выберем ш так, что / (х) е Тогда как точка X, так и 13(ш) 5-приближают ( ( (а ))). и, следовательно, в силу единственности они совпадают. Поскольку а(Д а) <5, диаметр образов базисных цилиндров 2 1 = а (р ) под действием полусопряжения /3 не превосходит 25. [c.574]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...