Сходимость метода Ритца

Для ЭТОЙ цели указанная сумма (3.30) конечного числа членов подставлялась в определенные интегралы (3.25) и (3.26), выражающие энергии и внутренних и внешних сил. Прежде чем вычислять суммы интегралов, находились их частные производные по неизвестным постоянным С, . .., Затем использовалось вариационное условие 6(1 г+1 ) =0, приводившее к системе п линейных уравнений для определения постоянных Си. .., Сп. Эта система получалась после вычисления интегралов, которые появляются в этих уравнениях (при заданном распределении давления р по пластинке) в качестве коэффициентов этой системы. Можно добавить, что, как показали Ритц, а потом и другие авторы, при надлежащем выборе функций йУ ,(л , у) в представлении (3.30) рассмотренный метод дает очень быструю сходимость и его можно также использовать (после вычисления частных производных второго порядка от ге ) для нахождения действующих в пластинках напряжений изгиба или моментов. В случае пластинки с жестко заделанными краями Ритц и Стодола ) заметили, что вариация части интеграла, определяемого соотношением (3.25), [c.152]

Достаточным условием сходимости метода Ритца является требование того, чтобы (fj, фд, были частью полной в I/ системы функций, т. е. такой системы, для которой [c.334]

Для квадратной пластинки с a — b—, D=1 значения функционалов Лагранжа н Кастпльяно при различном числе членов ряда представлены в табл. 5.1 и иллюстрируют сходимость метода Ритца при выбранных координатных функциях. [c.202]

Аппарат, развитый в первых двух гла.вах книги, иллюстрируется в первой половине параграфа (пп. 1—6) на примере элементарной одномерной задачи. Задача эта имеет явное решение, и применение к ней различных вариантов обобщенного метода собственных колебаний позволяет получить разложения этого решения в беско-вечные ряды по различным функциям. Сравнение этих решений позволит, в частности, проиллюстрировать соотношения между резонансными кривыми, описывающими для одной и той же задачи амплитуду резонансного слагаемого в различных разложениях. В пп. 7—9 стационарные функционалы главы III используются для нахождения собственных значений двух — тоже одномерных— однородных задач. Так как эти собственные значения легко находятся непосредственно, то на этих примерах удается установить практическую скорость сходимости метода Ритца в применении к комплекснозначным функционалам. [c.202]

Запись трансцендентного уравнения в виде (19.47) позволяет проследить скорость сходимости метода Ритца в применении к рассматриваемой задаче. Если в сумме (19.45) ограничиться конечным числом членов, то это приведет к конечным размерам определителя и, далее, к конечной сумме в (19.47). Каждый член в последней сумме соответствует базисной функции с тем же номером в (19.45), и скорость сходимости последовательности чисел — корней уравнения (19.47) с конечной суммой из N членов — есть скорость сходимости метода Ритца. Записав уравнение (19.47) с N N членами и вычтя одно яз другого, получим, что при достаточно [c.215]

А поскольку Ул возрастают, как М, то скорость сходимости метода Ритца для данной задачи имеет порядок [c.216]

Скорость сходимости метода Ритца в применении к задаче (19.41), (19.51) определяется скоростью сходимости ряда в (19.54) т. е. по-прежнему имеет порядок 1/Л . Теперь, однако, правая часть в (19.50) ест1 просто параметр задачи, и поэтому чем больше/га д/е. тем больше базисных функций нужно брать для достижения той же точности. Численные результаты, характеризующие скорость сходимости, приведены в табл. 19.3. [c.219]

Легко проверить, что из-за наличия интегралов по 51 и 5г функционал (21.3) не будет положительно определенным. Сходимость метода Ритца следует контролировать численным способом. Сравнение результатов, полученных при разном количестве базисных функций, показывает, что наименьшее по модулю собственное значение б1 вычисляется с погрешностью примерно 1% при общем числе базисных функций (в У+ и ]/ ), равном 6—7. Существенного улучшения точности с увеличением числа базисных функций достичь не удается без специальных мер, повышающих устойчивость вычислительного процесса. Тем не менее увеличение числа функций существенно повышает (примерно до того же уровня 1—5%) точность вычисления высших собственных значений. [c.229]

