Решение задачи методом Рэлея—Ритца

При решении задачи методом Рэлея—Ритца функцию попереч-ного прогиба V = V (х) можно задать в виде ряда [c.65]

Если система базисных функций Д- (х) полная, то при N — оо решение задачи методом Рэлея—-Ритца сходится к точному решению. Но при практическом использовании метода, когда число членов ряда (2.68) невелико, сходимость к точному решению имеет только теоретическое значение. Значительно важнее удачно выбрать вид первых членов этого ряда. [c.67]

Первые три граничных условия являются геометрическими и должны обязательно удовлетворяться при построении приближенного решения задачи методом Рэлея—Ритца. [c.68]

Рассмотрим решение задачи методом Рэлея—Ритца, но вместо ряда (2.68), в котором каждая функция была допустимой функцией задачи на собственные значения, воспользуемся рядом (2.86), построенным из функций сравнения. Подставив этот ряд в выражение (2.66) и выполнив все необходимые операции дифференцирования и интегрирования, получим [c.75]

Следовательно, йц = ац bij = Ьц и результат приближенного решения задачи методом Рэлея—Ритца полностью совпадает с результатом решения методом Галеркина, если в обоих случаях используется один и тот же ряд (2.86), построенный из функций сравнения. Но из сказанного не следует, что эти два приближенных метода полностью идентичны. При решении задачи методом Рэлея—Ритца можно использовать значительно более широкий класс аппроксимирующих функций, чем при решении задачи методом Галеркина в методе Рэлея—Ритца это допустимые функции, а в методе Галеркина—функции сравнения. [c.76]

Мы ограничимся приведенными примерами из них видно, что введение функции напряжений г ) может упростить решение задачи о кручении и изгибе призматических стержней. В некоторых случаях этим путем можно получать приближенные решения, применяя методу Рэлея — Ритца. [c.283]

Среди прямых методов решения вариационных задач наиболее широкое применение получили методы Рэлея—Ритца, Бубнова— Галеркина. [c.127]

Получение решения уравнения (5.49) в форме (5.55) сопряжено с большими затруднениями, и полностью задача решена только для прямоугольной свободно опертой пластинки (см. задачу 5.10). Так как для прикладных задач главный интерес представляют частоты основных тонов, то для пх определения можно пользоваться приближенным методом, например, методом Рэлея — Ритца. [c.180]

Для прямоугольной пластинки (ахЬ), заделанной с четырех сторон (и при других сложных закреплениях), точного решения задачи нет. Приближенное решение можно получить по методу Рэлея— Ритца (5.57) — (5.61), задаваясь одним из выражений [c.197]

Метод Рэлея—Ритца является универсальным методом приближенного решения основной задачи вариационного исчисления — задачи определения экстремумов или стационарных значений функционалов. Сущность этого метода состоит в замене задачи поиска стационарных значений функционалов принципиально более простой задачей поиска стационарных значений функций нескольких переменных. [c.64]

Определение точек бифуркации и критических нагрузок энергетическим методом сводится к определению стационарных значений некоторых функционалов. Для решения последней задачи может быть применен метод Рэлея—Ритца. Схему использования метода Рэлея—Ритца в задачах устойчивости упругих систем рассмотрим на примере определения критической силы для сжатого прямого стержня. При этом следует иметь в виду, что задача устойчивости стержня выбрана только для наглядности изложения и все этапы ее решения, рассуждения и выводы носят общий характер. [c.65]

Итак, с помощью метода Рэлея—Ритца задача определения точек бифуркации прямолинейной формы равновесия стержня сведена к задаче на собственные значения для матриц (см. приложение I). Условие существования отличных от тождественного нуля решений системы (2.71) приводит к уравнению, из которого могут быть найдены собственные значения Р [c.66]

Использование метода Рэлея — Ритца в сочетании с методом множителей Лагранжа. В описанной выше схеме метода Рэлея— Ритца геометрическим граничным условиям задачи удовлетворяла каждая координатная функция (.к). Но при выборе аппроксимирующих функций можно потребовать, чтобы часть граничных условий была удовлетворена не каждой функцией ряда (2.68), а их суммой. В некоторых случаях такой путь решения удобнее. [c.68]

При аналитическом представлении искомой функции в виде ряда (2.68) или выражения (2.73) метод Рэлея — Ритца всегда приводит к завышенному значению критической нагрузки. Это происходит вследствие того, что ограничивая выражением (2.73) или рядом (2.68) класс функций, среди которых ищем решение задачи, как бы накладываем на исследуемую систему дополнительные связи. В результате таких дополнительных связей жесткость системы может возрасти, что и приведет к завышенному значению критической нагрузки. Значение критической нагрузки, получен- [c.70]

Если в качестве координатных функций gi (х) взята полная система функций, то увеличивая число членов ряда (2.80), можно теоретически с любой степенью точности определить требуемое количество собственных значений Р и построить соответствующие им собственные функции задачи. Но при практическом использовании метода Галеркина, как и метода Рэлея—Ритца, приходится ограничиваться сравнительно небольшим числом членов ряда (2.80). Точность и трудоемкость решения определяются не полнотой системы координатных функций, а тем, насколько удачно выбраны первые функции этого ряда. [c.73]

