Решение методом Ритца

Точность приближенного решения методом Ритца в большой степени зависит от удачного выбора координатных функций и, вообще говоря, возрастает с увеличением их числа. Если удачно задаться координатными функциями (5.89), то хорошую точность для перемещений Uj можно получить даже при п = 1. Однако производные функций щ, найденных методом Ритца, а следовательно, и напряжения Ои (4.4) имеют меньшую точность. [c.109]

Принцип можно использовать для построения приближенных решений методом Ритца, Задавая аппроксимации [c.85]

В качестве примера приведем решение методом Ритца следующей задачи С. П. Тимошенко [81. [c.326]

Изложенным методом можно решить практически такие упругопластические задачи, для которых в упругом состоянии имеется решение методом Ритца. [c.326]

При использовании метода Ритца решение задачи ищется в виде рядов (15.13), (15.14), удовлетворяющих граничным условиям. Задача сводится к решению системы уравнений Ритца [c.326]

Цель настоящего параграфа —показать, что сформулированные в предыдущей главе методы решения задач теории упругости по существу совпадают с описанным в 2 приложения II методом Ритца при специальном выборе базисных функций ф,-, и наметить путь к обоснованию, состоящему в доказательстве теорем о сходимости и оценке погрешности. [c.157]

Реализуя метод Ритца для приближенного решения уравнения (4.4) с базисными функциями ф, определенными формулой [c.157]

Таким образом, описанный в предыдущей главе метод решения краевых задач теории упругости может быть сведен к методу Ритца при специальном выборе базисных функций в последнем [c.160]

Методы Ритца (1908 г.)—Тимошенко (1910 г.), Бубнова <1913 г.) — Галеркина (1915 г.), и Треффца (1933 г.) предлагают различные способы приближения к действительному значению на основе приведенных выше вариационных принципов. По методу Власова (1Й6 г.) — Конторовича (1942 г.) решение задается з форме [c.12]

Вариационная формулировка задачи теории упругости используется главным образом в двух с.пучаях. В первом на основе уравнения бЭ = О строятся численные методы решения этой задачи (метод Ритца, метод конечных элементов и т. п.). Все эти методы относят к классу прямых методов решения задач теории упругости, не требующих в явной форме использования дифференциальных уравнений. [c.57]

Записывая выражение работы внешних сил W и полной энергии оболочки Э, далее нетрудно воспользоваться, например, методом Ритца для решения различных задач расчета пологих оболочек. [c.211]

За три десятилетия существования ц развития этого метода наиболее развитой оказалась та его разновидность, когда решение ведется в перемещениях. Она связана с вариационным принципом Лагранжа и может быть истолкована как усовершенствованная модификация метода Ритца. [c.257]

Вариационное уравнение дает возможность получения приближенного решения задачи теории пластичности прямыми вариационными методами, в частности методом Ритца. [c.307]

Вариационные принципы чаще всего используются для получения приближенного решения задач вязкоупругости. В частности, из вариационного принципа Лагранжа следует метод Ритца. Суть его поясним на примере тела с однородными кинематическими (геометрическими) граничными условиями. [c.358]

Решение прямой задачи как в перемещениях, так и в напряжениях требует интегрирования довольно сложной системы дифференциальных уравнений в частных производных и, как правило, сопряжено со значительными математическими трудностями. Поэтому при решении прямой задачи часто используют приближенные методы,например метод сеток, прямые методы вариационных задач (методы Ритца, Бубнова—Галеркина, Канторовича и др.), а также получивший за последнее время широкое применение метод конечных элементов. В некоторых же случаях решение можно эффективно получить с помощью так называемого полуобратного метода Сен-Венана. [c.81]

Среди прямых методов решения вариационных задач наиболее широкое применение получили метод Ритца, метод Канторовича н метод Бубнова—Галеркина — метод приближенного решения диффе- [c.97]

Методом Ритца можно получить ряд последовательно все более точных приближений. Вопрос о сходимости этих приближений к искомому решению вариационной задачи, а также об оценке погрешности этого метода представляет собой относительно трудную задачу 28, 411. [c.109]

Обычно для оценки точности приближенного решения, полученного методом Ритца или другими прямыми методами, пользуются следующим теоретически, конечно, несовершенным, но практически достаточно надежным приемом вычислив Ыг и ы,-(т1+1)> сравнивают их между собой в нескольких точках рассматриваемой области. Если в пределах требуемой точности их значения совпадают, то считают, что с требуемой точностью решением вариационной задачи будет гп. Если же значения ы,- vi.Unn+D в пределах заданной точности не совпадают, то вычисляют Ыкп+2) и сравнивают о (n+D- [c.109]

Далее будут приведены решения конкретных задач методом Ритца, а также другими приближенными методами. [c.109]

Прямой метод решения вариационных задач, предложенный Л. В. Канторовичем (1933) и названный методом приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям, представляет собой развитие метода Ритца, когда функционал зависит от функций нескольких переменных. [c.111]

С помощью метода Канторовича удается получить приближенное. решение значительно более точное, чем по методу Ритца с теми же координатными функциятми и с тем же числом членов ряда (5.103). Это достигается благодаря тому, что класс функций (5.103) значительно шире класса функций (5.89) о постоянными коэффициентами Oft и, следовательно, среди функций (5.103) можно подобрать функции, лучше аппроксимирующие решение вариационной задачи, чем среди функций (5.89), [c.111]

