Задача Дирихле для уравнения Лапласа

Другой пример некорректной задачи уже связан не с самой рассматриваемой проблемой, а обусловлен способом ее решения. Имеется в виду задача Дирихле для уравнения Лапласа. Здесь [c.190]

Рассмотрим идею метода установления на примере задачи Дирихле для уравнения Лапласа с двумя независимыми переменными [c.130]

Рассмотрим теперь решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом Монте-Карло. Пусть требуется решить уравнение [c.302]

Легко показать, что вероятность попадания случайной точки в область G не равна нулю. Излаженный метод решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа называется методом блуждания по сферам. [c.304]

Пристрелочный метод. Этот метод основан на решении так называемых некорректных граничных задач теории уравнений с частными производными. Пусть, например, требуется найти конформное отображение криволинейной полосы О — О <. у <. у(х) на прямолинейную полосу Д = О < у < 1 . Мы видим, что эта задача сводится к решению задачи Дирихле для уравнения Лапласа [c.121]

Задача решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода является некорректной [370]. Понятие корректности постановки задач математической физики впервые сформулировано Ж. Адамаром при изучении задачи Коши для уравнения Лапласа [4]. Некорректность решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода заключается в том, что их решен 1я неустойчивы к малым изменениям исходных данных. Долгое время считалось, что некорректно поставленные задачи не имеют физического смысла и поэтому они не изучались. Однако в последнее время были разработаны эффективные методы решения таких задач и показано, что практические задачи сводятся к ин-Т5гральным уравнениям первого рода [370]. В частности, классическая задача Дирихле для уравнения Лапласа, если ее решение искать в виде потенциала простого слоя, сводится к интегральному уравнению первого рода [56, 208]. Аналогичная ситуация имеет место и для уравнений теории упругости [298, 299]. Контактные задачи теории упругости и теории оболочек также могут быть сведены к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода (см. параграф 3.5 настоящей работы н [144, 156]). Заметим, что задача численного обращения преобразова- [c.103]

Для простоты рассмотрим эти вопросы на примере плоской задачи Дирихле для уравнения Лапласа и для области, ограниченной простой замкнутой кривой Ляпунова S. [c.358]

Аналогичной (2) линейной задачей является задача Дирихле для уравнения Лапласа в области со. Выписать ее решение в явной форме в случае произвольной области невозможно. В то же время задача (2) допускает эффективное решение. Пусть, для простоты, функция ср принимает каждое свое значение не более двух раз. Имеет место [c.193]

Отметим, что для получения неравенства (5.56) из (1.21) мы воспользовались гладкостью собственных функций задачи Дирихле для уравнения Лапласа и неравенством (5.52). [c.278]

Бахвалов H. . [1959]. 0 численном решении задачи Дирихле для уравнения Лапласа, — Вестник МГУ, Л"9 5, с. 171 —195. [c.541]

Федорюк М.В. Асимптотика решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа и Гельмгольца во внешности тонкого цилиндра. — Известия АН СССР, сер. матем., 1981, т. 45, вып. 1, с. 167 - 186. [c.466]

Мы опишем другой метод решения задачи об отображении, который основан на решении не задачи Дирихле, а задачи Коши для уравнения Лапласа, в которой на оси X задаются значения не только функции у, но и [c.121]

Плоские задачи (задачи кручения и изгиба стержней в постановке Сеи-Венана). Как было установлено выше, эти задачи приводятся к задачам Дирихле и Неймана для уравнений Лапласа и Пуассона, поэтому имеет смысл рассмотреть их общие постановки. [c.116]

Как известно, задачи Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа решаются с помощью потенциалов простого и двойного слоев, а при решении краевых задач для других дифференциальных уравнений применяются различного рода обобщенные потенциалы. Краевые задачи теории аналитических функций комплексного переменного, к которым приводятся задачи плоской теории упругости, [c.135]

Перейдем теперь к рассмотрению краевых задач для уравнения Лапласа. Пусть Й—конечная область, ограниченная кусочно-гладкой границей S. Внутренняя задача Дирихле (D для уравнения Лапласа заключается в определ ии в области Q функции, принадлежащей классу С< >(Й)П С(Й), удовлетворяющей уравнению Лапласа и принимающей на границе S заданное значение [c.98]

