Метод Ритца — Галеркина

Решение прямой задачи как в перемещениях, так и в напряжениях требует интегрирования довольно сложной системы дифференциальных уравнений в частных производных и, как правило, сопряжено со значительными математическими трудностями. Поэтому при решении прямой задачи часто используют приближенные методы,например метод сеток, прямые методы вариационных задач (методы Ритца, Бубнова—Галеркина, Канторовича и др.), а также получивший за последнее время широкое применение метод конечных элементов. В некоторых же случаях решение можно эффективно получить с помощью так называемого полуобратного метода Сен-Венана. [c.81]

В настоящей главе будут рассмотрены лишь наиболее часто применяемые при решении задач прикладной теории упругости вариационные и другие приблиншнные методы (методы Ритца, Бубнова — Галеркина, Канторовича — Власова, сеток, конечных элементов). [c.189]

При втором способе линеаризации нелинейная система заменяется линейной на некотором специально выделяемом движении Или группе движений, например, на периодических. Обоснованием замены в этом случае считаются всевозможные интегральные методы усреднения на выделенных движениях (гармоническая линеаризация и гармбаланс, методы Ритца и Галеркина и т. д.). Физическим основанием для замены здесь является энергетическая близость линейной и нелинейной систем. Если линеаризуемая этими методами система все же существенно нелинейная, то линейная система получается амплитудно-частотно-зависимой от возбуждения. [c.78]

Обычно поступают иначе—заранее подчиняют функции не только геометрическим, но и силовым граничным условиям. При таком выборе функций методы Ритца и Галеркина дают совпадающие результаты. [c.137]

МЕТОДЫ РИТЦА, БУБНОВА - ГАЛЕРКИНА, КОЛЛОКАЦИЙ И РОДСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ [c.183]

Замечание 2. В приложениях, в частности при применении вариационных методов (Ритца, Бубнова — Галеркина и др ), приходится вычислять интегралы, содержащие балочные функции и их производные. Вычисление этих интегралов or балочных функций можно найти в руководствах [3, 87, 100, 109] [c.197]

Метод конечных элементов. Наряду с методом конечных разностей значительной популярностью пользуются современные варианты методов Ритца и Галеркина, объединяемые названием метод конечных элементов , или нроекционно сеточные методы . Как доступное введение в метод конечных элементов можно рекомендовать [4, 18, 40]. В дальнейшем следует обратиться к [25, 26, 39, 60, 65]. [c.149]

Во многих случаях решение задачи с применением методов Ритца или Галеркина связано,с большими трудностями, вызванными сложной геометрией области Q. Используя отображение этой области на более простую, каноническую область, можно существенно облегчить подбор координатных функций, вычисление матрицы жесткости. В. качестве примера рассмотрим следующую задачу. [c.167]

Что общего между методами Ритца и Галеркина В чем различие между ними - [c.169]

В уже упомянутых численно аналитических методах (Ритца, Бубнова Галеркина и др.), а также в интенсивно развиваемых сейчас методах граничных элементов (гранич пых интегральных уравнений) использование аналитических конструкций, в частности, интегральных представлений решения или способов сведения дифференциальной зада чи к решению системы интегральных уравнений, может дать чрезвычайно экономичные приближенные численные алгоритмы. Иногда они позволяют при решении, например. [c.23]

Указанной неоднозначности в выборе моментных уравнений можно избежать, используя метод, предложенный И. Е. Таммом ). Метод аналогичен методам Ритца и Галеркина. [c.99]

Здесь, конечно, V должно быть заменено выражением (40). Такое видоизменение последовательности вычисления в методе Ритца указано Галеркиным. [c.696]

Вопросы сходимости решений, получаемых методами Ритца и Галеркина, и оценок даваемых ими приближений рассматриваются в многочисленных работах и монографиях. См. книги Л. В. Канторович и В. И. Крылов, Приближенные методы высшего анализа, Гостехиздат, 1949 и С. Г. М и X л и н, Прямые методы в математической физике, Гостехиздат, 1950. [c.697]

