245 — Уравнения систем с одной степенью свобод

Математической моделью принято называть аналитическое описание изменения состояния системы с течением времени. Для описания состояния системы требуется столько уравнений движения, сколько степеней свободы имеет система. Поэтому для формирования физической модели поезда надо вначале установить число степеней свободы. В 1 мы установили, что в задачу тяговых расчетов не входит определение неуправляемых движений подвижного состава поперечных в рельсовой колее, продольных в зазорах автосцепки, колебательных обрессоренного веса и др. Если эти движения не учитывать, то можно считать, что 1) рельсовый путь представляет собой такую внешнюю удерживающую связь, при которой поезд может перемещаться только вдоль рельсов, т. е. может иметь только одну степень свободы 2) автосцепка — это такая внутренняя связь, при которой вагоны и локомотив поезда удерживаются на постоянном расстоянии друг от друга и проходят один и тот же путь с одинаковой скоростью, что является признаком поступательного движения неизменяемой системы (твердого тела). [c.193]

Замечание 9.7.4. Пусть система с п степенями свободы описывается уравнениями Гамильтона и име ет п первых интегралов. Если можно указать такое каноническое преобразование, что эти первые интегралы входят в набор новых канонических переменных, то по теореме 9.7.6 рассматриваемые уравнения Гамильтона можно проинтегрировать аналитически. Это — еще один способ построения переменных действие-угол. [c.692]

Уравнение (1.36) позволяет определить в условиях равновесия системы максимальное число существующих фаз. Исходя из того, что число степеней свободы ф не может быть отрицательным, при ф = 0 максимальное число фаз составит г = я- -2, т. е. равно числу компонентов плюс два. Например, вода представляет собой один компонент (л=1), который может одновременно находиться в трех фазах твердой, жидкой, газообразной (см. рис. 1.10, тройная точка). Если имеется одна фаза (/ = ), то число степеней свободы для одного компонента в системе (л = 1) будет равно двум и тогда независимыми переменными могут быть температура и давление, а другие параметры системы (удельный объем, энтальпия, энтропия) определяются по исходным переменным р, Т. [c.18]

После очевидных преобразований отсюда следует са = УЕР/(1М). Но такое значение собственной частоты мы получили бы, рассматривая колебания системы с одной степенью свободы, а именно стержня, лишенного массы и несущего на конце массу М. Чтобы приближенно учесть массу стержня, удержим в уравнении (6.6.7) не один, а два члена разложения тангенса, а именно положим [c.191]

Т. е. к подстановке в эти уравнения известных сил, действующих на материальные частицы системы, и выполнению определенных математических операций, дающих решение задачи. Однако даже с чисто теоретической точки зрения такое представление является чрезмерно упрощенным. Дело в том, что может оказаться необходимым учесть связи, ограничивающие движение системы. Один вид такой системы нам уже встретился — это было твердое тело. Связи, накладываемые на его движение, состоят в том, что расстояния между его точками должны оставаться неизменными. Легко привести и другие примеры систем со связями так, например, косточка на конторских счетах ограничена в своем движении проволокой, на которую она надета, и поэтому имеет одну степень свободы (если рассматривать только поступательное движение). [c.22]

Сумма кинетической и потенциальной энергии остается при движении постоянной. Эта фундаментальная теорема называется законом сохранения энергии . Мы получили скалярное уравнение, являющееся лишь одним из интегралов уравнений движения. Хотя его одного и недостаточно для полного решения задачи о движении системы (исключая случай одной степени свободы), это тем не менее один из наиболее фундаментальных и универсальных законов природы, который при соответствуюш,их модификациях выполняется не только в механических, но и во всех физических процессах. Постоянная Е называется постоянной энергии . [c.119]

Малые колебания около положения устойчивого равновесия — один из разделов динамики, в котором эффективно используются аналитические методы. Для теории колебаний характерна большая общность. Независимо от степени сложности механической системы, ее движение вблизи положения равновесия при малых колебаниях описывается всегда одинаковыми по структуре уравнениями. Усложнения происходят с увеличением числа степеней свободы. [c.42]

Это обстоятельство не прошло незамеченным. Один из авторов метода планов скоростей и ускорений О. Мор наметил разработку универсального приема определения кинематических параметров для механизмов произвольной структуры. Однако этот прием, основанный на преобразовании механизма в систему с несколькими степенями свободы путем изъятия из его структурной схемы нескольких стержней и комбинированием различных возможных движений полученной системы, приводил к решению системы уравнений графического решения Мор предложить не смог. [c.127]