При решении задачи методом Ритца функцию напряжений следует искать в следующем виде [c.183]

Дальиейшез решение аналогично решению задачи методом Ритца для бруса прямоугольного поперечного сечения (см. о. 179). [c.183]

Решение этой вариационной задачи можно найти, например, методом Ритца. [c.326]

Метод Ритца, естественно, оказывается возможным применить в задаче о собственных значениях. Зададим по-прежнему последовательность координатных функций ф/ (/=1, 2,. ..). Решение (т. е. неизвестную собственную функцию) представим в виде конечной суммы [c.148]

Пусть о — его точное решение, а и — решение, полученное методом Ритца. Оценим погрешность (оператор О — А ) [c.152]

Так же как и в методе Ритца, выбираем последовательность координатных функций ф (п==1, 2,. ..), которые в соответствии с постановкой задачи имеют непрерывные производные до определенного порядка в замкнутой области и удовлетворяют краевым условиям. Представим решение в виде ряда [c.153]

Это обстоятельство было впервые отмечено И. Г. Бубновым [97] при анализе задачи об устойчивости пластинки, решение которой на основе метода Ритца было получено С. П. Тимошенко. В дальнейшем Б. Г. Галер-кин [108] заметил, что существование эквивалентной вариационной задачи не является необходимым для данного алгоритма и, следовательно, ограничение, вводимое при анализе вариационными методами (а именно требование, чтобы оператор i4 был положительно определенным), становится излишнни. [c.154]

При решении вариационной задачи методом Ритца (в отличие от разложения решения в ортогональный ряд Фурье) коэффициенты зависят от общего количества удерживаемых членов, и поэтому само решение полезно представлять в виде ряда [c.155]

Так же как в процессе применения метода Ритца при реализации метода Бубнова — Галеркина, возникают трудности, связанные с погрешностью вычислений (увеличивающиеся с ростом числа удерживаемых координатных функций). Проиллюстрируем сказанное на одном примере. Пусть требуется найти решение уравнения [c.156]

В соответствии с общей теорией приходим к следующему утверждению в энергетическом пространстве всегда существует решение (вообще говоря, обобщенное) вариационных задач, соответствующих основным и смещанной задачам теории упругости. Это рещение может быть получено методом Ритца, [c.625]

Как отмечалось в 12 гл. I, решение краевых задач методом Ритца может приводить к неустойчивому алгоритму. Проиллюстрируем это утверждение иа примере одной задачи об изгибе пластинки в форме кругового сектора при смешанных краевых условиях [158]. [c.629]

Тогда уравнения (13.8.4) линейны и однородны для существования нетривиального решения необходимо, чтобы детерминант системы был равен нулю. Это условие приводит к алгебраическому уравнению степени к относительно Вследствие неравенства Рэлея наименьший корень этого уравнения будет давать верхнюю оценку для которая может только улучшиться с увеличением к. При увеличении к корень уравнения с номером т будет стремиться к величине при этом нельзя сказать сверху или снизу. Доказательство этой теоремы мы не приводим, заметим лишь, что для ее выполнения необходима полнота системы функций fi, т. е. возможность представления любой допустимой системы перемещений Uj в виде (13.3.5). Описанная приближенная процедура определения частот носит название метода Ритца. [c.438]

Точность решения можно повысить, если принять уравнение поверхности, зависящей от нескольких параметров выражения (а), т. е. применить метод Ритца — Тимошенко. [c.20]

Если пластинка не имеет двух противоположных шарнирно опертых краев, то прогиб не может быть представлен рядом (а) и точное решение сильно осложняется. В последнем случае часто применяют приближенные методы—вариационные методы Ритца —Тимошенко, Бубнова — Галеркина, Треффца, Власова — Канторовича, метод конечных разностей и т. д. [c.121]

Таким образом, метод Ритца—Тимошенко позволяет заменить задачу о нахождении решения дифференциального уравнения (7.17) задачей о нахождении минимума потенциальной энергии. Такая замена возможна в связи с тем, что как дифференциальное уравнение изгиба пластинки (7.17), так и вариационное уравнение (з) являются уравнениями равновесия упругого тела. Покажем, что вариационное уравнение (з) включает в себя дифференциальные уравнения равновесия и условия на поверхности. Рассматривая вариационное уравнение (з) в форме [c.157]

Таким образом, решение задачи об изгибе пластинки методом Ритца — Тимошенко состоит в следующем. Приближенное значение функции прогибов о)(х, у) выбираем в форме двойного ряда [c.159]

Следует заметить, что, хотя удовлетворение статических граничных условий в методе Ритца — Тимошенко необязательно, лучше по возможности выбирать функции так, чтобы они удовлетворяли всем граничным условиям как геометрическим, так и статическим. В этом случае ряд быстрее сходится к точному решению, а при вычислениях бывает достаточно ограничиться одним-двумя членами ряда. [c.159]

Пример решения задачи методом Ритца — Тимошенко [c.169]

Решение задачи о выпучивании пластинки под действием касательных сил в ее срединной плоскости в конечном виде очень сложно, поэтому воспользуемся одним из вариационных методов— методом Ритца—Тимошенко. Согласно этому методу уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки при ее выпучивании следует искать в виде ряда, каждый член которого должен удовлетворять хотя бы геометрическим граничным условиям. [c.197]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...