Выбор подходящих координатных функций и удовлетворение граничным условиям, естественно, в рассматриваемом случае значительно сложнее, чем в одномерном. Нужно вообще заметить, что сходимость метода Ритца с увеличением числа независимых переменных ухудшается. [c.131]

Для выяснения причин, обусловливающих плохую сходимость метода Ритца, были проанализированы результаты расчетов форм колебаний по основному тону, проведенных методом последовательных приближений, для серии стержней переменного сечения с различными законами распределения площадей и моментов инерции. В результате анализа было установлено, что методы, ис- [c.280]

Более общий подход к сходимости использует запись фуикционала в виде суммы вкладов. В результате производные в функционале вычисляются ие дифференцированием по области а дифференцированием на каждом элементе по отдельности, что позволяет обойти проблему разрыва производных прн пере-, ходе через границу между элементами. Поэтому сходимость даже несогласованных элементов может быть исследована иа основе того, стремится ли функционал (вычисленный описанным способом) к истинному значению по мере стремления к нулю размера элемента. Анализ сходимости наиболее удобным образом формулируется в терминах гильбертовых пространств и энергетических, норм. Оливейра [16] с использованием последнего подхода продемонстрировал, что для класса задач, рассмотренных выше, можно быть уверенным в сходимости метода Ритца, еслн и в пределах элемента аппроксимируется полным полиномом вплоть до порядка р (где р —порядок наивысшей производиои в функционале) прн условии, что требование согласованности. выполняется. То, что полнота ) и согласованность являются достаточными условиями сходимости, было подтверждено Оденом [И] с помощью более общего анализа того же самого класса задач. [c.173]

Как было показано Оденом [11], монотонная сходимость метода Ритца к точному решению имеет место, еслн [c.175]

Это доказательство применяется без всяких изменений ко всем таким задачам минимизации, и нет нужды повторять его в каждом случае. Необходимое и достаточное условие для сходимости метода Ритца очевидно для всякой допустимой функции и ее расстояние до пространства пробных функций S (измеренное по энергии) должно стремиться к нулю при h->0. Из доказательства предыдущей теоремы видно, что эту сходимость можно проверять на плотном подпространстве, т. е. таком, пополнение которого в энергетической норме включает все допустимые функции сходимость тогда будет автоматически следовать для каждой функции и. Однако интересно установить скорость сходимости в энергетической норме в случае, когда и — достаточно гладкая функция. [c.63]

Цель настоящего параграфа —показать, что сформулированные в предыдущей главе методы решения задач теории упругости по существу совпадают с описанным в 2 приложения II методом Ритца при специальном выборе базисных функций ф,-, и наметить путь к обоснованию, состоящему в доказательстве теорем о сходимости и оценке погрешности. [c.157]

Таким образом, предложенный в предыдущей главе метод конечных элементов совпадает, по существу, с методом Ритца. Из общих результатов 2 приложения II следует, что для доказательства сходимости метода при /i = max/г , О достаточно проверить полноту системы функций (4.3) в F последняя проблема сводится к исследованию возможности аппроксимации функции из V кусочно-полиномиальными функциями. [c.158]

Метод Ритца требует от аппроксимирующих функций лишь выполнения кинематических условий на поверхности тела (сходимость процесса в общем случае не выяснена). Если же аппроксимирующие функции выбрать так, чтобы они удовлетворяли не только кинематическим, но и статическим (а в общем случае также и динамическим) условиягл на поверхности тела, то поверхностные интегралы в уравнениях (3.6.1), (3.7.1), (3.7.3) исчезают и соответствующие системы уравнений упрощаются. Для этого метода—метода Бубнова — Галёркина, решается положительно вопрос о сходимости процесса, т. е. с увеличением числа [c.74]

Методом Ритца можно получить ряд последовательно все более точных приближений. Вопрос о сходимости этих приближений к искомому решению вариационной задачи, а также об оценке погрешности этого метода представляет собой относительно трудную задачу 28, 411. [c.109]

Следовательно, сейчас уже имеется достаточно надежный аппарат для теоретического обоснования несовместных конечных элементов, использование которых до недавнего времени считалось некорректным. Доказательство сходимости МКЭ в несовместном случае не использует традиционные приемы вариационно-разностных методов и является новой математической задачей. Таким образом, если МКЭ в совместном случае можно классифицировать как модификацию метода Ритца, то обоснованное применение несовместных конечных элементов позволяет классифицировать МКЭ как самостоятельный метод не только с точки зрения процедурной реализации, но и с точки зрения теоретического обоснования. [c.13]