Основная идея этих уравнений заключается в том, что движение системы исследуется в обобщенной системе координат, т. е. в независимых один от другого параметрах, изменение которых определяет движение системы. Число этих параметров равно числу степеней свободы системы и соответственно числу уравнений Лагранжа. [c.31]

Для составления дифференциального уравнения движения одномассовой системы влияние наполнения можно заменить результирующей гидродинамических сил жидкости, действующей на резервуар (см. рис. 5). Тогда уравнение колебания одномассовой системы с жидким наполнением будет отличаться от уравнения колебания системы с одной степенью свободы с твердыми массами наличием в правой части силы (t). Примем, что система имеет один резервуар, тогда уравнение будет иметь вид [c.38]

При изучении физико-химических равновесий за внешние факторы, влияющие на состояние сплава, принимают температуру и давление. Применяя правило фаз к металлам, можно во многих случаях принять изменяющимся только один внешний фактор — температуру, так как давление, за исключением очень высокого, мало влияет на фазовое равновесие сплавов в твердом и жидком состояниях. Тогда уравнение примет следующий вид С — К - -+ 1 — Ф. Так как число степеней свободы не может быть меньше нуля и не может быть дробным числом, то К, — Ф + 1 > О, а Ф< /С + 1, т. е. число фаз в сплаве, находящемся в равновесном состоянии, не может быть больше, чем число компонентов плюс единица. Следовательно, в двойной системе в равновесии может находиться не более трех фаз, в тройной — не более четырех и т. д. [c.49]

В фундаментальной работе Пуассона 1829 г. содержится, помимо указанного выше, немало других важных результатов из общих уравнений теории упругости вновь выведено уравнение для продольных колебаний тонких стержней, раньше полученное Навье (1824 г.), и для их поперечных (изгибных) колебаний, а также впервые дано уравнение для их крутильных колебаний. Там же решена задача о свободных радиальных колебаниях упругой сферы. Эти результаты стали отправными для многочисленных работ, сколько-ни-будь подробное освещение которых возможно лишь в специальном исследовании по истории теории упругости. Здесь достаточно сказать, что этими работами был подготовлен новый этап в развитии теории колебаний, обобщение основных положений, относящихся к линейным колебательным системам с конечным числом степеней свободы, на линейные колебательные системы с бесконечно большим числом степеней свободы. Один из общих результатов такого рода был установлен Стоксом в работе О динамической теории дифракции название которой напоминает о том, что в эту эпоху — эпоху торжества теории упругого светоносного эфира Юнга — Френеля оптика снова содействовала развитию теории колебаний, как и во времена Гюйгенса. Для свободных колебаний системы с конечным числом степеней свободы, вводя нормальные координаты , для изменения каждой из них, получают уравнение вида [c.277]

Указанная выше универсальность кинетической картины фазового перехода проявляется, если предположить, что поведение системы определяется не только параметром порядка, но и другой термодинамической степенью свободы S, характерное время релаксации тз которой соизмеримо с соответствующим значением для параметра порядка. В этой связи в работе [13] предложен еще один механизм проявления принципа Ле-Шателье — за счет нагревания области, прилегающей к вьщелению 4 фазы, образованному в результате резкого охлаждения системы ниже точки фазового перехода первого рода. При этом роль управляющего параметра S играет локальное значение температуры в области вьщелений фазы. На основе эвристических соображений в [13] получена система нелинейных дифференциальных уравнений для определения зависимостей Ti t),S t). Исследование их фазового портрета т] 8) и вида самих временных зависимостей r] t), S(t) показывает, что все фазовые траектории разбиваются на два участка. На первом величины i), S сравнительно быстро эволюционируют со временем, и он не сказывается существенным образом на кинетическом поведении системы. Оно представляется медленным изменением величин /(i), 5(i) на втором участке, положение которого определяется близостью к сепаратрисе и образно обозначено в [13] как русло большой реки. Таким образом, в представлении фазового портрета универсальность кинетики фазового перехода проявляется как [c.18]

