249 — Преобразование точки пересечения прямых

При решении некоторых позиционных задач на поверхности эллипсоида вращения бывает целесообразно эту поверхность подвергнуть сжатию, в результате которого эллипсоид преобразуется в сферу. Такое преобразование существенно упрощает, например, рещение задачи определения точек пересечения прямой с эллипсоидом. [c.14]

Представляет интерес найти связь между компонентами кватерниона Л и параметрами дробно-линейного преобразования р, д, т, п. Для того чтобы это сделать, достаточно знать, как преобразуются три произвольные точки плоскости. В качестве таких точек удобно взять две неподвижные точки, получающиеся стереографическим проектированием точек пересечения прямой е со сферой и одну из точек 2 = 0 или 2 = оо, соответствующих проектированию нижнего или верхнего полюса. Опуская эти, не представляющие никакого интереса выкладки, получаем [c.41]

В некоторых случаях определить точку пересечения прямой с плоскостью удобно способом вспомогательного проецирования. Например, чтобы построить точку пересечения прямой ЕР с плоскостью и (рис. 179) приемом, описанным выше (см. /81/), нужно было бы заключить прямую в горизонтально- или фронтально-проецирующую плоскость. Но фронтальный (горизонтальный) след вспомогательной плоскости вышел бы за пределы чертежа. Поэтому линию пересечения плоскостей пришлось бы строить путем дополнительного сечения их горизонтальной или фронтальной плоскостью или используя родственное преобразование, как это было описано к рис. 168 и 169. Построения стали бы очень сложными. Самый простой способ решения задачи — способ вспомогательного проецирования. [c.109]

Из вершины S конуса, как из центра, проводим сферу радиусом R. Определяем линию 12 3... пересечения конуса сферой. Эта линия строится по точкам пересечения образующих конуса (выбранных произвольно) со сферой. Затем строим сферическую индикатрису образующих в преобразовании и намечаем положения преобразований выбранных на конусе образующих. Для этого из произвольно выбранной точки S проводим дугу окружности радиусом R. На дуге окружности откладываем отрезки / 2,2 3,. .., равные соответствующим отрезкам сферической кривой. Через вершину S и через точки I, 2, 3,. .. проводим прямые SI, S2, S3,. .., [c.288]

Принимаем за диаметр отрезок [ОВ], делим его пополам, строим окружность радиуса [OiB] и отмечаем точки С и D её пересечения с малой окружностью, если эллипс получен преобразованием растяжения, и с большой окружностью, если эллипс получен преобразованием сжатия (рис. 134, б). Из точки А проводим [АА ] = [ОА ] перпендикулярно [ОА], проводим [О А ], через точку С проводим прямую (СС ) Ц ОА и на ней откладываем отрезок [2о - С ] = [1о - 1]. Точка С будет точкой касания прямой (ВС ). Точку D можно построить также, или взять симметрично С, или построить по рис. 130, а. [c.148]

Имея преобразование линии пересечения 1- 5 торса плоскостью (см. рис. 5.11,в), строим преобразования образующих торса как прямые линии, параллельные соответствующим им преобразованиям образующих вспомогательного конуса. Откладывая на направления образующих торса их истинные величины Li, получаем ряд точек (Л, В, С, D, Е), геометрическим местом которых является развертка ребра возврата торса на плоскость. [c.133]

Пусть интегральные кривые исходного нечетного базисного семейства определяют преобразование исходного нечетного базисного интервала во множество четных точек пересечения на прямой л =1 тогда ясно, что образ исходного промежутка включает в себя два четных базисных интервала. Таким образом, исходное семейство решений содержит два подсемейства, каждое из которых пересекает прямую л = 1 при л < О так, что точки пересечения покрывают базисный интервал, один из этих интервалов есть = 2т п- -х, а другой— = 2(й- --+ Точно так же каждое семейство траекторий, начинающееся на четном базисном интервале, [c.232]

Из указанного свойства следует, что точки, находившиеся до преобразования на некоторой прямой А, перейдут в точки, находящиеся также на некоторой прямой А. Действительно, прямую А можно рассматривать как пересечение двух каких-то плоскостей П1, Пг- После преобразования точки прямой А, т. е. точки, принадлежавшие одновременно плоскостям П1 и Пг, обратятся в точки, принадлежащие одновременно плоскостям П и П, преобразованным из плоскостей П1 и Пг, а это и доказывает наше утверждение. [c.37]

