Гамильтоново уравнение с частными производными

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [c.300]

Дифференциальное уравнение Гамильтона в частных производных 301 [c.301]

Это уравнение мы рассматриваем как уравнение для определения S. Поскольку Т является квадратичной функцией импульсов р (V можно считать не зависящей от р), то дифференциальное уравнение Гамильтона в частных производных (43.9) является уравнением второй степени и первого порядка. [c.303]

ТЕОРЕМА ЯКОБИ ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [c.306]

Это характерное свойство W-функций не имеет аналога в теории коби. Уравнение Гамильтона в частных производных приводит к некоторому тождеству, связывающему q , Pk, которое заставляет точку оставаться на определенной поверхности в фазовом пространстве. [c.294]

Уравнение Гамильтона в частных производных. Как уже отмечалось в 15.8, главная функция играла бы весьма важную роль в исследовании динамических систем, если бы мы могли построить ее без предварительного определения интегралов уравнений движения. В этой главе мы укажем метод, с помощью которого можно построить если не функцию 5, то по крайней мере другие функции, полезные для описания движения системы. [c.283]

Итак, с помощью любого полного интеграла дифференциального уравнения Гамильтона в частных производных можно получить полное решение задачи Гамильтона, т. е. интегралы гамильтоновых уравнений движения. Дифференциальное уравнение для функции S впервые было получено Гамильтоном в 1834 г., а доказательство всей теоремы было дано Якоби в 1837 г. ). [c.286]

Теорема Гамильтона — Якоби (доказательство второе). Теорему Гамильтона — Якоби можно вывести непосредственно из теоремы об эквивалентности. Пусть 5 = 5 (д а t) будет полным интегралом уравнения Гамильтона в частных производных [c.289]

Замечания по теореме Гамильтона — Якоби. Эта изящная теорема, доказанная в 16.2 и 16.4, имеет фундаментальное значение как для теории, так и для приложений. До сих пор, исследуя динамическую систему какого-либо частного вида, мы составляли уравнения движения, после чего задача сводилась к интегрированию этих уравнений. Совершенно иначе обстоит дело в методе Гамильтона — Якоби. Как только найден один полный интеграл уравнения Гамильтона в частных производных, сразу могут быть написаны интегралы уравнений движения. Вопрос заключается лишь в том, насколько просто может быть найден полный интеграл. Однако, как будет показано, для большей части задач классической механики нахождение полного интеграла не вызывает каких-либо затруднений. [c.290]

Однородное поле. Рассмотрим теперь приложения теоремы Гамильтона — Якоби к решению конкретных задач. Начнем с исследования трех простых примеров, для которых в 15.9 мы нашли явный вид главной функции. Эта функция сама представляет полный интеграл уравнения Гамильтона в частных производных, но те полные интегралы, которые мы получим для каждого из рассматриваемых случаев, фактически не будут главными функциями. [c.291]

Уравнение Гамильтона в частных производных запишется в виде [c.291]

Другой аналогичный результат такого же типа относится к теореме Гамильтона — Якоби. Предположим, что для заданной динамической системы с функцией Гамильтона Н нам известен полный интеграл S q а t) уравнения Гамильтона в частных производных. Разрешим уравнения [c.522]

Такие системы лучей называются системами Гамильтона. Функцию Ш Гамильтон назвал характеристической функцией, а Брунс — эйконалом. Она удовлетворяет уравнению Гамильтона в частных производных или уравнению эйконала [c.37]

Это уравнение было открыто Гамильтоном в 1824 году в геометрической оптике, а спустя десять лет оно было распространено им на механику систем с потенциальными силами. Уравнение (7.1) называется уравнением Гамильтона в частных производных или (еще чаще) уравнением Гамильтона—Якоби, поскольку Якоби упростил его вывод и открыл важные свойства этого уравнения. [c.73]

Свободная точка единичной массы движется в вертикальной плоскости ху под действием силы тяжести. Составить дифференциальное уравнение в частных производных Якоби— Гамильтона и найти его полный интеграл (ось у направлена вертикально вверх). [c.376]

Движение волчка, имеющего одну неподвижную точку О, определяется углами Эйлера ф, 0 и ср. Пользуясь результатами рещения задачи 49.11, составить уравнение в частных производных Якоби — Гамильтона и найти полный интеграл его. [c.376]

Канонические преобразования могут быть использованы для того, чтобы упростить систему уравнений Гамильтона, сделать ее более удобной для интегрирования. Далее канонические преобразования будут использованы для того, чтобы получить из уравнений Гамильтона иную форму уравнений движения — уравнение в частных производных Гамильтона — Якоби. [c.312]

Вспомним теперь, что искомая производящая функция S является функцией q, q, t. Но если бы функция, удовлетворяющая уравнению (132), была бы найдена, то, как уже говорилось выше, q и р были бы константами. Поэтому интересующая нас функция S должна зависеть помимо п констант ai,. ... .., а (они входят вместо q ) лишь от старых координат q и от t. Теперь видно, что уравнение (132) является уравнением в частных производных относительно искомой функции S. Это уравнение в частных производных называют уравнением Гамильтона — коби. [c.323]

Итак, мы реализовали намеченную в начале этого параграфа программу и определили движение системы, обходя интегрирование канонических уравнений Гамильтона. Правда, при этом нам понадобилось найти полный интеграл уравнения в частных производных. [c.324]

Другими словами, полная производная от Н по времени в силу канонических уравнений Гамильтона совпадает с частной производной от Н по времени. [c.633]

Знание функции 5 действия по Гамильтону дает возможность найти закон движения системы. Функция 8 удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби. Тем самым имеется возможность с помощью методов теории уравнений в частных производных исследовать свойства движения динамических систем. [c.644]

