Метод Ритца — Тимошенко

Установленная здесь классификация не является общепринятой. Одни авторы считают прямыми те методы, которые приводят краевую задачу теории упругости к алгебраическим уравнениям, относя к этим методам и соответствующие вариационные методы (Ритца — Тимошенко, Бубнова — Галеркина) другие считают прямыми вое приближенные методы и т. д. [c.9]

Методы Ритца (1908 г.)—Тимошенко (1910 г.), Бубнова <1913 г.) — Галеркина (1915 г.), и Треффца (1933 г.) предлагают различные способы приближения к действительному значению на основе приведенных выше вариационных принципов. По методу Власова (1Й6 г.) — Конторовича (1942 г.) решение задается з форме [c.12]

При использовании вариационных методов большое значение имеет оценка полученных результатов по отношению к действительным значениям. Известно, что метод Ритца — Тимошенко дает приближение к действительному значению сверху, а метод Треффца снизу относительно других вариационных методов этот вопрос [c.14]

Прямоугольная пластинка (aXb), свободно опертая по контуру, находится под действием сосредоточенной силы Р, приложенной в центре пластинки. Пользуясь методом Ритца—Тимошенко, найти прогиб под силой. [c.21]

Большую популярность за последнее время приобрел в а р и а ц и о н н ы й мет о д В. 3. Власова. В этом методе искомая функция зависит от двух переменных и удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных (например, прогиб в задаче об изгибе упругой пластинки). Эта функция выражена в виде произведения двух функций, из которых одна представляет заданную функцию от одного переменного, д другая — искомую функцию от другого. Вместо искомых постоянных коэффициентов, рассматриваемых в методе Бубнова — Галеркина (а также в методе Ритца — Тимошенко) и определяемых линейными алгебраическими уравнениями, в вариационном методе Власова, построенном на прямом применении принципа возможных перемещений, рассматривается система искомых функций. [c.65]

Это обстоятельство было впервые отмечено И. Г. Бубновым [97] при анализе задачи об устойчивости пластинки, решение которой на основе метода Ритца было получено С. П. Тимошенко. В дальнейшем Б. Г. Галер-кин [108] заметил, что существование эквивалентной вариационной задачи не является необходимым для данного алгоритма и, следовательно, ограничение, вводимое при анализе вариационными методами (а именно требование, чтобы оператор i4 был положительно определенным), становится излишнни. [c.154]

Методы Рэлея (1877), см. уравнения (4.57)—(4.61), Ритца (1908) — Тимошенко (1910), Бубнова (1913) — Галеркина (1915) и Треффца (1933) предлагают различные способы приближения w к действительному значению на оснтзе приведенных выше вариационных принципов. По методу В. 3. Власова (1946) —Л. В. Канторовича (1942) решение задается в форме ряда [c.11]

При использовании вариационных методов большое значение имеет оценка полученных результатов по отношению к действительным значениям. Известно, что метод Ритца —Тимошенко дает приближение к действительному значению сверху, а метод Треффца—снизу относительно других вариационных методов этот вопрос остается открытым. В 1970 г. Б. Ф. Власовым [21] предложен метод двусторонних оценок по энергии, между которыми должны лежать действительные значения искомой функции. [c.14]

Точность решения можно повысить, если принять уравнение поверхности, зависящей от нескольких параметров выражения (а), т. е. применить метод Ритца — Тимошенко. [c.20]

Если пластинка не имеет двух противоположных шарнирно опертых краев, то прогиб не может быть представлен рядом (а) и точное решение сильно осложняется. В последнем случае часто применяют приближенные методы—вариационные методы Ритца —Тимошенко, Бубнова — Галеркина, Треффца, Власова — Канторовича, метод конечных разностей и т. д. [c.121]

Постоянные параметры а,- выбирают из условий, чтобы функция (8.1) по возможности точнее представляла искомую функцию w(x, у). Из различных методов отыскания постоянных параметров й рассмотрим два метод Ритца —Тимошенко и метод Бубнова—Галеркина. [c.153]

Метод Ритца —Тимошенко основан на использовании известного из курса теоретической механики принципа возмо жных перемещений для того, чтобы система, подчиненная идеальным [c.153]

Таким образом, метод Ритца—Тимошенко позволяет заменить задачу о нахождении решения дифференциального уравнения (7.17) задачей о нахождении минимума потенциальной энергии. Такая замена возможна в связи с тем, что как дифференциальное уравнение изгиба пластинки (7.17), так и вариационное уравнение (з) являются уравнениями равновесия упругого тела. Покажем, что вариационное уравнение (з) включает в себя дифференциальные уравнения равновесия и условия на поверхности. Рассматривая вариационное уравнение (з) в форме [c.157]

Таким образом, решение задачи об изгибе пластинки методом Ритца — Тимошенко состоит в следующем. Приближенное значение функции прогибов о)(х, у) выбираем в форме двойного ряда [c.159]

Следует заметить, что, хотя удовлетворение статических граничных условий в методе Ритца — Тимошенко необязательно, лучше по возможности выбирать функции так, чтобы они удовлетворяли всем граничным условиям как геометрическим, так и статическим. В этом случае ряд быстрее сходится к точному решению, а при вычислениях бывает достаточно ограничиться одним-двумя членами ряда. [c.159]

Пример решения задачи методом Ритца — Тимошенко [c.169]

Для иллюстрации метода Ритца— Тимошенко рассмотрим изгиб прямоугольной пластинки, шарнирно опертой по контуру и нагруженной равномерно распределенной нагрузкой (рис. 58). Приближенное выражение функции прогибов выбираем в виде ряда [c.169]