Для иллюстрации различия между этими методами рассмотрим следующий пример приближенного решения. Определяя критическую силу шарнирно-опертого стержня по методу Рэлея—Ритца, в первом приближении можно взять аппроксимирующую функцию в виде квадратичной параболы, удовлетворяющей геометрическим граничным условиям задачи [c.76]

Но если вместо квадратичной параболы, не являющейся функцией сравнения, возьмем четырежды дифференцируемую функцию, удовлетворяющую всем граничным условиям задачи, то результаты приближенных решений метода Рэлея—Ритца и метода Галеркина совпадут. Примем, например, [c.77]

При стационарном режиме работы термоизоляции X и в (2.56) и (2.57) не будут зависеть от времени t и станут числовыми коэффициентами, которые могут быть определены из системы алгебраических уравнений (в общем случае нелинейных). Эту систему можно получить как из (2.47) при условии = Г = О, так и из условия минимума функционала (2.48). В последнем случае метод приближенного аналитического решения задачи называют методом Рэлея-Ритца [10]. Этот метод применим и в случае конечно-элементной аппроксимации стационарного распределения температур в рассматриваемом неоднородном анизотропном теле произвольной формы. [c.49]

XX в. огромное значение для различных областей техники, поэтому многие русские ученые занимались решением связанных с этой проблемой задач. Важные результаты были получены С. П. Тимошенко (род. 1878), который до 1919 г. преподавал в Петербургском и Киевском политехнических институтах. До отъезда из России (в 1920 г.) Тимошенко написал много работ по теории устойчивости стержней, пластин, оболочек. За исследование Об устойчивости упругих систем (1910) Тимошенко был удостоен премии имени Д. И. Журавского. В этой, а также некоторых других работах Тимошенко развил прием исследования, сходный с приближенным методом Рэлея — Ритца для определения частот колебаний в упругих системах. Помимо большого числа научных исследований, Тимошенко опубликовал замечательные руководства по сопротивлению материалов (1911) и теории упругости (1914), которыми до сих пор пользуются в высших учебных заведениях. [c.263]

Полученные ранее на основе принципа возможных перемещений формулировки задач статики, устойчивости и динамики позволяют построить эффективные приближенные методы решения. Рассмотрим основные этапы решения указанных задач с помощью метода конечных элементов (МКЭ) [22, 40, 43, 59, 61 ]. Одна из трактовок МКЭ связана с методом Рэлея—Ритца. Характерной особенностью для МКЭ явилось то, что аппроксимация искомых решений стала выполняться не во всей области, а в пределах отдельных простых элементов, на которые разбивается тело. Отдельные элементы стыкуются между собой по вершинам (узлам) и граням. Координатные функции, как правило, выбираются в виде кусочно-полиномиальных функций. Каждая функция равна нулю на большей части об- [c.100]

При решении задачи с помощью метода Рэлея—Ритца движение системы будем считать периодическим с круговой частотой со. Для граничных условий типа шарнирного опирания функции, аппроксимирующие распределение перемещений (5.71), разложим в двойные тригонометрические ряды по координатам х, у [c.229]

Вариационные методы долгое время были, пожалуй, самыми распространенными при решении многих сложных задач строительной механики. В последние годы их применяют на базе вычислительной техники. Появились новые модификации методов Однако общие идеи, содержащиеся в новых методах, остаются прежними и классические методы Рэлея—Ритца и Бубнова—Галеркина еще долго будут составлять основу применяемых при расчетах методик. [c.65]

Таким образом, для решения задачи нужно найти общий интеграл уравнения (3.5) и выбрать такие частные решения, которые удовлетворяют граничным условиям. Однако мы поступим иначе — получим решение методом Рэлея—Ритца. Для этого воспользуемся соотношением (3.3) и зададим функцию w в виде ряда [c.66]

Широко используется метод Рэлея—Ритца при решении задач устойчивости деформируемых тел. Особенность его применения состоит в том, что здесь необходимо использовать выражение для изменения полной потенциальной энергии относительно некоторого исходного состояния. Задача при этом сводится к линейной системе алгебраических однородных уравнений. [c.67]

Рассмотрим использование ряда (4.56) для решения задачи изги> ба кольца методом Рэлея—Ритца (см. 3.1). При решении этим методом координатные функции должны удовлетворять всем геометрическим граничным условиям задачи. Для замкнутого кольца геометрические граничные условия сводятся к условиям замкнутости (4.22 ) как видно из выражений (4.56). .. (4.58), все эти три условия замкнутости кольца удовлетворяются при любых и [c.122]

