Уравнение амплитуды колебани функций

Уравнение малых колебаний маятника в конечной форме (125.82) является периодической функцией ф от t. Это уравнение описывает колебательное движение с амплитудой А, начальной фазой е, которые на основании формулы (125.83) зависят от начальных условий, и периодом т = 2яй. [c.188]

При изучении звуковых волн в 64 амплитуда колебаний в волне предполагалась малой. В результате уравнения движения оказывались линейными и могли быть легко решены. Решением этих уравнений является, в частности, функция от X t (плоская волна), что соответствует бегущей волне с профилем, перемеш,ающимся со скоростью с без изменения своей формы (под профилем волны понимают распределение различных величин — плотности, скорости и т.п. — вдоль направления ее распространения). Поскольку скорость v, плотность р и давление р (как и другие величины) в такой волне являются функциями от одной и той же комбинации л t, то они могут быть выражены как функции друг от друга в виде соотношений, не содержащих явно ни координаты, ни времени (например, р — = р(р), d = у(р) и т. д.). [c.526]

Таким образом, исследованное положение равновесия (минимум потенциальной функции) соответствует на фазовой плоскости особой точке, называемой особой точкой типа центр, и отвечает положению равновесия, относительно которого система может совершать колебания, близкие к гармоническим или точно гармонические. Для представления на фазовой плоскости таких движений характерно наличие семейства замкнутых фазовых траекторий, окружающих центр, причем они (за исключением специальных случаев зависимости потенциальной функции от координаты в окрестностях данной особой точки) всегда стремятся к эллипсам при уменьшении амплитуды колебаний. Для рассматриваемого случая можно из уравнения (1.1.6) получить после ряда простых выкладок выражение для периода колебаний [c.19]

Графическое рассмотрение полученного уравнения позволяет найти качественные особенности амплитуды колебания утроенной частоты Дд. Перепишем уравнение (3.4.14) в виде дз = —Ва — , и построим график левой и правой частей этого уравнения в функции Д). [c.110]

В заключение этого параграфа обсудим справедливость допущения о том, что дf/дt //". Вследствие этого допущения функция тока зависит от времени параметрически. Эта зависимость обусловлена тем, что отношение р /р, являясь функцией температуры и концентраций компонентов, зависит от времени. Поскольку амплитуда колебаний безразмерной температуры А0 1 (рис. 7.7.6), изменение величины р /р обусловленное этими колебаниями, мало. Действительно, используя уравнение состояния (7.7.8), находим [c.411]

Описываемое этим уравнением колебание уже не является периодическим, каким было рассмотренное выше свободное колебание. Признаком этого является то, что время t входит в формулу (19.5) в качестве векового члена (т.е. не только под знаком тригонометрической функции). При t оо амплитуда колебания приближается к представленной на рис. 31 величине С = оо при и = loq. [c.139]

При условии, что корни уравнения (6.77) действительны (б < 6J, уравнение (6.82) описывает две кривые, ограничивающие область динамической неустойчивости. Используя функцию АК для нашего примера, легко заметить, что в системе координат (В, С] уравнения (6.82) отображаются двумя прямыми (рис. 82). Отрезок соответствует ширине области динамической неустойчивости при отсутствии нелинейностей или при j 0. Если рабочий режим оказался в этой зоне при достаточно малых амплитудах (точка Ni), то амплитуда колебаний, возрастая, [c.282]

Уравнение (I. 76) показывает, что в данном случае частота свободных колебаний будет функцией амплитуд колебаний обоих концов балки, так как Со р и i p определяются величинами указанных амплитуд. [c.30]

При графическом решении параметр а в уравнении (I. 105) закрепляют и строят правую и левую части уравнения как функции (0. находят соответствующие амплитуды колебаний ([ г (О- Затем следует взять новое значение а и для него опять найти соответствующую амплитуду вынужденных колебаний балки в точке нелинейной опоры 11 2 (1) и т. д. Параметр а следует брать в интересующем нас диапазоне частот внешней возмущающей силы. Таким методом и следует строить резонансную кривую для точки балки, расположенной в точке нелинейной опоры (фиг. 23). Из фигуры [c.44]