Для одноатомного газа массой в один моль число степеней свободы при нормальных давлении р 0,1 МПа и температуре Т = 273 К составляет п — ЗМ, где N 6,02 10 /моль — число Авогадро. Для двухатомных газов п = так как к трем поступательным степеням свободы добавляются две вращательные вокруг ортогональных осей, лежащих в плоскости, перпендикулярной отрезку, который соединяет центры масс молекул. Очевидно, что рещение системы п дифференциальных уравнений даже в идеализированной постановке весьма проблематично. [c.27]

В этих координатах х,у функция Н не зависит от Xi. Таким образом, если зафиксировать значение F = у = с, система уравнений Xk = дН/ду) , ук = —dH/dxk к 2) будет гамильтоновой с п — 1 степенью свободы. Итак, один интеграл позволяет понизить размерность фазового пространства на две единицы (а не на одну, как в общем случае). Одна единица пропадает при фиксировании значения F = с, а. вторая — за счет исключения сопряженной циклической переменной Xj. Однако эффективное использование интеграла F для понижения порядка упирается в задачу явного интегрирования гамильтоновой системы i = vp z). [c.63]

Оригинальное доказательство теоремы 4, данное самим Пуанкаре, основано на другой идее. Пусть f p) — Р—рЕ —характеристический многочлен матрицы монодромии периодического решения гамильтоновой системы с п степенями свободы. Положим f p) = = (р — 1)д р). Согласно известной теореме Пуанкаре—Ляпунова, многочлен д возвратный р дО /р) = д р). Следовательно, если уравнение д р) = О имеет корень р = 1, то его кратность четна и не ниже двух. Таким образом, если уравнения Гамильтона допускают независимый интеграл F, то пара мультипликаторов становится равной единице, причем один из этих мультипликаторов равен единице из-за наличия нетривиального гамильтонова поля симметрий Vf. [c.225]

При изучении колебаний сложных систем с большим числом степеней свободы важное значение подчас имеет выделение из общего многообразия движений, допускаемых системой, более простых движений. К этой проблеме относится задача об исследовании одночастотных колебательных режимов, которую мы здесь кратко охарактеризуем. Эта задача исследовалась Ю. А. Митропольским (1949—1950, 1955 см. также его книги, 1963—1964, 1966) для систем различного типа, в том числе и для систем с медленно меняющимися параметрами, уравнений с так называемыми гироскопическими членами, систем с распределенными параметрами и пр. Разберем здесь для примера один из простейших вариантов такой задачи. [c.130]

Здесь Уп — релаксационный кинетический параметр, который в соответствии с учитываемыми процессами может быть концентрацией химических компонент смеси, энергией колебательных степеней свободы и массовых долей конденсирующейся компоненты. Излагаемый ниже метод расчета применим как для случая, когда в смеси протекают одновременно все указанные процессы, так и для случая, когда имеет место лишь один из них. Метод применим также и в случае, когда протекают и другие процессы, описываемые системой уравнений типа (3.24. .. 3.27). Конкретная запись правых частей кинетических уравнений (3.27), а также термического (3.28) и калорического уравнений состояния приведена в разд. 1.3. [c.111]

Модели динамики, изучаемые в статистической механике, довольно разнообразны. В дальнейшем мы рассматриваем лишь один из типов таких моделей. Это — привычная из элементарных курсов механики ньютоновская динамика системы точечных частиц, движущихся в евклидовом пространстве под, действием сил внутреннего взаимодействия. Относительно других типов моделей мы ограничимся ссылками на некоторые книги и ключевые статьи, где содержится более полная библиография. В литературе исследуется классическая спиновая динамика (см., например, работы [51], [86], [87]). В моделях спиновой динамики рассматривается изменение координат, которые описывают внутренние степени свободы частиц, закрепленных в точках правильной решетки. Из других изучаемых моделей динамики отметим градиентные модели, в которых для упрощения, вместо ньютоновской динамики, вводится система дифференциальных уравнений первого порядка для положений частиц (см. [65], [68],[89]). [c.236]

