Индекс кривой и индекс особой точки

Индекс кривой и особой точки 385 Интеграл Якоби 97—101 [c.633]

Доказательства первых двух теорем связано с введением индекса Пуанкаре (АндрОнов и др., 1959). Доказательство последней теоремы основано на том факте, что фазовые траектории не могут пересекаться. Рис. 7 иллюстрирует это положение. Кривая, пересекающая все фазовые траектории и не касающаяся их, называется Кривой без контакта. На рис. 7 окружность R — цикл без контакта. Обнаружение предельных циклов это — основная задача в теории колебаний. Однако не существует общих аналитических методов для ее решения. Следует отметить, что если при исследовании особых точек системы обнаруживаются центры, которые нри изменении параметров превращаются в неустойчивые фокусы, то вероятность существования в этой системе предельных циклов весьма велика. [c.39]

Критерии существования замкнутых траекторий на фазовой плоскости. Исследования особых точек системы уравнений (163) проясняют картину поведения траекторий на фазовой плоскости в их окрестности, однако не позволяют окончательно изучить колебательные процессы, описываемые системой (163). Для системы (163) наличие колебательного процесса связано с существованием замкнутой траектории на фазовой плоскости. Пока не существуют общие теоретические методы, позволяющие установить существование замкнутых траекторий и определить место их расположения на фазовой плоскости. Общий геометрический принцип, с помощью которого можно решить вопрос о существовании замкнутой траектории системы (163), а также вопрос о существовании колебательного процесса в этой системе известен как принцип кольца и состоит в следующем.На фазовой плоскости выделяем несколько особых точек, сумма индексов которых равна + 1, и окружаем их двумя замкнутыми кривыми так, чтобы в полученной кольцеобразной области К не было особых точек. На границе Г этой области наносим направления вектора скорости изображающей точки. В кольцеобразной области /С существует по крайней мере одна замкнутая траектория. [c.111]

Рассмотрим простую замкнутую кривую Г, не проходящую через особые точки пусть точка р проходит всю эту кривую, двигаясь в положительном направлении (против хода часовой стрелки). Обозначим через 9 (р) наклон силы поля F к оси Ох в точке р. Если точка р, двигаясь по кривой в положительном направлении, против хода часовой стрелки, совершает один полный оборот, то 0 (р), изменяясь непрерывно с изменением р, получает приращение 2/гп, где п — целое положительное или отрицательное число или нуль. Число п называется индексом кривой для заданного поля. Изменение 0 при перемещении точки р по кривой Г можно представить посредством отображения кривой Г на единичную окружность. Если через и (р) обозначить единичный [c.385]

Если кривая Г фиксирована, а векторное поле F непрерывно изменяется, но так, что на кривой Г не появляется особых точек, то индекс кривой остается без изменения. Обратно, если зафиксировать поле и непрерывно деформировать кривую Г, но так, чтобы она оставалась простой замкнутой кривой, [c.385]

В ряде случаев это заключение может быть полезно для качественного исследования. Например, пусть С —замкнутая интегральная кривая без кратных и особых точек. Пусть, далее, при ее обходе против часовой стрелки вектор поля поворачивается на угол 6 2я в положительном направлении. Следовательно, сумма индексов всех особых точек внутри области, образованной любой замкнутой интегральной кривой, не имеющей особых точек, равна + 1. Поэтому внутри замкнутой интегральной кривой должна быть по крайней мере одна особая точка. Если же их несколько (более двух), то число седлообразных точек (с индексом —1) должно быть на единицу меньше числа всех остальных особых точек (с индексом +1). [c.109]

При h — hi появляется новая особая точка —седло х ,й), проходящая через нее сепаратриса образует слева замкнутую петлю, а справа разомкнутую. Между сепаратрисами (/13 < /г < hi) существуют замкнутые интегральные кривые, охватывающие три особые точки (два центра и седло), сумма индексов которых равна +1. [c.110]

Мы получаем непрерывное векторное поле V, определенное внутри и на границе треугольника ОСЕ и не имеющее особых точек. Поэтому в силу леммы 4 индекс замкнутой кривой ОСВО по отношению к полю равен нулю [c.212]

Теорема 25. Пусть С — простая замкнутая кривая, лежащая в области С,иТ — внутренняя область, ограничиваемая ею. Если Г целиком принадлежит области С и в Т нет ни одной особой точки динамической системы (I), то индекс кривой С равен нулю. I (С) = 0. [c.214]

Справедливость леммы непосредственно следует из теоремы 26 и из определений индекса замкнутой кривой и особой точки. [c.215]

Индекс как криволинейный интеграл. В случае, когда С является простой гладкой замкнутой кривой и на ней не лежит ни одной особой точки системы (I), индекс кривой С можно представить в виде криволинейного интеграла. [c.216]

