Связь метода конечных элементов с методом Ритца

Связь метода конечных элементов с методом Ритца [c.117]

Метод конечных элементов с использованием перемещений в качестве основных неизвестных представляет одну из наиболее удобных модификаций метода Ритца. Легко показать, что при определенном выборе базисных функций в векторном методе мож1Ю получить обычный метод конечных элементов. Как уже было отмечено, недостатком МКЭ является жесткая связь между числом представительных точек и числом базисных функций для перемещений (последнее непосредственно связано с числом КЭ). Поэтому для многих прикладных задач при использовании имеющейся вычислительной техники расчет кинетики неупругого деформирования с помощью МКЭ оказывается практически невозможным из-за чрезмерной трудоемкости (большая величина произведения m (2п + fn), характеризующего не только требуемую оперативную память, но и число операций в одном упругом решении). При этом в ряде случаев большое число т не дает существенного уточнения и потому является излишним, расчет с тремя—десятью базисными функциями был бы вполне адекватен. Таким образом, использование векторного метода дает преимущества, но по сравнению с МКЭ он проигрывает из-за необходимости подбора базисных функций, который может представлять серьезную проблему. В МКЭ задание базисных функций является наиболее ёстественным и унифицировано для любых задач. [c.222]

После того как на многих задачах была показана пригодность метода конечных элементов, стали обсуждаться лежащие в основе метода связи с энергетическими принципами. Обнаружилась ясная связь метода конечных элементов с классическим методом Ритца. Это привело к общим и далеко идущим постановкам, кроме того, метод получил строгое математическое и механическое обоснование и к нему могут быть применены общие теоремы о сходимости (см. [43, 44]). [c.139]

Настоящая глава посвящена изложению одного из наиболее перспективных способов дискретизации непрерывных задач — методу конечных элементов. Метод будет сформулирован как обобщение матричных методов сил н перемещений строительной механики на случай континуальных систем. Преимущества такой формулировки — в очевидных возможностях обобщения на случай нелинейных и неконсервативных систем, недостаток —в завуали-рованности связи с традиционными вариационными методами — Ритца и Бубнова — Галеркина, а также в трудностях перенесения на краевые задачи немеханического происхождения. [c.130]

Полученные ранее на основе принципа возможных перемещений формулировки задач статики, устойчивости и динамики позволяют построить эффективные приближенные методы решения. Рассмотрим основные этапы решения указанных задач с помощью метода конечных элементов (МКЭ) [22, 40, 43, 59, 61 ]. Одна из трактовок МКЭ связана с методом Рэлея—Ритца. Характерной особенностью для МКЭ явилось то, что аппроксимация искомых решений стала выполняться не во всей области, а в пределах отдельных простых элементов, на которые разбивается тело. Отдельные элементы стыкуются между собой по вершинам (узлам) и граням. Координатные функции, как правило, выбираются в виде кусочно-полиномиальных функций. Каждая функция равна нулю на большей части об- [c.100]

Здесь представим только общие соображения по расчету нелинейных систем, поскольку эта тема выходит за рамки данной работы. Нелинейные задачи деформирования стержней, пластин и оболочек весьма разнообразны и каждая задача требует индивидуального подхода. Однако, если нелинейные модули образуют целостную систему, то для узловых точек (линий) всегда будут справедливы уравнения равновесия между статическими параметрами и уравнения совместности перемещений между кинематическими параметрами. Это значит, что топологическая матрица С в алгоритме МГЭ для нелинейных систем будет формироваться из анализа матриц X ж Y точно так же, как для упругих систем. Основные же трудности решения нелинейных задач заключаются в определении внутреннего содержания матриц А В, т.к. построить фундаментальные функции нелинейных дифференциальных уравнений за небольшим исключением не удается. В этой связи получили развитие различные подходы к решению нелинейных краевых задач [83]. К первому направлению относятся проекционные и вариационные методы типа методов Бубнова и Ритца, методы конечных разностей и конечных элементов. Этими методами нелинейные краевые задачи сводятся к системам нелинейных [c.512]

Во второй части, являющейся центральной, излагается собственно метод конечных элементов. Показана его связь.с методом Ритца (гл. 4), описаны некоторые конечные элементы сплошной среды (гл. 5), рассмотрены вопросы сходимости приближенного решения к точному (гл. 6). Для более глубокого понимания существа метода конечных элементов необходимо иметь хотя бы общую ориентировку в вопросах его сходимости. Именно такую ориентировку дает гл.6, не претендующая на математическую строгость, но содержащая зато доступное для инженера изложение этой темы. [c.7]