Рассмотрим теперь в изложенной постановке задачу Дирихле для неоднрродного уравнения Лапласа при однородном краевом условии. Пусть 5 — граница области (2 (размерность которой т), в которой ищется решение. [c.130]

VI. 5. Внешняя и внутренняя задачи Дирихле для сжатого эллипсоида (сфероида). Сравнение форм частных решений уравнений Лапласа (VI. 1.3) и (VI. 1.8) для сферы и для сфероида показывает, что задание искомой гармонической функции на поверхности эллипсоида s = So можно также мыслить представлением в форме рядя (VI. 4.1) но в этом случае приходится разбить на отдельные слагаемые каждый член этого ряда [c.901]

Метод Шварца [34, 63, 65] является эффективным методом решения краевых задач для линейных дифференциальных уравнений в частных производных. Этот метод называется также альтернирующим ). Метод Шварца первоначально был разработан для решения задачи Дирихле для двумерного уравнения Лапласа, но может быть применен и к решению краевых задач для других дифференциальных уравнений и систем, в частности, к решению плоских статических задач линейной теории упругости. Этот метод позволяет найти решение краевой задачи для некоторой области, если эта область представляет собой пересечение или объединение нескольких областей, для каждой из которых эта краевая задача может быть сравнительно просто решена. [c.231]

Задача отыскания решения уравнения Лапласа по заданному значению функции на границе называется задачей Дирихле. Для внешней задачи Дирихле условия имеют вид (3.13). [c.133]

В связи с тем, что для этого уравнения ш = 1, 6(0) = 1, по теореме М. В. Келдыша решение задачи Дирихле в области, ограниченной отрезком линии вырождения = О (в которую переходит ось симметрии у = 0), не существует, а существует решение задачи, в которой условие для ф при = О заменено требованием ограниченности ф. Так и должно быть, потому что решение задачи Дирихле для трехмерного уравнения Лапласа в осесимметричной области существует и единственно, в силу осевой симметрии удовлетворяет при у = О условию дф/ду = О, а поэтому не может удовлетворять независимому условию для ф. [c.50]

Рассуждение повторяет аналогичное доказательство [56, 96] для решения обобщенной задачи Дирихле в ограниченной области для уравнения Лапласа. Последнее основано на применении принципа максимума с использованием в качестве мажоранты функции [c.92]

Значительное место в его творчестве занимают вопросы теории ньютоновского потенциала, разработанные им в строго классическом направлении. Отправляясь от фундаментальных работ А. М. Ляпунова, относящихся к проблеме фигур равновесия, Леонид Николаевич живо и оригинально строит решение граничных задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа. В .предположении постоянной плотности он доказывает известную теорему П. С. Новикова по обратной задаче ньютоновского потенциала, а также исследует вопрос об аналитическом продолжении функций, представимых потенциалами. Эти результаты нашли освещение в опубликованной в 1946 г. монографии Теория ньютоновского потенциала , к которой примыкают две другие работы Об одной обратной задаче теории потенциала (1938 г.) и О единственности определения формы притягивающего тела по значениям его внешнего потенциала (1954 г.). Интерес Леонида Николаевича к этим вопросам не ослабевал до последнего времени ( К теории сфероида Лапласа , 1968 г.). [c.10]

Однако не следует думать, что задача теории упругости может быть сведена к интегрированию системы (8.5.5) или что величина 0 может быть найдена по известным методам решения уравнения Лапласа. Величина 0 никогда не бывает задана на границе и определить ее, решая задачу Дирихле, не удается. Система (8.5.5) представляет собою систему двенадцатого порядка, тогда как исходная система (8.5.3) шестого порядка. Чтобы определить бигармоническую функцию, на границе области необходимо задать два условия, например, щ и dujdn, т. е. нормальную производную от Ui, тогда как для решения системы [c.249]

Воспользуемся теперь случайной траекторией для решения задачи Дирихле уравнения Лапласа. [c.304]