Таким образом, строится приближенное решение задачи. Приемлемо предположение, что при достаточной общности системы аппроксимирующих функций вычисленное значение потенциальной энергии системы будет все более с ростом п приближаться к ее минимуму. Но из этой сходимости по энергии не следует еще, что и последовательность приближений (2.3.1) сходится к искомому решению. Здесь нет места для этих рассмотрений, которым посвящена обширная специальная литература ). Вычисление дает при разумном выборе вида и числа аппроксимирующих функций значения вектора и, достаточно близкие к точному решению меньшей точности следует ожидать от вычисления по найденным методом Ритца перемещениям их производных, значит, и напряжений. [c.154]

Во второй части, являющейся центральной, излагается собственно метод конечных элементов. Показана его связь.с методом Ритца (гл. 4), описаны некоторые конечные элементы сплошной среды (гл. 5), рассмотрены вопросы сходимости приближенного решения к точному (гл. 6). Для более глубокого понимания существа метода конечных элементов необходимо иметь хотя бы общую ориентировку в вопросах его сходимости. Именно такую ориентировку дает гл.6, не претендующая на математическую строгость, но содержащая зато доступное для инженера изложение этой темы. [c.7]

Сходимость полученного по методу Ритца решения ( 6.1) к об щему интегралу уравнений упругости будет тем лучше, чем боль ше членов взято в разложениях (6.1) и чем искуснее выбраны апроксимирующне функции. Поэтому особо успешно метод Ритца будет применен, когда, например, удачным подбором функций [c.78]

Сходимость полученного по методу Ритца решения (У.38) к общему интегралу уравнений упругости будет тем лучше, чем больше членов взято в разложениях (У.38) и чем искуснее выбраны аппроксимирующие функции. Поэтому особо успешно метод Ритца применяется тогда, когда, например, удачным подбором функций и у< >, улавливается основная часть решения. В общем [c.93]

Если рассматривается линейная упругая среда, то система (2.9) является линейной алгебраической. После решения каким-либо образом системы (2.9) приближенное решение задачи (2.1), (2.2) записывается в виде (2.4). Метод Ритца достаточно математически обоснован [60], причем для его сходимости необходимо число N в (2.4) устремить к бесконечности. Однако на практике, оказывается, не всегда получается тем лучший результат, чем взято большее число кооординатных функций. Оказывается, что при некотором достаточно большом N система Ритца (2.9) становится плохо обусловленной [60]. Поэтому важно в зависимости от применяемой ЭВМ и от желаемой точности решения исследовать вопрос о числе координатных функций. [c.254]

Многие исследования посвящены доказательству сходимости этих методов. Показано, что методы Ритца и Бубнова — Галеркина совпадают для но-< ложительно-определенных операторов и что для данного уравнения и данной системы базисных функций при тг оо или все методы сходятся, или все не сходятся в среднем к точному решению. Э. Треффтц предложил приближенный метод, в котором строго удовлетворяются уравнения задачи по приближенным граничным условиям. [c.254]

ЛЯТЬ К интегралам в (14.35) еще слагаемые, либо, что проще, полагать k слегка комплексным это обеспечивает их сходимость. В отличие от функционалов для в рассмотренных выше внутренних задачах дифракции без потерь, функции и в (14.35) теперь обязательно комплексны. Функционал w принимает комплексные значения и на Wo достигает не экстремума, а именно стационарного значения. Для формального применения, например, метода Ритца, этого достаточно, и весь формализм (14.12) — (14.20) применйм к (14.35) и для внешних задач, однако вопросы, связанные со сходимостью решений уравнения (14.20), в этом случае значительно сложнее. [c.147]

Вопросы сходимости решений, получаемых методами Ритца и Галеркина, и оценок даваемых ими приближений рассматриваются в многочисленных работах и монографиях. См. книги Л. В. Канторович и В. И. Крылов, Приближенные методы высшего анализа, Гостехиздат, 1949 и С. Г. М и X л и н, Прямые методы в математической физике, Гостехиздат, 1950. [c.697]