После того как при фиксированной частоте возмущающей силы найдены коэффициенты С, D по уравнениям (I. 130), по формулам (I. 123) легко найти остальные коэффициенты А ц В. Далее по формулам (I. 116) и (I. 117) найдем соответствующие данному значению со функции ф и г[). Через эти функции сразу же определятся и соответствующие амплитуды колебаний балки [c.51]

Выделение вибрационных функций из регулярных членов приведено в гл. IV и V. Для расчета конструкции на прочность необходимо знать статистические характеристики амплитуды колебаний. Для определения функции распределения в стационарном режиме w A, t) = Щт А) необходимо в уравнение (6.18) положить dw/dt = О и при интегрировании учесть, что поток вероятности постоянен и при А = О равен нулю. В результате вычислений получим [c.238]

Известно, что отношения амплитуд вынужденных колебаний при резонансе полностью совпадают с собственной формой системы. Поэтому относительные значения амплитуд на резонансной частоте можно найти из формы на этой частоте. Тогда критерии качества Ф и будут функциями не абсолютных значений амплитуд на резонансах, вычисленных из уравнений вынужденных колебаний системы с учетом диссипативных сил, а функциями относительных значений амплитуд, полученных из собственных форм. [c.49]

Таким образом, согласно уравнению (227) осредненное поле скоростей является функцией относительной амплитуды колебания скорости г и критерия Sh. [c.95]

Решение (9) относительно скоростей 0Di(/) и ( >2 t) получено при отбрасывании в уравнениях (11) и (12) членов, содержащих координаты Z и z. Теперь остается лишь подставить это решение в уравнения (13) и (14) и решить получающиеся в результате уравнения относительно координат гиг. Для облегчения этого пренебрежем малыми величинами р и р тогда уравнения оказываются несвязанными . Одновременно примем для величин D п D эквивалентные выражения силы вязкого трения. Последнее допущение позволяет получить приближенное решение уравнений (13) и (14) без ограничения закона демпфирования каким-либо одним определенным выражением. Все критические свойства нелинейной природы демпфера сохранятся при условии, что эквивалентная приведенная постоянная вязкого трения рассматривается как функция амплитуды колебания. В итоге уравнение (13) принимает простой вид [c.107]

Поскольку ряд коэффициентов гармонически линеаризованного уравнения (19) является функцией амплитуды колебаний, то для устойчивости регулирования рассматриваемых нелинейных систем (16) — (18) необходимо, чтобы условие (19) выполнялось при определенных значениях коэффициентов, соответствующих наименее устойчивой работе системы. [c.69]

В заключение отметим еще один из результатов, полученных при этих исследованиях. Опыты показали, что с увеличением температуры окружающей среды на 10° С частота колебаний возрастает на 1%, а амплитуда колебаний в камере на столько же уменьшается. Эти данные были получены для аэродинамического генератора колебаний с / = 3 мм, ф,1 . = 7,5°, с о = з=1 мм, б/о=0,2 мм, б/з=0,2 мм, Ах = 0 при работе его с Ро=1 кГ/см и с ро=250 мм вод. ст. Используя рассматриваемые в 28 уравнения, описывающие процессы заполнения и опустошения пневматической камеры, и учитывая характеристики пристенного пограничного слоя (см. 53), можно проанализировать указанное выше влияние температуры на работу аэродинамического генератора колебаний и указать пути к усилению этого влияния, если оно представляется практически целесообразным, или же, наоборот, к его компенсации, если нужно, чтобы частота колебаний сохраняла при изменении температуры неизменное значение. Не рассматривая здесь подробно характеристики изменения частоты колебаний в функции от температуры, приведем лишь некоторые данные, относящиеся к этому вопросу. Из уравнений заполнения и опустошения пневматических камер с турбулентными дросселями, которые выводятся в дальнейшем, следует, что для изменения давления в камере на заданную величину при прочих равных условиях нужно время, значение которого обратно пропорционально корню квадратному из абсолютной температуры. При этом в случае неизменного объема камеры и [c.166]

В (3.3.5) черта над Н и означает осреднение по и. Вместо правой части уравнения (3.3.4) взята синусоидальная функция с теми же частотой и максимальной амплитудой колебаний, что и в правой части (3.3.4). Тогда, как легко получить из (3.3.5), вынужденные колебания будут описываться формулой [c.142]