На рис. 43, в задача на пересечение прямой с плоскостью решена вспомогательным косоугольным проецированием на плоскость Я. Направление проецирования выбрано параллельно стороне АВ треугольника. Плоскость треугольника спроецировалась в прямую Й = Ь Сх, прямая-в прямую 161. Обратным преобразованием полученная вспомогательная проекция точки пересечения спроецирована на горизонтальную и фронтальную проекции. [c.36]

Для построения линии пересечения плоскостей, когда точки пересечения их следов недоступны, можно воспользоваться родственным преобразованием. Рассмотрим решение для случая, когда ни фронтальные, ни горизонтальные следы не пересекаются в пределах чертежа (рис. 169). Зададим родство осью х, родственными прямыми а и а [c.104]

Пользуясь преобразованиями, можно найти, например, горизонтальную проекцию точки С, лежащей на первоначально данном эллиптическом гиперболоиде и заданной ее фронтальной проекцией Са. При первом преобразовании направление двойных прямых было перпендикулярным плоскости Па, поэтому фронтальная проекция преобразованной поверхности не изменится по сравнению с фронтальной проекцией поверхности непреобразованной. Проведя через точку С окружность с центром на оси преобразованной поверхности, построим горизонтальную проекцию окружности. Установив проекционную связь, найдем точку . Проведем через точку Щс ) произвольную прямую и, отметив точку ( х) ее пересечения с плоскостью родства 2, построим родственную ей прямую, а на ней — точку С(С1). Продумайте, как построить фронтальную проекцию точки, принадлежащей поверхности, если известна ее горизонтальная проекция. [c.196]

Родственное преобразование отсека эллиптического параболоида в отсек параболоида вращения показано на рис. 286. При данном расположении фигуры ее горизонтальной проекцией является эллипс. Расположим окружность диаметром = 2 2 так, чтобы она была в проекционной связи с фронтальной проекцией параболоида. Возьмем на эллипсе произвольную точку ), и, проведя линию связи, отметим родственную ей точку О, на окружности. Аналогично построим точки С,, Е, и f родственные соответственно точкам С,, Е, и f Проведя прямые 1 ] и ,Р,, отметим точку их пересечения. Найдем точку 2, пересечения прямых и 0)С,. Через точки У, и 2, проходит прямая Е,—горизонтальная проекция плоскости родства I. Теперь родство задано плоскостью родства I и парой родственных точек, например О и Д т. е. Я (5 I О О). Направление преобразования перпендикулярно П2 и совпадает с направлением проецирования, поэтому фронтальные проекции параболоидов данного и преобразованного совпадают. Горизонтальной проекцией отсека преобразованного параболоида является круг диаметра А, В,.. [c.103]

Знание И. позволяет написать уравнение линии второго порядка в новых переменных почти без всяких вычислений. Не завися от преобразования системы координат, И. выражают наиболее существенные свойства кривой. Посмотрим, какое геометрич. свойство кривой второго порядка связано с дискриминантом АС — В . Если мы будем искать точки пересечения кривой (4) с прямой [c.21]

Абсолютная окружность пересекает всякую плоскость в двух точках, называемых мнимыми круговыми точками этой плоскости они суть точки пересечения любой окружности с несобственной прямой. Всякое проективное преобразование плоскости, оставляющее в покое мнимые круговые точки, есть подобие. [c.117]

Определяем кривую линию 12 3... пересечения цилиндра плоскостью. На произвольно выбранной прямой откладываем спрямленные отрезки кривой линии. Из точек /, 2, 3,... концов этих отрезков перпендикулярно к ним проводим прямые линии — преобразования соответствующих образующих. [c.289]

Построим нормали подеры и найдем точки их пересечения соответствующими перпендикулярами, восставленными к радиусам кривизны из их середин. Прямые линии, проходящие через полюс и найденные точки, пересекают преобразования образующих полярного торса в точках, принадлежащих искомой кривой линии MN. [c.343]

