Дирихле критерий устойчивости

Устойчивое и неустойчивое равновесие. Критерий устойчивости. Положения равновесия различаются по характеру движения, которое может совершать рассматриваемая система в соседстве с этими положениями. Если система, при достаточно малом начальном отклонении от положения равновесия и при достаточно малой начальной кинетической энергии, во всё время своего последующего движения будет находиться так близко от положения равновесия, как нам угодно, то положение равновесия называется устойчивым, точнее—положением устойчивого равновесия. Всякое же другое положение равновесия, не удовлетворяющее приведённым условиям, называется неустойчивым. Для консервативных систем Лежен-Дирихле (Lejeune-Diri hlet) дал следующее достаточное условие устойчивости если силовая [c.389]

Приведенные условия составляют сущность теоремы Лагранжа-Дирихле, представляющей собой достаточный признак (или критерий) устойчивости для консервативной системы. В качестве иллюстрации к этой теореме может служить пример с щари-ком, расположенным на дне чащи, на вершине выпуклой поверхности и на плоскости. [c.488]

Ляпунов сначала занялся исследованием вопроса об устойчивости эллипсоидных форм равновесия вращающейся жидкости этой проблеме посвящена была его магистерская днссертащтя (1884). В этой работе он ввел определение понятия устойчивости вращающейся жидкости. Он доказал, что признак устойчивости системы, обладающей конечным числом степеней свободы (теорема Лагранжа—Дирихле), не может быть безоговорочно перенесен на случай движения жидкости, имеющей бесконечное число степеней свободы. Далее он установил достаточный критерий устойчивости фигур равновесия и показал, что эллипсоид вращения является устойчивой фигурой равновесия, если его эксцентриситет не превышает некоторой, определенной Ляпуновым, величины. В частности, он дал полный разбор вопроса об устойчивости некоторых ранее известных фигур равновесия, так называемых эллипсоидов Маклорена и Якоби. [c.266]

Энергетический критерий устойчивости. Если рассматриваемая система — консервативная, то достаточное условие ее устойчивости доставляет признак Лагранжа — Дирихле в устойчивом состоянии равновесия потенциальная энергия системы имеет минимум. Если [c.267]

Приводимый ниже достаточный критерий устойчивости был дан еще Лагранжем, но доказательство этого критерия было впервые дано для частного случая Дирихле [1] и позднее обобщено Ляпуновым. Рассмотрим опять систему [c.266]

Можно установить достаточный признак или критерий устойчивости для консервативных систем, который дается теоремой, доказанной в конце XVIII века Лагранжем для некоторых частных случаев и обобщенной в середин XIX века Дирихле на случай любых консервативных систем. [c.13]

Если система консервативная, можно не рассматривать ее колебаний достаточное условие устойчивости доставляет известный признак Лагранжа—Дирихле в устойчивом состоянии равновесия потенциальная энергия системы имеет минимум [энергетический критерий). [c.347]

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ КООРДИНАТАМИ — ТЕОРЕМА РАУСА Циклическими координатами называются координаты, не входящие явно в функцию Лагранжа Ь. Стационарным движением системы с циклическими координатами называется движение, в котором нециклические координаты и циклические скорости сохраняют постоянные значения. Для такого движения Э. Раус построил энергетический критерий устойчивости, аналогичный критерию Лагранжа — Дирихле для равновесного состояния консервативной системы. Этот критерий можно получить как простое следствие теорем об устойчивости Ляпунова. [c.419]

Один общий критерий, устанавливающий достаточное условие устойчивости равновесия консервативной (см. 127) системы, дает следующая теорема Лагранжа — Дирихле если потенциальная энергия консервативной системы имеет в положении равновесия строгий минимум, то равновесие системыв этом положении является устойчивым. [c.387]

Теорема Лагранжа — Дирихле дает критерий, позволяющий утверждать, что равновесное положение консервативной системы устойчиво, если ее потенциальная энергия имеет минимум. Однако по этой теореме нельзя определить, каково равновесие системы, если ее потенциальная энергия в равновесном положении не имеет минимума. В этих случаях применяют следующие теоремы Ляпунова о неустойчивости равновесия. [c.16]

Таким образом в случае вращающихся или циклических систем мы пришли к необходимости делать различие между устойчивостью в смысле, указанном классическим лагранжевым методом малых колебаний, когда трением пренебрегают, и устойчивостью определяемой критерием Дирихле-Кельвина. Это различие было указано впервые Кельвином, и затем его подтвердил Пуанкаре в своих исследованиях о возможных формах равновесия вращающейся жидкости, частицы которой подвержены действию взаимного притяжения. Различают соответственно два случая обыкновенной" или временной" и практической", постоянной" или вековой" устойчивости, причем последнее наименование связано с приложениями в астрономии. [c.254]

В тексте мы рассматривали уравнения малых колебаний для голо-номной системы со связями, не зависящими от времени, и находящейся под действием консервативных сил. Если система допускает игнорируемые координаты и вычисляется приведенная функция Лагранжа, то появляются, как мы знаем (гл. V, п. 46), гиростатические члены. В п. 24 мы указали форму (30), которая в этом случае свойственна уравнениям малых колебаний около положения устойчивого равновесия было показано, что гиростатические члены не влияют на интеграл энергии, из рассмотрения которого также и в этом случае становится очевидной устойчивость на основании критерия Дирихле. [c.414]

Математический критерий, дающий простое достаточное условие устойчивости равновесия материальной системы, был впервые указан Лагранжем (1788 г.) приведенное им недостаточно строгое доказательство уточнил Г. Лежен-Дирихле (1846 г.) ) теорема Лагранжа — Дирихле такова [c.429]

Применим теперь критерий Дирихле для суждения об устойчивости равновесия для того чтобы равновесие тела было устойчивым, достаточно, чтобы потенциал сял, приложенных к телу, имел минимум в положении равновесия. Силы, приложенные к телу, сводятся к двум вертикальным силам силе веса Q, приложенной к точке С [c.103]

Теория Лагранжа — Дирихле дает удобный критерий для суждения об устойчивости равновесного положения консервативной системы. Но обратим ли этот критерий Можно ли утверждать, что все равновесные положения консервативной системы, в которых потенциальная энергия не достигает минимума, неустойчивы [c.369]

Критерий Лагранжа—Дирихле яв.чяется достаточным (но не необходимым) условием устойчивости состояния покоя системы в поле консервативных сил. [c.533]

Исследуем, пользуясь критерием Лагранжа-Дирихле, устойчивость состояния покоя системы в 9ТИХ двух положениях в зависимости от веса грузов Р и iJ. [c.535]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...