В этот очерк не включены приближенные способы решения, основанные на применении вариационных принципов (методы Ритца — Тимошенко, Галеркина, Канторовича). Практика их применения развита в монографии Л. С. Лейбензона (1951). Большое число исследований посвящено изучению сходимости вариационных методов и оценкам погрешности (в ряде случаев двусторонним) приближенных решений (С, Г. Михлин, М. Г. Слободянский). [c.17]

Для численной реализации и для улучшения характера сходимости уравнений метода Ритца важно подобрать такие координатные функции, которые являются частью линейно независимой и полной бесконечной системы функций. [c.130]

Метод Ритца оказывается полезным для решения практических задач, даже если сходимость проверить затруднительно и используемые оценки применимы только для узкого круга [c.131]

Метод Трефтца очень эффективен, им могут быть решены некоторые задачи теории упругости (например, задачи кручения), причем можно задать ошибку аппроксимации. В качестве недостатка этого метода по сравнению с методом Ритца можно указать на его медленную сходимость. [c.132]

После того как на многих задачах была показана пригодность метода конечных элементов, стали обсуждаться лежащие в основе метода связи с энергетическими принципами. Обнаружилась ясная связь метода конечных элементов с классическим методом Ритца. Это привело к общим и далеко идущим постановкам, кроме того, метод получил строгое математическое и механическое обоснование и к нему могут быть применены общие теоремы о сходимости (см. [43, 44]). [c.139]

Изложенный здесь подход известен как метод перемещений [1. 2]. До сих лор обоснование метода было нестрогим, хотя, в сущности, этот метод эквивалентен минимизации полной потенциальной энергии системы, выраженной через поле перемещений. При подходящем выборе поля перемещений- решение должно сходиться к точному. Этот процесс эквивалентен хорошо известному методу Ритца, что будет показано в одном из последующих разделов этой главы. Там же будут рассмотрены необходимые критерии сходимости. [c.27]

Отметим, что скорости убывания ошибок — h для переме щения и h для напряжения — опять-таки подтверждаются численным экспериментом. Многие экспериментаторы подсчитывали ошибки только в отдельных узлах сетки вместо среднеквадратичных ошибок на интервале и получили те же самые скорости сходимости. (Чтобы предсказать поточечные ошибки, мы должны вернуться к принципу максимума или предположить большую гладкость данных в среднем и улучшить вариационную оценку. В некоторых важных задачах решение по методу Ритца действительно точнее всего в узловых точках например, для —и" f, и(0) = и (п) = О функция и совпадает [c.65]

Сходимость энергии деформации есть по существу сходимость производных порядка, т от функции Ф к соответствующим производным от и. Эта производная, следовательно, особая, поскольку в методе Ритца минимизируется энергия. Для производной порядка 5, где 5 может быть больше или меньше т, сходимость не может быть быстрее, чем т. е. чем [c.130]

Мы хотим показать, что можно строго установить, что скорость сходимости производной равна (как и раньше), но для больших т метод конечных элементов может оказаться несостоятельным. Доводы довольно общие. Доказательство сходимости, когда вещественная (самосопряженная) часть эллиптична, охватывает метод Ритца как частный случай, а метод Галёркина может оказаться неудовлетворительным, если член с нечетной производной (мнимая, или кососопряженная часть) очень велик. [c.144]

СТВО сходимости для двух наиболее важных смешанных элементов, в которых моменты соответственно постоянны и линейны в каждом треугольнике. Его доказательство устанавливает после исключения неизвестных перемещений и определения неизвестных моментов как функций, минимизирующих положительно определенное выражение (дополнительную энергию), особое свойство. Это свойство совпадает с известным условием Ритца пробные моменты в дискретном случае содержатся в пространстве допустимых моментов (тех, которые достигают равновесия для предписанной нагрузки) полной непрерывной задачи. Поэтому, как и в методе Ритца, сходимость основана на теории приближений и ее можно доказать. Для других смешанных (и гибридных) элементов естественное доказательство проверяется из согласованности (или аппроксимируемости) и устойчивости. Тогда общая теорема Бабушки [Б5] дает сходимость, Бреззи доказал устойчивость для одного гибридного элемента, и его прием распространяется на общую теорию. [c.151]