В ЭТОЙ главе обобщенный метод собственных колебаний применен к задачам о дифракции на диэлектрических телах, в том числе — на телах с диэлектрической проницаемостью, зависящей от координат. Схема построения решения во всех случаях примерно одинакова. Сначала вводятся уравнения для собственных функций и устанавливаются условия ортогональности этих функций. Для тел с постоянной диэлектрической проницаемостью 8 собственным значением является проницаемость е тел той же формы (тел сравнения), в которых возможны незатухающие колебания на заданной частоте источников. Для тел с переменным е(г) тела сравнения тоже имеют переменные 8 (г). Вид этих функций находится из требования, чтобы для амплитуд в разложении дифрагированного поля по собственным функциям получалось явное выражение. Затем приводятся несколько различных видов формул для этих амплитуд, в частности, формула, содержащая не падающее поле, а возбуждающие токи. Для точек внутри тела даны формулы для разложения полного поля по собственным функциям. Аппарат применен также к квантовомеханическим задачам рассеяния. [c.84]

Расчет на вынужденные колебания сводится к решению неоднородных дифференциальных уравнений, описывающих упругую систему станка и процесс резания, в которых заданы возмущения со стороны переменного припуска, элементов привода, фундамента и других источников возмущений. Можно эту задачу решать методом передаточных функций и затем, посредством пересчета и соответствующих преобразований, определять амплитуду колебаний между режущим инструментом и заготовкой при резании. Этот способ полезен, если передаточные функции упругой системы станка не меняются, а условия резания и величины возмущений либо переменны, либо еще не известны в момент расчета. С помощью расчетной схемы и матриц коэффициентов уравнений, приведенных выше, можно решать конструкторские и технологические задачи, рассчитывать нормы на неуравновешенность и колебания двигателя и основных валов привода, исходя. из допустимого уровня колебаний холостого хода, подбирать параметры системы виброизоляции и т. п. Некоторым неудобством [c.185]

На рис. 5.15, 5.16 сплошными линиями показаны значения Ь , 8° для Мо = 1, = 1,2 при отсутствии скругления контура в начале сверхзвуковой части (/ = - 2 — радиус скругления контура). Изменение боковой силы носит колебательный характер с затухающей по длине сопла амплитудой, при этом число нуле увеличивается с уменьшением угла 0. Колебательный характер изменения функций Ь°, и 8° связан с последовательным отражением от стенок сопла чередующихся волн сжатия и разрежения. Отметим, что в тех сечениях, где = О, реализуются максимальные значения 8° и в связи с этим общий момент отличен от нуля. С увеличением длины сопла увеличивается амплитуда колебаний и 8°. Нули функций и Ж° несколько смещены один относительно другого, что и следует непосредственно из уравнений (5.50), (5.51). Увеличение у приводит к смещению нулей функций и ЛР вправо по оси X, при этом амплитуда колебаний изменяется незначительно. Известно, что увеличение радиуса скругления контура в сверхзвуковой части / 2 приводит к сдвигу нулей функци и в . Этот результат подтверждается расчетами по линейной теории при замене участка скругления последовательно расположенными коническими [c.230]

В отличие от линеаризованного уравнения (3.10) коэффициенты здесь не постоянны, а зависят от амплитуды А колебаний. Именно эта зависимость от амплитуды колебаний позволяет сделать некоторые выводы о поведении колебательной системы. Безразмерный коэффициент демпфирования D теперь также является функцией амплитуды, потому что из (3.16) его можно получить в следующем виде [c.116]

Как известно, производительность ультразвуковой обработки существенно зависит от максимальной величины механических напряжений в зоне контакта. Эта величина соответствует экстремальному значению функции о (i), определяемому также из указанных формул. Исключая из этой системы уравнений параметр 0, получим зависимость максимума напряжений от амплитуды колебаний и давления прижима [c.37]

Для периодических гармонических колебаний уравнения (142) относительно комплексных амплитуд колебания функции тока ф = фо (> ) ехр (idit) и энтропии Д5 = ASq (х) ехр (iat) можно записать в виде [c.54]

В качестве примера рассмотрим разложение в ряд по собственным функциям решения, описывающ его колебания консольного стержня, возбуждаемого на конце х = 1 гармонической силой с амплитудой Р. Уравнение изгибных колебаний однородного стержня [c.26]