На рис. 3.15(Ь) изображена оболочечная конструкция, которая моделируется в виде системы плоских пластинчатых конечных элементов. На рис. 3.15(с) и (d) в векторном виде отражены условия равновесия для моментов в узле i для сечения А — А. Из рнс. 3.15(с) следует, что в глобальной системе координат существенны составляющие векторов в обоих направлениях хну. Однако, согласно рис. 3.15(d), на котором изображены векторы моментов Мх в осях элементов, а также связанная система координат х"—у" (ось х" которой направлена по касательной к оболочке в точке i), очевидно, что проекции векторов на ось у малы по сравнению с проекциями на ось х". Вообще говоря, в реальной конструкции составляющая вдоль оси у" равна нулю. Указанная диспропорция компонент в ортогональных направлениях приводит к серьезным последствиям при решении глобальных уравнений. Один из способов избавиться от этих последствий состоит в том, чтобы в каждом узле ввести связанную систему координат х"—у" и исключить малые составляющие вдоль оси у", как если бы это были закрепленные степени свободы. [c.100]

В гибридных методах используются не только обобщенные формулировки известных энергетических принципов, но и представление характеристик элемента с помощью нескольких полей. Например, внутри элемента задается один вид поля перемещений и (или) напряжений, на границе элемента задается независимо в другой форме поле напряжений и (или) перемещений. Все поля, за исключением одного, задаются в терминах обобщенных параметров. Последнее поле выражается в терминах физических степеней свободы. Соответствующее энергетическое выражение (модификация потенциальной и дополнительной энергии) записывается вначале в терминах обоих классов параметров и требуется выполнение условий стационарности для набора обобщенных параметров. В результате приходим к системе уравнений для обобщенных параметров, выраженных в терминах физических степеней свободы. Эти соотношения используются для исключения обобщенных параметров из выражения для энергии. Получающееся в результате выражение для энергии содержит в этом случае искомую матрицу жесткости или податливости в обычной форме. [c.199]

Однако, имеется и вторая трудность, преодоление которой несравненно сложнее. Дело в том, что мы не имеем никакой возможности узнать, какую из траекторий своего фазового пространства пробегает изучаемая система. Если эта система имеет я степеней свободы (число, как правило, очень большое), то для определения ее траектории потребовалось бы найти значения 2я — 1 не зависящих от времени интегралов уравнений движения, между тем как в действительности мы имеем возможность приближенно определить лишь очень небольшое число этих интегралов (так, мы почти всегда считаем данной величину энергии нашей системы). Знание каждого интеграла дает нам в фазовом пространстве поверхность, на которой должна быть расположена искомая траектория если известны значения к таких интегралов, то тем самым известно, что искомая траектория принадлежит некоторому редуцированному многообразию фазового пространства, имеющему 2з — к измерений, так что только при к = 2з — 1 траектория является полностью определенной если, как это обычно бывает, мы можем считать известным только один интеграл энергии, то к = 1, и о траектории известно только, что она принадлежит некоторому определенному многообразию 25 — 1 измерений (поверхности постоянной энергии). [c.34]

Но такая аргументация содержит один весьма уязвимый пункт. Ведь то, что говорится в ней об интеграле энергии, может быть слово в слово повторено о любом другом независящем от времени интеграле движения а таких интегралов у системы с я степенями свободы имеется, как мы знаем, 25 — 1 независимых между собой следуя вышеприведенному рассуждению, мы должны были бы заранее фиксировать значение каждого из них, т. е., другими словами, определить траекторию системы в фазовом пространстве и вычислять наши средние значения вдоль этой траектории но этого мы никогда не делаем, да и не могли бы сделать по той причине, что подавляющее большинство других интегралов уравнений движения нам неизвестно, вследствие чего у нас нет никакого подхода к задаче о нахождении траектории, изображающей эволюционный путь нашей системы. [c.35]

Вернемся к выводу уравнений Гамильтона и преобразуем пра- вые части уравнений в системе (5.15). Сопоставим переменные х с обобщенными скоростями 1, у с обобщенными импульсами р (теперь п = 1, где I есть число степеней свободы системы). Один из параметров а будет соответствовать времени t, остальные I параметров — обобщенным координатам д (т = /+1). Что касается функций X и У, то функция X будет соответствовать функции [c.285]

Для получения более сложных механизмов к четырехзвенному механизму можно присоединить еще одну двухповодковую группу. Тогда мы внесем еще два переменных параметра, но одновременно с этим получается еще один замкнутый векторный контур, налагающий два условия связи. Если к шарнирному етырехзвен-ному механизму присоединить двухповодковую группу с крайней поступательной парой, то получится механизм, схема которого изображена на рис. 93. В схеме этого механизма имеется четыре переменных угла, а именно, углы наклона сторон /, 2, 3, 4 п одна переменная длина — длина стороны 6, т. е. всего пять переменных параметров. На схему наложено четыре условия связи, выраженных двумя системами уравнений по два уравнения в каждой системе, получаемых в виде уравнений проекций замкнутых контуров 1—2—3—6 и 3—4—6. Таким образом, рассматриваемая система имеет одну степень свободы. [c.132]