Вычислим теперь аналитически индекс Пуанкаре для особой точки, т. е. вычислим индекс простой замкнутой кривой, охватывающей эту особую точку и не содержащей никаких других особых точек. При этом будем предполагать, что для этой точки A = ad — be 0. [c.342]

Если в системе (2.1) имеются только простые особые точки и если через все точки с индексом +1 проходят интегральные кривые, уходящие в бесконечность, то такая система не допускает замкнутых фазовых щ>аек-торий . [c.67]

И е (особые точки в плоскости Vip, в которой ое является сепаратрисой), нужно исследовать поведение решения в малой окрестности начальной точки о. Пример такого аналитического исследования, основанного на линеаризацпи системы дифференциальных уравнений в малой окрестности точки о и позволяющего выйти па особой точки о вдоль искомой сепаратрисы, дан в 3—5 и 10 гл. G применительно к исследованию структуры ударных волн в жидкости с пузырьками газа. Интегральную кривую ое можно найти и численно с помощью пристрелки по двум параметрам по следующей схеме. Так как л не входит в правые части дифференциальных уравнений (4.4.15), интегральные кривые допускают произвольное смещение вдоль оси х. Поэтому фиксируем для х/ = 0 некоторое v,f, такое, что 1г 1/1 < va и Vif мало отличается от Va (для размытой волны индекс / внизу относится к начальной точке интегрирования, в которой производится пристрелка). Далее при фиксированном Vtf подбираем такие Mif и Pf (как указано в обсуждении после (4.4.17), остальные искомые функции однозначно определяются по значениям Vif, Pf при этом Мг И Pf ДОЛЖНЫ быть такими, чтобы v i < 1 2/1 < 1 о1), чтобы интегральная кривая с этими граничными условиями в точке Xf имела при х оа ъ качестве предела начальное состояние. [c.345]

Докажем сначала, что при вычислении индекса особой точки (с Д 0) мы можем отбросить члены высших порядков, т. е. Р и Так как по-предыдуид,ему индекс не зависит от формы кривой, то можно при вычислении индекса взять за кривую N окружность достаточно малого радиуса р (р 0). [c.342]

Если существует замкнутая область R, не содержащая особых точек и такая, что в каждой точке ее границы вектор поля F направлен внутрь области, то в такой области имеется по крайней мере одна циклическая траектория. (Предполагается, что граница области состоит из кривых с непрерывно изменяющимся наклоном касательной, за исключением конечного числа угловых точек.) В самом деле, любая положительная полухарак-теристика, начинающаяся в области R, остается в этой области и при < 0 эта положительная полухарактеристика либо является циклической, либо стремится к предельному циклу. К тому же выводу мы приходим и в том случае, когда во всех точках границы вектор поля JP направлен наружу. Для доказательства достаточно рассмотреть отрицательные полухарактеристики, начинающиеся в точках области R. Из сказанного, разумеется, не следует, что в области R имеется лишь одна циклическая траектория. (Область R не может быть односвязной. Если бы, например, область R состояла из простой замкнутой кривой Г и ограничиваемой ею области, а вектор 1 в каждой точке Г был бы направлен внутрь этой области, то индекс ( 20.1) кривой Г был бы равен единице, так что в области была бы по крайней мере одна особая точка.) [c.392]

Действительно, индекс кривой в поле V равен -Ь1, как следует непосредственно из теоремы 12.6. Возьмем произвольную замкнутую жорданову кривую 7, охватывающую область Ддг. Ясно, что в кольце, ограниченном кривыми 7 и Гу,. нет особых точек вектора V, и потому индексы кривых 7 и Гуу в поле V совпадают. [c.197]

Это — криволинейный интеграл от полного дифференциала следовательно, если внутри области, охватываемой кривой N, вдоль которой производится интегрирование, соответствующие подинтеграль-ные функции и их производные непрерывны, то интеграл равен нулю. Отсюда сразу и строго получается наще первое утверждение о том, что индекс замкнутой кривой N, внутри которой нет особых точек, равен нулю ), так как при наших предположениях о правых частях системы (5.1) непрерывность подинтегральных функций и их производных может нарушаться лишь в тех точках, где одновременно Р(х,у) = 0, Q x,y) = 0. [c.342]

Пример. Рассмотрим многообразие особенностей типа А2. Этот класс коразмерности 1 допускает естественную коориентацию. Коразмерность границы равна 2. Рассмотрим типичную точку на границе и построим двумерную поверхность, трансверсальную границе в зтой точке. След класса А2 на поверхности является кривой с особой точкой. Вне этой точки кривая трансверсально ориентирована. Если бы ситуация в зтой точке была топологически эквивалентна тому, что изображено на рис. 63, то тогда бы индекс пересечения кривых с замыканием А2 не существовал. Действительно, число пересечения малой окружности с центром в граничной точке я А2 в зтом случае не равно нулю, [c.126]

Определение 2.6. Назовем индексом оса точки индекс простой замкнутой кривой, о ватывающей эту и только эту особую точку. [c.62]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...