Выражения (5.89) совпадают с аналогичными выражениями, полученными в работах [4, 12, 98] методом разложения в ряд по малому параметру решения исходного уравнения и преобразованием Лапласа. Преимуществом изложенной методики является то обстоятельство, что она без принципиальных трудностей переносится на системы со многими степенями свободы, нелинейные системы и позволяет определить требуемые вероятностные характеристики обобщенных координат. При этом охватывается случай исследования устойчивости динамических систем, содержащих перекрестные нелинейные связи. Отметим, что при Sj ( 2) = onst результаты совпадают с данными работы [108]. Исследование частных случаев (5.73) в детерминированной постановке задачи для комбинационного резонанса описано во многих работах [10, 19, 95 и др. ]. Приведенные выше результаты показывают, что, как и в детерминированном случае, спектр частот, при которых возникают параметрические колебания, состоит из ряда малых интервалов. Длины этих интервалов зависят от амплитуды возмущений и стягиваются к нулю, когда амплитуда стремится к нулю. При этом возрастание амплитуды колебаний системы происходит по показательному закону. Выражение (5.89) в этом случае определяет степень опасности комбинационного резонанса, когда спектральные плотности параметрических возмущений соответствуют, например, сейсмическим воздействиям в виде многоэкстремальных функций несущих частот, что особенно часто встречается на практике. [c.219]

Рассмотрим только амплитуду колебаний, для которой после всех преобразований получим уравнение с выделенными вибрационными функциями из регулярных и флюктуационных членов во втором приближении [c.258]

Характер изменения фазовых углов и амплитуд чисел ANuj и АСд, полученных из решения уравнений первого порядка согласно работе [45], приведен на рис. 68, 69, 70, 71 в функции частоты и числа Рг. Характер изменения числа ANu, таков, что теплоотдача запаздывает относительно колебаний пластины на 90°. Касательные напряжения у стенки опережают колебания пластины. Амплитуда колебания касательного напряжения увеличивается с увеличением частоты колебаний. [c.161]

Гармоническое приближение имеет большой плюс поскольку частота Оп осциллятора не зависит от амплитуды колебаний, все части заспределения движутся в фазовом пространстве с одинаковой угловой скоростью, так что функция Вигнера Wn(x,p t) в момент времени t может быть получена из начальной функции Вигнера W (ж,p t = 0) поворотом в фазовом пространстве вокруг точки х = Xf ,p = 0). Таким образом, мы можем найти распределение W (ж,p t) в момент времени t с помощью начального распределения п хо,ро-,Ь = 0) при условии, что каждая частица первоначального ансамбля движется в фазовом пространстве из точки (жо,ро) в точку х,р) вдоль классической траектории, которая определяется уравнениями [c.646]

В статье рассматривается динамика планетарного шпинделя. Получена система нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих траекторию движения его каретки в двухмерном пространстве. Найдено решение указанной системы в элементарных функциях в случае ее линеаризации. Проведены расчеты амплитуды колебаний каретки планетарного шпинделя при различных параметрах упругой системы, а также сравнительный анализ расчетных и экспериментальных данных. Отмечено их удовлетворительное совпадение. Указаны области применения полученных аналитических решений. Библ. 8 назв. Илл. 2. Табл. 3. [c.402]

Построение коротковолновой асимптотики основано на представлении, что локально в каждом месте наблюдается ряд почти строго синусоидальных волн, однако амплитуда этих волн и направление их фронтов медленно меняются от точки к точке. Формальная подстановка функции такого вида в уравнение с частными производными, описывающее волновой процесс, приводит (в первом приближении при малой длине волны) к уравнению Гамильтона — Якоби для волновых фронтов. Следующие приближения позволяют определить также и зависимость амплитуды колебаний от точки. [c.407]