Таким образом, рассмотренная система служит примером распределенной системы, движения которой полностью определяются решениями системы обыкновенных дифференциальных уравнений небольшой размерности. В какой мере этот частный вывод может быть распространен па другие распределенные системы Определенный и исчерпывающий ответ на этот вопрос в настоящее время дать трудно качественно (ио крайней мере в рамках квазилинейной теории) ситуация зависит от числа степеней неустойчивости и степеней свободы с малым затуханием. В рассмотренной задаче одна степень неустойчивости (один положительный показатель Ляпунова). Затухания по остальным степеням свободы быстро растут. Как будет показано в дальнейшем. именно с этим обстоятелт.ством связана возмол ность построения одномерной модели в виде точечного отображения прямой в прямую, адекватно передающего особенности временного [c.36]

Наиболее удобным и простым методом решения задач дина-иики для несвободных систем является метод Лагранжа, основанный на понятии обобщенных координат. Движение системы исследуется в обобщенной системе координат, т. е. в независимых один от другого параметрах, изменение которых в функции времени лолностью определяет движение системы. Число этих параметров равно числу степеней свободы системы и соответствует числу уравнений Лагранжа. Для получения дифференци- альных уравнений движения методом Лагранжа необходимо составить выражение для кинетической и потенциальной энергии системы в функции выбранных обобщенных координат. [c.110]

Под числом степеней свободы системы подразумевается число факторов равновесия—внешних (температура, давление) и внутренних (концентрация), которые могут быть изменены без изменения числа фаз в системе. При применении правила фаз к металлическим системам принимается во внимание только один из внешних факторов— температура, так как в атмосферных условиях давление остается постоянным. В этом случае записанное выше уравнение принимает следующий вид С = К — Ф+ 1. Если число степеней свободы системы равно нулю (безвариаптная или нонвариантная система), то нельзя изменять внешний фактор (температуру) или внутренний фактор (концентрацию) без того, чтобы это не вызвало изменения числа фаз. Если число степеней свободы равно единице (одновариантная или моновариантная система), то изменение одного из этих факторов равновесия не вызовет изменения числа фаз. Если число степеней свободы равно двум (двухвариантная или бивариантная система), то возможно изменение обоих факторов равновесия, при этом число фаз не изменится. Применение правила фаз будет изложено ниже, при рассмотрении конкретных диаграмм состояния металлических сплавов. [c.116]

Перейдем теперь к количественному рассмотрению нелинейных динамических систем, ограничиваясь по-прежнему автономными системами второго порядка (с одной степенью свободы). Как мы уже говорили, при современном состоянии теории это количественное рассмотрение (аналитическими методами) может быть удовлетворительно проведено, в сущности, лищь для трех классов систем, имеющих, однако, значительный практический интерес. Один из этих классов составляют системы, близкие к консервативным, и в частности, практически наиболее интересные системы, близкие к гармоническому осциллятору второй класс — это системы, совершающие разрывные колебания. Эти два класса будут рассмотрены соответственно в гл. IX и X. Наконец, третий класс составляют системы, количественное рассмотрение которых может быть проведено при помощи метода точечных преобразований ). Наиболее просто этот метод применяется для так называемых кусочно-линейных систем, т. е. для систем с фазовым пространством, состоящим из областей, в каждой из которых динамические уравнения движения линейны. Количественному рассмотрению таких кусочно-линейных систем и будет посвящена настоящая глава. [c.504]

МЕТОД ИЗОКЛИН. В дальнейшем изложении теории нелинейных колебаний ограничимся главным образом системами с одной степенью свободы, наметив в общих чертах некоторые методы общей теории нелинейных систем со многими степенями свободы. В частности, в этой главе мы будем заниматься простейшими нелинейными системами с одной степенью свободы, объединив их изучение одним общим методом фазовой плоскости или методом изоклин. Это — один из графических методов интегрирова-. ния системы дифференциальных уравнений вида [c.472]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...