Так как то 1ка В принадлежит оси вращения, то она не будет менять своего положения в процессе преобразования. Bj = В, следовательно, В = В и В[ = В". Для нахождения точки Aj необходимо из а восставить перпендикуляр к оси х и отметить точку его пересечения с горизонтальной прямой, проведенной через А". [c.53]

Проведем плоскость через вектор Ф и точку А и плоскость П/( через вектор Ф/ и точку А (рис. П. 16). На линии пересечения этих плоскостей возьмем произвольную точку D и проведем прямые BD, ВА, D и СА. Разложим Фс и Фд по этим направлениям соответственно, перенесем полученные векторы в точки Л и D и заменим пучки, получившиеся при этом в точках Л и D, их суммами Фл и ФЬ- Теперь исходная система элементарными преобразованиями сведена к двум векторам Фл и [c.350]

Заметим, что если одна из исходных поверхностей линейчатая, то задача построения линии пересечения в этом случае может быть еведена к построению точки пересечения прямой (образующей линейчатой поверхности) со второй заданной поверхностью (см. 9.5). При построениях применяют способы преобразования чертежа, если это упрощает и уточняет построения. [c.129]

Строя точки пересечения прямой с эллиптическим параболоидом, воспользуемся родственным преобразованием (рис, 345), Зададим родство плоскос ью родства П I Пз и родст- [c.127]

Рассмотрение структуры разбиения фазовой плоскости на траектории в этом случае также может быть сведено к преобразованию точек пересечения траекторий с прямой переключений (функция последования по-пррж- [c.573]

Имея преобразование линии пересечения D торса плоскостью, строим преобразования образующих торса как прямые линии, параллельные соответствующим им преобразованиям парных образующих вспомогательного конуса. Откладывая на преобразованиях образующих торса их ист инные величины, получаем ряд точек, геометрическим местом которых является преобразование ребра возврата торса. [c.292]

Если кривая Fи прямая пересекаются при всех значениях и w v не более чем в одной точке, то вспомогательное отображение Г однозначное. Напротив, возможность нескольких пересечений говорит о многозначности всномогательрюго отображения. При наличии нескольких точек пересечения кривой Fи прямой L они разделяются точками максимума и ммиимума кривой F . Преобразование Т прямую и = onst отображает в кривую F . Точкам максимума и минимума кривой F на этой [c.304]

Расчет критических точек по пересечениям прямых в плоскости преобразованных переменных. Вычисленные с помощью статистических моделей критические точки для данного спектра могут не соответствовать реальным значениям Хкр1 и Хкра-Алгоритмом предусмотрено нахождение реальных значений [c.95]

Учебник соответствует программе, утвержденной Министерством высшего и среднего специального образования СССР для машиностроительных, приборостроительных и механико-технологических специальностей высших технических учебных заведений. Согласно этой программе в книге изложены разделы Система ортогональных проекций и Аксонометрические проекции из всего материала, составляющего содержанве начертательной геометрии. Учебник включает в себя сведения по образованию проекций, о точке и прямой линии, о плоскости и их взаимном положении, о преобразовании чертежа способами перемены плоскостей проекций и вращения с примерами решения задач с применением этих способов, об изображении многогранников и пересечении их плоскостью и прямой линией и о пересечении одной многогранной поверхности другою, о кривых линиях и кривых поверхностях, о пересечении кривых поверхностей плоскостью и прямой линией, о пересечении одной кривой поверхности другою, о развертывании кривых поверхностей. [c.2]

Образуют угол а с векторами пары. В произвольно выбранных точках С п О этих прямых добавим две нулевые системы скользящих векторов аь а , аз, а,4, по величине равных величинам векторов пары, а направленных вдоль этих новых прямых. Полученная новая система шести скользящих векторов эквивалентна первоначальной системе векторов. Перенося теперь пулевые системы векторов вдоль линий их действия в точки. 4 и В пересечения прямых и складывая затем векторы а] и ао с векторами первоначальной пары, получим новую систему векторов Оь Ог, аз, эквивалентную первоначальной паре. Векторы О и Ог направлены по общей диа.гонали ромба в противопололчные стороны п равны по величине, т. е. представляют собой нулевую систему, которую можно отбросить. В результате останется система двух скользящих векторов а-2 и аз, равных по величине, направленных в противоположные стороны и распололеенных на параллельных прямых. Такая система векторов является парой, у которой линии действия векторов повернуты по сравнению с первоначальной на угол а. В рассмотренном преобразовании не изменилось плечо пары, не изменились по величине вектора пары, а следовательно, не изменилась и величина вектора момента пары. Остается неизменным и направление вектора момента пары. Этим доказано, что при помощи элементарных операций пару можно повернуть в своей плоскости, причем величина и направление вектора момента пары остаются инвариантными по отношению к такому преобразованию. Новая пара оказывается эквивалентной первоначальной паое. [c.32]