Наша цель состоит в получении системы уравнений, определяющих эволюцию усредненных характеристик состояния плазмы — функций (Е )к и (/, р). Для того чтобы такая система могла быть замкнутой, эти характеристики должны охватывать собой все электроны, участвующие в интересующих нас нелинейных эффектах. Для этого в свою очередь интервал скоростей (49,3), отвечающий разбросу волновых векторов Дк, во всяком случае должен широко перекрывать амплитуду колебаний скорости электронов под влиянием поля резонансных с ними волн. Именно это условие и выражается неравенством (49,5) (е ф, /ш) /1 порядок величины указанной амплитуды. Действительно, в системе координат, движущейся с фазовой скоростью волны, поле последней статично и представляет собой последовательность потенциальных горбов с высотой ф, . В этой системе резонансный электрон совершает колебания между двумя горбами, причем его скорость меняется в интервале между (2е ф, j/m) /. [c.247]

Поскольку 0 и о зависят теперь от б о , а уравнение (2.3.16) получено в предположении, что система колеблется с постояиным зд aчeниeм амплитуды, то величина а в рассматриваемом случае имеет смысл такого значения показателя затухания механических колебаний, при котором в системе реализуется заданное значение амплитуды колебаний б оо. Бели значение а или Д задано (а= = ар), то соотношение (2.3.16) можно использовать для вычисления амплитуд колебаний. Для этого достаточно разрешить уравнение (2.3.16) относительно /(р б 9о ), а затем, воспользовавшись графиком, представленным на рис. 2.7, найти р б 9о . Выполним зто, пренебрегая малыми поправками, обусловленными членом, пропорциональным Я в функции О. Подставляя выражение (2.3.15) в урав.нение (2.3.16) и положив а=ар и к=0, получим после несложных.преобразований следующее выражение для вычисления / [c.144]

Как указывалось в разд. 2.3, динамические свойства кавитационных каверн во входном участке шнеко-центробежного насоса в кинетической модели М. С. Натанзона описываются уравнениями (2.26) и (2.49). Используя эти уравнения, но в размерном виде, и представляя переменные в виде произведения комплексных амплитуд колебаний на гармоническую функцию времени например, [c.65]

Согласно принятым обозначениям, 3= ас ЕБ, где а определяется по формуле (37). Параметр р—величина не безразмерная, что необходимо учитывать при расчетах. Это уравнение не интегрируемо в квадратурах. Численное решение его было получено на электронно-вычислительной машине для следуюгцих конкретных условий , =20 000 кГ 1мм 2=6000 кГ1мм Я=Ъ мм, =51 мм . Расчет проводился при следующих значениях амплитуды колебаний 5,2, 10,4, 15,6, 20,8 и 26 мк. Для удобства расчетов вначале задавались определенные значения параметра О в интервале от О до тс/2. При этих условиях была найдена численная зависимость силы, действующей на конце стержня, от времени (рис. 21). Далее, согласно формуле (31), определялась сила прижима соответствующая данному 6 и При тех же условиях находилась величина максимума силы Исключая параметр О, путем соответствующего сопоставления значений и Р получим интересующую нас зависимость максимума силы от силы прижима и амплитуды колебаний. Аппроксимация этой зависимости степенной функцией дает [c.38]

Экстремумы функции Ро(г) определяют наиболее и наименее вероятные значения амплитуды колебаний г в рассматриваемой системе хищник - жертва. Уравнение для экстремумов находится из условия йроМг = О и имеет вид [c.341]

Здесь Ь с представляет собой функцию волнового вектора х, который постоянен. Однако, когда амплитуда колебаний стенкн изменяется, вектор х также меняется вдоль линии Г. При условии, что это изменение происходит достаточно медленно в смысле приближения Уизема, можно ожидать, что энергетические лучи будут на некотором расстоянии от линии Г оставаться прямыми, но их наклон Ыс будет меняться в соответствии с IЗмeнe-нием вектора х вдоль начальной линии. Понятно, что при этих условиях семейство линий (4,3) будет иметь огибающую каустику, вдоль которой решение дисперсионного уравнения неопределенно, Физически здесь можно ожидать появления скачка в решении. [c.227]

Обсудим теперь справедливость допущения о том, что уравнения перазрывности и движения квазистационарны, вследствие чего функция тока зависит от времени параметрически. Это обусловлено тем, что отношение ре/р, являясь функцией температуры и концентраций компопеитов, зависит от времени. Поскольку, как показали расчеты, амплитуда колебаний безразмерной температуры А0 1, измепеппе величины ре/р, обусловленное этими колебаниями, мало. Действительно, используя уравпенне состояния (4.4.4), находим [c.170]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...