Всякое упругое тело имеет бесконечно большое число степеней свободы. В методе Ритца деформированное состояние тела определяется выбором нескольких параметров, которые находятся из условия минимума полной энергии и выступают в качестве степеней свободы тела. Ограничение числа степеней свободы равносильно введению дополнительных внутренних связей, что приводит к завышению жесткости тела по сравнению с истинной. То же самое относится и к методу конечных элементов, если используются совместные элементы. В этом случае перемещения, получаемые методом конечных элементов, будут в среднем меньше их точных значений. [c.204]

Особое внимание уделено смешанным вариационным формулировкам двух типов. Первая соответствует смешанному вариационному принципу Рейссиера, вторая — задачам на экстремум полной потенциальной энергии системы при наличии дополнительных условий в виде дифференциальных уравнений связи между перемещениями и их производными. Для одномерных задач предлагается вариационно-матричный способ вывода канонических систем разрешающих дифференциальных уравнений. Для двумерных задач рассматриваются вопросы реализации решений с использованием проекционных методов типа Рэлея—Ритца и конечных элементов с учетом специфики смешанной вариационной формулировки. [c.5]

За последние годы методы расчета, основанные на уравнениях в конечных разностях, были заменены методами конечных элементов (см., например, работу Дагдэйла и Ритца [22]). Суть этих методов состоит в том, что тело, которое до сих пор мы рассматривали как сплошную среду, подчиняющуюся определенным соотношениям напряжение — деформация, заменяется каркасом, состоящим из элементов обычно треугольной или трапецеидальной формы, что связано с двумерностью деформации. Совокупность элементов образует законченную решетку, внешняя форма которой соответствует форме непрерывного тела. Распределение напряжений в теле рассчитывают, рассматривая равновесие сил в общих точках или узлах решетки, а распределение деформаций — принимая во внимание перемещения этих узлов. [c.80]

В частном случае точечной нагрузки / = б(хо), когда перемещение и хо) пропорционально энергии деформации, оно также оценивается снизу в методе Ритца более жесткая численная структура дает меньшие перемещения в нагруженной точке, чем истинная конструкция. Для распределенных нагрузок тенденция та же перемещение Ф х) в методе конечных элементов обычно ниже истинного перемещения и х). Конечно, это не настоящая теорема, так как метод Ритца минимизирует энергию, а ее связь с перемещением не является строго монотонной. Другими словами, и может превышать и на некоторой части конструкции, но в то же время иметь меньшие производные в среднем квадратичном. Тем не менее односторонние [c.120]

Для проблемы 1 предположим сначала, что на каждом квадрате сетки только один узел (и одно связанное с ним неизвестное) это случай линейных элементов на правильных треугольниках, билинейных элементов на квадратах и сплайнов. Тогда КО = Р будет выглядеть точно как общепринятое разностное уравнение. Этот факт привел к бесчисленным дискуссиям о связи между конечными элементами и конечными разностями. Ясно, что не все разностные уравнения можно получить подходящим выбором элемента матрица К должна быть симметричной и положительно определенной, но даже при этих ограничениях соответствующий элемент может отсутствовать. С другой стороны, достаточно терпеливый читатель может пожелать рассматривать все уравнения метода конечных элементов (даже на неравномерной сетке с многими узловыми неизвестными) как конечноразностные уравнения. Мы приветствуем это намерение. Вообще система КО = Р дает новый тип объединенных разностных уравнений, который в принципе можно было изобрести без вариационного принципа в качестве посредника. Исторически, конечно, это почти никогда не случалось. Метод конечных элементов систематически приводит к специальному классу уравнений [пересечению всевозможных разностных уравнений со всевозможными уравнениями Ритца — Галёркина), удивительно удачному при вычислениях. [c.200]

К классу комбинированных методов относится использование некоторых сложных конечных элементов (суперэлементов), которые можно оп-ределить [5.1] как элементы, внутри области которых выполняются все уравнения данной теории следовательно, применение сложных конечных элементов связано с функционалом граничных условий. Эти уравнения могут быть выполнены точно (в этом случае получаем метод Ритца для функционала граничных условий) или приближенно— с помощью аналитических или численных методов. Здесь заключена возможность и удобство комбинированного применения МКЭ с другими методами, в том числе с МКР и разными вариантами МКЭ. [c.177]

Глобальная матрица жесткости К похожа на матрицу метода конечных разностей Ь , вернее на из предыдущего раздела. При постоянных коэффициентах главные. члены у них совпадают, обе пропорциональны вторым разностям с весами —1, 2, —1. Член нулевого порядка ди входит только в диагональные элементы матрицы А вот в матрице К этот член проявляется в связях между соседними неизвестными и сглажен с весами 1, 4, 1, возникающими из формулы Симпсона. Подчеркнем еще раз, что как только выбрано аппроксимирующее подпространство 5 , дискретная форма каждого члена уравнения полностью определена. Метод Ритца действует сразу на все уравнение и не требует от пользователя принятия неза- [c.46]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...