Пантографы предназначены для подобного преобразования кривых. Простейший вид пантографа, пантограф Шей-нера, показан на рис. 780. Он представляет собой шарнирный параллелограмм AB D, в котором точка О, лежащая на продолжении стороны АВ, неподвижна. Если из этой точки провести произвольную прямую и отметить ее точки пересечения М , М , Mg с другими сторонами параллелограмма, то можно заметить, что в силу свойств параллелограмма эти точки при любом положении пантографа лежат на одной прямой и расстояния их от точки О находятся в одном и том же постоянном отношении [c.759]

Пусть точки А н А гомологичны (рис. 296) нужно найти точку В, гомологичную точке В. Соединим точки А и В прямой и, найдя точку С ее пересечения с плоскостью гомологии 2, соединим эту точку прямой линией с точкой А. Прямые АС и ЛС гомо-логичны Остается провести дмйную прямую через точки В и 5. Она пересекается с прямой АС в искомой точке В. Проведенные нами построения позволяют перейти от гомологических преобразований пространства к гомологическим преобрачованиям на плоскости действительно, прямые ЛЛ и ВВ определяют плоскость, которая по прямой S пересекается с плоскостью S. В этой плоскости лежит точка S. Рассматривая прямую S как ось, а точку S — как центр гомологии, мы имеем дело с гомологичным преобразованием на плоскости. [c.192]

S и точку В пересечения прямой ВВ с плоскостью U, соединим их прямой. Она родственна прямой ВА. В месте ее пересечения с двойной прямой, прмеденной через точку Л, расположена точка А. Горизонтальные проекции точек Л и Л совпадают, так как прямая Л Л вертикальна. Как видно из чертежа, при данных условиях родственное преобразование эллипсоида приводит к родственному преобразованию его фронтальной проекции эллипс преобразуется в окружность, точка Ла, лежащая внутри эллипса, преобразуется в точку Ла, лежащую внутри окружности. [c.194]

Ддд рещения той же задачи можно воспользоваться родственным преобразованием (рис. 164), Зададим родство осью х, родственными прямыми 02 и 02, параллельными оси, и направлением двойных прямых, перпендикулярным оси родства (см. /51/). Построим точку fij. родственную В2 (пересечения прямых а 2 и ХПз), и точку родственную 2 (пересечения прямых 2 и АПд). Точкам 2 и инцидентна прямая ОН 2, родственная прямой Ш2 точкам В2 и Хд.— прямая ХПг, родственная прямой П2. Эти прямые пересекаются в точке j, родственной недоступной точке С2 пересечения фронтальных следов плоскостей. Поскольку направление двойных прямых совпадает с направлением линий связи, горизонтальная проекция точки С может быть найдена в пересечении с осью X перпендикуляра, опущенного из С2 на эту ось. Точкам D, и С, инцидентна горизонтальная проекция линии пересечения плоскостей, точкам D2H 2 — линия, родственная ее фронтальной проекции. Воспользовав-щись точками А2 и А 2, построим фронтальную проекцию D2A2 этой линии. [c.55]

Упражнение 1.7 очень поучительно. Чтобы узнать наибольшее количество точек пересечения кривых, заданных уравнениями г = ах + + /Зу + 7 и г = а х + /З у + 7, составляется разность О = (а — а )х + + (/3 — /З )у + (7 — 7 )- Это уравнение прямой, которая пересекается с одной из кривых второго порядка самое большее в двух точках. Сложно представить себе более простой метод. Полярное уравнение тоже дает две точки, за счет рассмотрения их полярных углов. Укажем на третий метод, используюш,ий преобразование Гурса [1] (часто приписываемое Леви-Чивита [1]), которое сводит задачу к поиску количества пересечений двух кривых второго порядка с одним и тем же центром. [c.32]