Решение задачи о выпучивании пластинки под действием касательных сил в ее срединной плоскости в конечном виде очень сложно, поэтому воспользуемся одним из вариационных методов— методом Ритца—Тимошенко. Согласно этому методу уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки при ее выпучивании следует искать в виде ряда, каждый член которого должен удовлетворять хотя бы геометрическим граничным условиям. [c.197]

Решение системы (10.54) представляет большие трудности, поэтому целесообразно применять вариационные методы решения метод Бубнова—Галеркина или метод Ритца—Тимошенко. [c.252]

Вариациопные принципы и основанные на них вариационные методы играют важную роль в механике деформируемого твердого тела как в части получения дифференциальных уравнений задач, так и в части построения приближенных решений. К методам получения прнближеш1ых решений относятся методы Ритца — Тимошенко, Канторовича — Крылова, Бубнова — Галеркина и др. В основе всех этих методов лежат излагаемые ниже вариационные принципы в той или иной их комбинации. Хотя получение приближенных решений на основе этих методов при наличии мощных ЭВМ постепенно отходят на второй план, они все еще находят применение. В процессе применения ЭВМ на подготовительном этапе есть необходимость задачу интегрирования систем дифференциальных уравнений свести к задаче решения систем алгебраических уравнений. В этой части вариационные методы завоевывают все более и [c.186]

Таким образом, метод Бубнова—Галеркина, как и метод Ритца— Тимошенко, исходит из принципа возможных перемещений, поэтому оба метода равноправны. В обоих случаях аппроксимирующую функцию необходимо выбирать так, чтобы она удовлетворяла геометрическим граничным условиям. Выполнение статических условий не обязательно. [c.158]

Для иллюстрации метода Ритца—Тимошенко рассмотрим изгиб прямоугольной пластинки, шарнирно опертой по контуру и находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки (рис. 72). Приближенное выражение функции прогибов принимаем в виде ряда [c.164]

Решение системы (10.47) представляет большие трудности, поэтому целесообразно применять вариационные методы решения метод Бубнова—Галеркина или метод Ритца—Тимошенко. Рассмотрим решение задачи для пологой оболочки методом Бубнова—Галеркина в форме, разработанной для оболочек В. 3. Власовым. [c.214]

Эффективность методов Релея — Ритца и Тимошенко во многом зависит от удачного выбора аппроксимирующих функций. Точность решения возрастает с увеличением числа функций. Приближение к истинной величине нагрузки происходит сверху. Увеличивая число свободных параметров в искомых функциях, оболочке придают лишние степени свободы, что и способствует уточнению результатов, так как оболочка вообще является системой с бесконечным числом степеней свободы. [c.81]

Методы Релея — Ритца и Тимошенко широко используются. Обоснованию и развитию их посвящено большое количество работ (см. [5.1]). [c.81]

В тех случаях, когда не удается подобрать систему координатных функций, удовлетворяющих всем граничным условиям, в методе Релея — Ритца и Тимошенко можно потребовать, чтобы ряд (2.1) в целом удовлетворял граничным условиям. Полученные дополнительные условия вместе с минимизацией энергии или усилия приводят к изопериметрической задаче. В эгом случае используется метод неопределенных множителей Лагранжа [6.26]. [c.81]

Для равномерно нагретой по толщине конической подъемистой оболочки в работе [14] методом Ритца-Тимошенко получена формула для критического напряжения осевого сжатия. Обобщением ее на случай неравномерно нагретой по толщине оболочки будет формула, по виду совпадающая с (5.3), однако в последней [c.107]

В отличие от предыдущих примеров здесь, вследствие наличия в исходном выражении возможной формы упругой линии большего количества параметров, задача привела к иной ее постановке. Эти параметры не выходят общим множителем левой части уравнения, выражающего условие безразличного равновесия, в правой части которого будет стоять нуль, а потому критическое значение внешней силы Р не определяется сразу, а выражается через эти параметры (вернее, через их отношения). Таким образом величина критической силы остается неопределенной и может быть найдена из условия, что параметры должны принять такие значения, при которых переход от устойчивой к неустойчивой форме равновесия, совершающийся через состояние безразличного равновесия, произэйдгт при наименьшем значении силы Р. В такой постановке проблемы проф. С. П. Тимошенко предложил свой способ применения метода Ритца в задачах устойчивости (см. Об устойчивости упругих систем , Киев 1910). Прим. ред. [c.312]

В этот очерк не включены приближенные способы решения, основанные на применении вариационных принципов (методы Ритца — Тимошенко, Галеркина, Канторовича). Практика их применения развита в монографии Л. С. Лейбензона (1951). Большое число исследований посвящено изучению сходимости вариационных методов и оценкам погрешности (в ряде случаев двусторонним) приближенных решений (С, Г. Михлин, М. Г. Слободянский). [c.17]

Сущность предлагаемого метода заключается в том, что уравнение пространственной формы равновесия задается в виде упругой линии рассматриваемой полосы под действием какой-либо поперечной нагрузки. Далее, путем привлечения дифференциальных уравнений равновесия аппроксимирующее уравнение уточняется. На основе уточненных уравнений прогибов и углов закручивания вычисляется энергия деформаций и работа внешних сил и определяется критическое значение нагрузок. Полученные результаты оказываются достаточно близкими к точным значениям и объем вычислительной работы меньше, чем при использовании других приближенных методов — Ритца, Тимошенко, Бубнова — Галеркнна. [c.269]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...