Установленная связь между траекториями механической системы и уравнением в частных производных позволяет не только находить траекторию по решению уравнения Гамильтона-Якоби, но и, наоборот, свести интегрирование уравнения в частных производных указанного типа к интегрированию системы обыкновенных дифферен-циа,тьных уравнений Гамильтона. [c.648]

Таким образом, вопрос об интегрировании системы канонических уравнений динамики приведен к интегрированию дифференциального уравнения (11.350) в частных производных первого порядка. Дифференциальное уравнение (11.350) далее будем называть уравнением Остроградского — Гамильтона — Якоби ) [c.356]

Чтобы найти общее решение системы канонических, уравнений динамики, достаточно найти функцию V как полный интеграл дифференциального уравнения с частными производными первого порядка уравнения Остроградского — Гамильтона — Якоби) и продифференцировать этот интеграл по обобщенным координатам и постоянным интегрирования а . Приравнивая частные производные от V по обобщенным координатам обобщенным импульсам р , получим первую группу интегралов канонической системы, а приравнивая постоянным интегрирования производные от V по а , найдем вторую группу интегралов. [c.358]

Было показано, что при известном законе движения материальной системы можно построить функцию W. Теперь поставим обратную задачу, найдя функцию W без предварительного определения закона движения, найти закон движения материальной системы. Для этого докажем, что главная функция Гамильтона удовлетворяет уравнению (11.350) с частными производными первого порядка, т. е. уравнению Остроградского — Гамильтона — Якоби. Ради краткости это уравнение далее будем называть уравнением Остроградского. [c.371]

Это уравнение в частных производных называется уравнением Гамильтона— Якоби. В нем S есть функция gi, 172,. .., q и t величины Q, Q2, , Qn рассматриваются как параметры. [c.301]

Определение действия V по формуле (7.14) предполагает знание закона движения материальной системы. Поэтому нет ничего удивительного, что в формулах (7.15) мы так просто получили то, что предположили известным с самого начала. Чтобы обойти трудности определения действия V по формуле (7.14), Гамильтон нашел то дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка, для которого действие V является полным интегралом. [c.219]

Принцип Гамильтона. Чтобы полнее выяснить свойства полного интеграла уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби, следует рассмотреть функцию действия. Сначала выведем известный принцип Гамильтона из принципа Эйлера — Лагранжа (п. 8). Имеем [c.315]

Уравнение Шредингера является линейным уравнением в частных производных, т. е. более сложным, чем уравнения Гамильтона. Так как уравнение (1.35) — первого порядка по времени, то с его помощью по заданным значениям Ч " г, 0) волновой функции в момент t = О можно найти ее значение г, t) в момент t. [c.23]

Преобразование, начатое Пуассоном и законченное Гамильтоном, позволяет написать уравнение в форме, которая содержит частные производные только от одной функции и которая очень удобна для теоретических исследований. [c.466]

Гамильтон показал, что если известен общий интеграл уравнений движения, представленных в канонической форме, то из него можно вывести полный интеграл этого уравнения с частными производными. Якоби дополнил эту теорему, доказав, что, обратно, если известен какой-нибудь полный интеграл этого уравнения с частными производными, то из него можно получить общий интеграл уравнений, движения. Как мы только что говорили, это уравнение с частными производными, которое мы будем называть уравнением Як оби. подобрано таким образом, что уравнения движения (6) являются для него дифференциальными уравнениями характеристик согласно известному методу интегрирования уравнений с частными производными первого порядка. Мы не будем, однако, пользоваться этим методом. [c.473]

Дифференциальное уравнение Гамильтона в частных производных, а также частный случай теоремы Гамильтона Якоби, когда постоянные а и Р имеют смысл начальных значений фазовых координат и р, встречаются в работе Гамильтона [16], 1834 г. В более общем виде, при большом произволе в выборе параметров а и Р, теорема была доказана Якоби в 1837 г. ( relle s Journal, XXVII, стр. 97). См. также Лекции Якоби [17], стр. 157. [c.286]

Положим 5о = v,x) , тогда при = О будем иметь тождественное преобразование. Производящая функция 3 должна удовлетворять уравнению Гамильтона в частных производных Но(д8/дх) + + еН1 х) — Ко ь) + еК1 ь) +. .. Отсюда получаем бесконечную цепочку уравнений для последовательного определения 81,82,... и КиК2,... [c.399]

Заменим в выражепиг функции Гамильтона Я все обобщенные импульсы pi, Pi,. .., р,- частными производными первого порядка от некоторой неизвестной функции 5 и составим уравнение в частных производных следующего впда [c.382]

Это дифференциальное уравнение в частных производных называется уравнением Гамильтона — Якоби. Таким образом, мы получили дифференциальное уравнение первого порядка в частных производных, которому должна удовлетворять производящая функция q .,. .., qs, ai, 2,. .., a.,, t) с основными перемои- [c.154]

Таким образом, задача нахождения рг13нообразных типов переменных действие-угол сводится к отысканию достаточно большого числа решений уравнения Гамильтона-Якоби в частных производных. [c.692]

Как известно из механики, движение материальных частиц может быть определено с помощью уравнения Гамильтона-Якоби, являющегося, как и уравнение (67,3), уравнением в частных производных первого порядка. Аналогичной г 5 ве.1ичииой является гфи этом действие 5 частицы, а производные от действия определяют импульс р и функцию Гамильтона Н (энергию) частицы согласно формулам р = <35/(3г, Н =-—dS/dt, аналогично формулам (67,2). Известно, далее, что уравнение Гамильтона-Якоби эквивалентно уравнениям Гамильтона, имеющим вид р = —dHfdr, v = r = dH/dp. Вследствие указанной аналогии между механикой материальной частицы и геометрической акустикой мы можем непосредственно написать аналогичные уравнения для лучей [c.366]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...