Диаграммы Ламерея в трех возможных случаях а) Х0 it, б) X0=it и в) X0< it, изображены на рис. 447—449 (по осям отложены и и , тогда графики функции соответствия будут прямыми линиями). При Х0 т (рис. 447), поэтому последовательность ординат точек пересечения любой траектории с полупрямыми 7 и 7 является неограниченно возрастающей и фазовые траектории, охватывая цилиндр, уходят в бесконечность (т. е. машина идет в разнос ). При Х0 = it и = (рис. 448) и все точки полупрямой и (или U ) являются неподвижными точками преобразования П. Следовательно, в этом случае система является квазиконсервативной через каждую точку полупрямой U проходит замкнутая [c.633]

Ход дисперсионных зависимостей в области распространения существенно зависит "от типа волновода. Для волноводов с гладкими идеально проводящими стенками качественный характер зависимости /г(со) в области распространения показан сплошной линией на рис. 1.3, б. При этом дисперсионная кривая всегда лежит ниже прямой Ке/г = со/с. В волноводах с импедансными стенками (например, в гребенчатых волноводах, см. гл. 4) возможен иной тип дисперсионной характеристики (пунктирная кривая на рис. 1.3, б). В точке пересечения этой кривой прямой 1 е/г = со/с происходит преобразование объемной волны в поверхностную. В точке со = соотс поверхностная волна терпит отсечку при этом функция /г(со) имеет полюс. Это связано с тем, что для гребенчатого волновода функция А (Л, (о) при заданных параметрах гребенки не является аналитической (см. гл. 4). Это существенно отличает данную систему от,. например, слоистой диэлектрической среды, рассмотренной в [12]. Заметим, что для волн, показанных на рис. I, 3, б, характерна так называемая нормальная дисперсия, т. е. выполняется условие [c.57]

Такое преобразование можно интерпретировать двояко как пассивное или как активное . Первое из них есть так называемое аффинное преобразование плоскости, связанное с изменением масштабов по осям и поворотом осей с нарушением их ортогональности. Второе — называется точечным преобразеванием, когда формулами преобразования устанавливается взаимно однозначное соответствие между двумя плоскостями, определяемыми координатными системами ху и г), которые предполагаем ортогональными путем этих преобразований каждая точка первой плоскости переводится в точку второй. Мы будем иметь в виду именно последнее активное преобразование. Заметим, что вследствие линейности преобразования в обоих случаях прямая переходит в прямую, точки пересечения кривых соответствуют друг другу и каждая замкнутая фигура преобразуется в замкнутую же. т. е. топологическая структура фазовой плоскости не изменяется. Выражая теперь из уравнений (2.65) X и у через и т), подставляем эти значения в уравнения [c.55]

Плоскости, касающиеся торса и вспомогательного конуса вдоль параллельных образующих, взаимно параллельны и, следовательно, пересекают плоскость по параллельным прямым линиям. Эти прямые линии являются касательными в соответствующих точках к линиям d, d и idi, ld i пересечения торса и его вспомогательного (направляющего) конуса плоскостью Qy. Кривые линии d, d и idi, ld i конформны между-собой. Такие кривые и в преобразовании являются также конформными. Эю следует из подобия треугольников, основаниями которых являются параллельные между собой бесконечно малые хорды кривых, а сторонами — парные образующие торса и его направляющего конуса. [c.292]

Механизмы с одной или несколькими степенями свободы, в основу функционирования которых положено копирование (без преобразования или с трансформацией воспроизводимой траектории по сравнению с задающей), образуют класс колирующих механизмов. Механизмы с одной степенью свободы, в основу которых положено преобразование движения привода в заданное движение, обычно применяют для получения точного простого типового движения или приближенного сложного движения. Используют механизм с одной степенью свободы также для воспроизведения движения промежуточного звена устройства с несколькими степенями свободы. Наиболее распространены следующие механизмы с одной степенью свободы, служащие для получения движения точки по заданному отрезку прямой, дуге окружности и по другим типовым траекториям прямолинейнонаправляющие напранляющие по окружности направляющие механизмы пересечения поверхности тела вращения плоскостью или поверхностью другого тела вращения. [c.584]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...