ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Уравнения Гамильтона и их интегралы из "Лекции по классической динамике " Пространство переменных (p, q) называется фазовым. [c.229] Замечание. Гамильтониан (равно как и лагранжиан) часто называют характеристической функцией это значит, что в выражении Н р, q, t) как бы зашифрованы все индивидуальные черты системы уравнений движения. В частности, выражения ла-гранжевых скоростей ji через р, q, t совпадают, разумеется, со второй группой уравнений Гамильтона. [c.230] СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ — это те и только те точки р1.рп, Яи—,Яп, в которых правые части уравнений Гамильтона, т. е. все частные производные функции Н р, q), обращаются в нуль (критические точки функции Н). [c.231] Таким образом, при заданной энергии k импульс р может принимать в общем случае два значения, отличающихся знаком, пока q принадлежит области возможности движения Tl = V(q) Иными словами, множество есть образ фазовой кривой Н(р, q)=h при отображении проектирования р, q)- q. [c.231] Смысл последнего термина в том, что кривые h=l отделяют один качественный тип движения от другого при А 1 импульс сохраняет знак, следовательно, dqldt в нуль не обращается, и маятник движется все время в одну и ту же сторону при —1 /г 1 движение носит колебательный характер. [c.232] Уточнение 1. Рассматривая эту задачу как идеализацию реальной системы, мы подразумеваем, что масса т подвешена не на нити, а на невесомом стержне, который не позволит покинуть ей окружность = (другой вариант — бусинка, насаженная на проволочное кольцо). В. задаче о массе, подвешенной на нити, рассмотренной в 4, учитывалась возможность того, что нитка может ослабнуть. Соответствующие состояния образуют целую область в R (p, q), которая на рис. 75 заштрихована. [c.232] Уточнение 2. Строго говоря, многообразие положений в задаче о круговом маятнике является окружностью S. Поэтому надо учесть, что точки q- -2nn, р) отвечают одному и тому же состоянию (это условно обозначается записью mod 2я). Чтобы получить взаимно-однозначное соответствие между состояниями маятника и точками фазового портрета, надо отождествить точки плоскости R (p, q), у которых координата отличается на2я/г. При этом полосы 2я (7 2л (л+1) как бы наложатся друг на друга, а правая и левая границы у каждой из них склеются (так же, как при изготовлении цилиндра из прямоугольного листа бумаги). В результате получим цилиндр — прямое произведение S XR окружности S на прямую R. Как итог отождествлений он обозначается так R XS = R2/2nZ (цилиндр есть результат факторизации плоскости R2=R XR по группе сдвигов на 2пп в одном из сомножителей). [c.232] Задача 50. Нарисовать фазовый портрет а) приведенной системы сферического маятника (изобразить также зону невозможности движения, если маятник — точка на нити) б) для задачи 43 при v g/r и glr. Сравнить оба портрета и объяснить различие. [c.232] Говорят при этом, что функции F и Н находятся в инволюции. [c.233] Первые два свойства тривиальны. Третье доказывается прямой, но длинной выкладкой позднее будет указан короткий вывод. Перечисленные свойства означают, что бесконечно дифференцируемые функции переменных р, q образуют алгебру Ли. [c.233] Теорема Пуассона. Если F, G — первые интегралы системы с гамильтонианом Н, то F, О) —тоже первый интеграл. [c.233] Этот факт важен в идейном отношении (первые интегралы гамильтоновой системы образуют подалгебру в алгебре всех функций), но практически бесполезен полученный таким образом интеграл всегда выражается через уже известные. [c.233] Действительно, пусть Я = Ф(/, рт+, .Рп, Ят+и. ..,Яп) Тогда. [c.234] Тогда Gi = Fi — Я/, —первые интегралы в инволюции. [c.235] Задача 52. Проверить это. [c.235] Вернуться к основной статье