Из условия стационарности полной потенциальной энергии (65 — 0) можно найти равновесные состояния изогнутого стержня и, исследуя знак второй вариации установить, какие из равновесных состояний устойчивы. Пока на значения перемещений и углов поворота не наложено никаких ограничений, приведенные зависимости, описывающие изгиб стержней с нерастяжимой осью, являются точными (в рамках теории гибких упругих стержней). Для ряда частных случаев нелинейное дифференциальное уравнение, к которому сводится задача изгиба стержня при конечных перемещениях, допускает аналитическое решение. В общем случае это нелинейное уравнение можно с любой степенью точности решить численно. Сейчас мы с помощью метода Рэлея—Ритца найдем приближенное аналитическое решение, позволяющее наглядно описать закритическое поведение любого произвольно нагруженного стержня при конечных, но не слишком больших прогибах. [c.208]

Решение задач статики методами Рэлея—Ритца и конечных элементов [c.11]

Рассмотрим последовательность решения методом Рэлея— Ритца задачи статики твердого деформируемого тела, нагруженного внешними силами и находящегося под тепловым воздействием. Вариационная формулировка, соответствующая [c.11]

При решении задачи (1.26) методом Рэлея—Ритца или методом конечных элементов (МКЭ) поле перемещений и аппроксимируют в виде (при Uo=0 на поверхности S ) [c.11]

Решение задач динамики с помощью метода Рэлея—Ритца (или МКЭ) возможно на основе формулировки (1.25). Формальное отличие от рассмотренного выше уравнения задачи статики (1.32) состоит в определении приведенных инерционных нагрузок системы. Для этого отдельно рассмотрим лишь последнее слагаемое в (1.25). Воспользуемся аппроксимацией перемещений такой же, как (1.27), тогда, выполнив интегрирование по объему, получим [c.14]

Весьма эффективным в получении приближенных решений для задач теории упругости показал себя метод Рэлея—Ритца. Для того чтобы найти частоту основной формы колебаний сложной системы, Рэлей рекомендует задаться некоторым начальным видом этой формы, вывести из него выражение соответствующей частоты,, а затем принять параметры, определяющие ату избранную форму таким образом, чтобы выражение для частоты приняло минимальное значение. В. Ритц ), исследуя задачу изгиба прямоугольной пластинки, приходит к выражению потенциальной энергии [c.478]

Исследование упругой устойчивости пластинок под нагрузками различных типов и при различных краевых условиях было введено в практику судостроительного проектирования впервые при сооружении русских дредноутов ). Постановка линейного корабля в док на одном лишь вертикальном киле предъявляет высокие требования прочности и упругой устойчивости к поперечным переборкам, В связи с этим была разработана теория устойчивости пластинок, усиленных ребрами жесткости, о которой мы упоминали выше (см. стр. 495), а также поставлена серия испытаний на моделях размерами 4,5 X 2,1 м. В расчете на изгиб плоских перекрытий из соединенных между собой продольных и поперечных балок был использован метод Рэлея—Ритца ), позволивший получить для этой задачи достаточно точные решения. [c.526]

Для получения приближенного аналитического решения задачи о влиянии круговых вырезов на собственные частоты колебаний круговых цилиндрических оболочек был использован метод Рэлея — Ритца. Полагая в срединной поверхности равными нулю окружные напряжения, получаем выражение для потенциальной энергии деформации оболочки [9] (список обозначений дан в приложении) [c.281]

Исследованию устойчивости кольцевых пластинок при неоднородном поле напряжений посвящена работа А. Д. Лиза-рева [14]. Аналитический анализ проведен в обобщенных ги-цергеометрических функциях первого и второго рода. В качестве частных случаев автор приводит решения задач для кольцевых пластинок, нагруженных только по внутреннему контуру сжимающими или растягивающими силами. В работе приведено сопоставление эффективности в вычислительном Отношении точного метода с использованием гипергеоме-трических функций в комплексной плоскости и метода Рэлея— Ритца. [c.289]

О. А. Фролов [5.139] для решения той же задачи ) использует метод Рэлея — Ритца. Прогиб он задает в виде отрезка ряда с неопределенными коэффициентами удовлетворяющего статическим граничным условиям. После этого определяется функция напряжения, которая выражается через коэффициенты г. Имея функции напряжения и прогиба, можно, составить выражение полной энергии системы и. Величины fi определяются из уравнений [c.330]

Пример 1.13. Метод Галеркина применим при решении нелинейных задач, включая и те, для которых не существует функционала, необходимого при использовании метода Рэлея — Ритца (см. 1.6). В общем случае можно взять аппроксимирующие функции, которые содержат члены, связанные с линейными решениями. После этого вид аппроксимирующей функции можно уточнять путем итераций до тех пор, пока ошибка аппроксимации ие станет [c.32]

Эти данные показывают, что, беря вторую аппроксимацию по методу Рэлея — Ритца, мы получаем значение периода, чрезвычайно близкое к точному его значению поэтому потребность в следующем приближении часто отпадает. Эти соображения применимы и в тех случаях, когда точное решение задачи невозможно или чрезвычайно сложно, и приходится пользоваться приближенными методами. [c.266]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...