Однако не следует думать, что задача теории упругости может быть сведена к интегрированию системы (3.11) или что величина в может быть найдена с помощью известных методов решения уравнения Лапласа. Величина в никогда не бывает задана па границе. Определить ее, решая задачу Дирихле ), не удается. Система (3.11) имеет двенадцатый порядок, тогда как исходная система (3.6) — шестого порядка (порядок системы можно определить как произведение порядка максимальной производной на количество уравнений). Чтобы определить бигармоническую функцию, па границе области необходимо задать два условия, например щ и дщ/дп, т. е. нормальную производную от щ, тогда как для решения системы (3.6) достаточно задать только величины щ в каждой точке поверхности. Относительно легко построить три бигармопические функции, принимающие на границе заданные значения, но они могут не удовлетворять уравнениям (3.6). [c.58]

Если в рассматриваемой области токи отсутствуют, то статические поля описываются скалярным потенциалом, и тогда еобходимо решать уравнение Пуассона (1.18) или уравнение Лапласа (1.23) с потенциалами, заданными на поверхностях электродов, полюсных наконечников, либо постоянных магнитов (граничная задача Дирихле). Если пренебречь влиянием токов, создающих магнитные поля, электрическими и магнитными полями, создаваемыми самими пучками заряженных частиц (см. гл. 12), считать проницаемость магнитного материала бесконечно большой, а эффекты насыщения пренебрежимо малыми, то в принципе нет различия между электростатическими и магнитными полями, так как распределение скалярных потенциалов в обоих случаях определяется уравнением Лапласа и граничными условиями. Большинство методов, представленных в этой главе, пригодны для определения таких потенциальных полей. [c.64]

Прежде всего покажем вкратце, каким образом решается для шара задача Дирихле, т. е. задача об определении функции Ф, удовлетворяющей внутри шара уравнению Лапласа Д р = О и принимающей заданные значения на поверхности шара. [c.96]

Для уравнения (32) задача Дирихле и задача N однозначно разрешимы [92]. Для уравнения (33) разрешимость задачи Дирихле, как было установлено М. В. Келдышем [44, 92] определяется величинами т и 6(0). Если задача Дирихле не имеет решения, то оказывается однозначно разрешимой задача, в которой условие на отрезке звуковой линии заменено требованием ограниченности решения. Эта фундаментальная теорема может быть проиллюстрирована примером из теории уравнения Лапласа [20]. Трехмерное уравнение Лапласа при наличии симметрии относительно оси у = О [c.50]

В предыдущем параграфе решение задачи о кручении призматического стержня произвольного поперечного сечения было сведено к решению уравнения Пуассона (6.11) при граничном условии (6.25). Покажем, что оно может быть сведено также к решению задач Неймана или Дирихле для двухмерного уравнения Лапласа. [c.250]

Заметим, однако, что, хотя эти методы в своей основной форме довольно ограничены по типу граничных условий задачи, при известной модификации их можно применять и к более общим задачам. Рассмотрим сначала случай прямоугольной области с граничным условием Дирихле = f x,y), где всюду f ф 0. Введем вспомогательную функцию я] , которая определяется как точное решение уравнения с граничными условиями я] = О на всей границе. Затем введем вторую вспомогательную функцию i] , которая определяется как точное решение конечно-разностного уравнения Лапласа = О с граничным условием я] = f x,y). Точное решение получается при помощи метода разделения переменных, разработанного для дифференциальных уравнений в частных производных (см., например, Вейнбергер [1965]) и применяемого к конечноразностному уравнению. (Необходимые разложения по собственным функциям уже известны из разложения, которое требуется при решении уравнения Пуассона.) Тогда в силу линейности задачи окончательное решение получается суперпозицией. Поскольку у2я з> = и У я] " = О, имеем у2(я15 + я] ) = и, поскольку на границах ф == О и я " = f (х, (/), имеем я15 + я15 = = f(x,y). Поэтому функция я15 = я]з я удовлетворяет уравнению у2я з = и граничному условию я] = f(x,y). [c.205]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...