Метод Ритца заключается в минимизации функционала I(и) на последовательности подпространств 5 . Основная теорема (стр. 54) устанавливает, что минимизирующая функция и есть проекция и на S , иными словами, л — ближайшая к и функция по норме энергии деформации а (и, и). Поэтому, если каждое подпространство 5 содержится в следующем (как это предполагается в классическом методе Ритца и обычно выполняется в методе конечных элементов, когда новые элементы строятся в результате разбиения старых), сходимость по норме энергии деформации монотонна при Л->0. Такова же и сходимость собственных значений. В тео рии Ритца это, возможно, и полезно, но не столь существенно монотонность последовательности подпространств 5 предполагается дополнительно, так что монотонность сходимости — дополнительный вывод. [c.339]

Решение вариационного уравнения Лагранжа по способу выбора аппроксимирующих функций может быть выполнено методом Ритца, Галеркина, Треффца и др. Метод Ритца требует от аппроксимирующих функций только лишь выполнения кинематических условий на поверхности тела. Сходимость процесса в общем случае не выяснена. Если же аппроксимирующие функции выбрать так, чтобы они удовлетворяли не только кинематическим, но также и статическим (динамическим) условиям на поверхности тела, то поверхностные интегралы в уравнениях (12), (18), (20) исчезают и соответствующие системы уравнений упрощаются. Этот метод носит название метода Галеркина. Следует отметить, что для метода Галеркина решается положительно вопрос о сходимости процесса, т. е. с увеличением числа аппроксимирующих функций до бесконечности получается точное решение задачи. В методе Треффца аппроксимирующие функции выбираются так, чтобы объемный интеграл в уравнениях (12), (18), (20) тождественно обращался в нуль. Для метода Треффца сходимость процесса доказана. [c.23]

Проблема сходимости приближенных решений, построенных по методу Бубнова — Галеркина, к точному решению в том случае, когда оператор — положительно определенный, эквивалентна аналогичной проблеме для процесса Ритца, и поэтому нет нужды в ее самостоятельном рассмотрении. Для других случаев такие исследования выполнены. Рассматривался, например [178], вопрос о решении интегральных уравнений Фредгольма второго рода и было показано, что решение по методу Бубнова — Галеркина совпадает с решением, получаемым при замене ядра на вырожденное при разложении его в ряд по произведениям координатных функций. [c.154]

Если система базисных функций Д- (х) полная, то при N — оо решение задачи методом Рэлея—-Ритца сходится к точному решению. Но при практическом использовании метода, когда число членов ряда (2.68) невелико, сходимость к точному решению имеет только теоретическое значение. Значительно важнее удачно выбрать вид первых членов этого ряда. [c.67]

Таким образом, видно, что метод Релея — Ритца в теории упругости при малых перемещениях ведет к формулировкам, эквивалентным тем, которые получены с помощью приближенных методов 1.5 и 1.7. Однако каждый метод имеет свои преимущества и недостатки в применении к задачам, отличным от задач теории упругости. Эти приближенные методы справедливы независимо от соотношений напряжения — деформации и потенциалов внешних сил, но обычно трудно доказать, что приближенное решение сходится к точному при увеличении п. С другой стороны, соотношения напряжения — деформации, объемные силы и поверхностные силы должны обеспечивать существование функций состояния Л, Л Ф и Ч при использовании вариационных формулировок метода Релея — Ритца. Однако доказательство сходимости решений здесь менее сложно, особенно когда найдено минимальное или максимальное значение функционалов. [c.62]

Отметим здесь важную особенность разложений (23.14) они не столь чувствительны к гладкости исходных данных. Так, они сходятся даже в том случае, если Л содержит компоненты в виде б-функций, т. е. сосредоточенные силы при достаточно малой величине их интенсивности. Вместе с этим столь же быстрая сходимость ряда (23.14) будет иметь место и при равномерной нагрузке р, если она достаточно мала. Принципиальной разницы здесь нет. При использовании других приближенных методов (Бубнова — Галеркина, Ритца, конечных разностей, конечных элементов) налицо большое различие в эффективности, сильно зависящей от гладкости нагрузки. Некоторые же методы (конечные разности, конечные элементы) вообще не могут непосредственно использоваться, если нагрузка содержит разрывы типа сосредоточенных сил. Приходится предварительно производить численно-аналитическую обработку [c.203]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...