В этот очерк не включены приближенные способы решения, основанные на применении вариационных принципов (методы Ритца — Тимошенко, Галеркина, Канторовича). Практика их применения развита в монографии Л. С. Лейбензона (1951). Большое число исследований посвящено изучению сходимости вариационных методов и оценкам погрешности (в ряде случаев двусторонним) приближенных решений (С, Г. Михлин, М. Г. Слободянский). [c.17]

До сих пор аппроксимация для всей области в методе конечных элементов строилась в предположении ее некоторой гладкости (или по крайней мере непрерывности) на стыках между соседними элементами. Для дифференциального уравнения порядка 2к требовалась сшивка в для методов Ритца и Галеркина или сшивка в для метода наименьших квадратов. Если для тетраэдральных элементов сшивка в О достигается применением полиномов девятой степени, то нетрудно себе представить, каким сложным делом будет при к > 1 построение элементов с требуемой степенью гладкости сшивки, т. е. построение согласованных элементов. Поэтому с вычислительной точки зрения желательно научиться использовать элементы с меньшей степенью гладкости на стыках, чем это формально требуется, т. е. несогласованные элементы. [c.180]

Среди прямых методов решения вариационных задач наиболее широкое применение получили методы Рэлея—Ритца, Бубнова— Галеркина. [c.127]

Настоящая глава посвящена изложению одного из наиболее перспективных способов дискретизации непрерывных задач — методу конечных элементов. Метод будет сформулирован как обобщение матричных методов сил н перемещений строительной механики на случай континуальных систем. Преимущества такой формулировки — в очевидных возможностях обобщения на случай нелинейных и неконсервативных систем, недостаток —в завуали-рованности связи с традиционными вариационными методами — Ритца и Бубнова — Галеркина, а также в трудностях перенесения на краевые задачи немеханического происхождения. [c.130]

В главе 4 будет дана другая формулировка метода конечных элементов, эквивалентная предыдущей, но использующая непосредственно идеологию методов Ритца и Бубнова — Галеркина. Преимущество этого подхода — в открыФнн возможностей для обоснования, усовершенствования и обобщения на широкие классы краевых задач математической физики, недостаток — в трудностях машинной реализации соответствующего алгоритма для проблем, содержащих в качестве неизвестных вектор-функции илн дифференциальные операторы порядка выше второго. [c.130]

Установленная здесь классификация не является общепринятой. Одни авторы считают прямыми те методы, которые приводят краевую задачу теории упругости к алгебраическим уравнениям, относя к этим методам и соответствующие вариационные методы (Ритца — Тимошенко, Бубнова — Галеркина) другие считают прямыми вое приближенные методы и т. д. [c.9]

Методы Ритца (1908 г.)—Тимошенко (1910 г.), Бубнова <1913 г.) — Галеркина (1915 г.), и Треффца (1933 г.) предлагают различные способы приближения к действительному значению на основе приведенных выше вариационных принципов. По методу Власова (1Й6 г.) — Конторовича (1942 г.) решение задается з форме [c.12]

Большую популярность за последнее время приобрел в а р и а ц и о н н ы й мет о д В. 3. Власова. В этом методе искомая функция зависит от двух переменных и удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных (например, прогиб в задаче об изгибе упругой пластинки). Эта функция выражена в виде произведения двух функций, из которых одна представляет заданную функцию от одного переменного, д другая — искомую функцию от другого. Вместо искомых постоянных коэффициентов, рассматриваемых в методе Бубнова — Галеркина (а также в методе Ритца — Тимошенко) и определяемых линейными алгебраическими уравнениями, в вариационном методе Власова, построенном на прямом применении принципа возможных перемещений, рассматривается система искомых функций. [c.65]

Среди прямых методов решения вариационных задач наиболее широкое применение получили метод Ритца, метод Канторовича н метод Бубнова—Галеркина — метод приближенного решения диффе- [c.97]

Аналитические методы, а также классические приближенные методы (Ритца, Канторовича, Бубнова—Галеркина и т. д.) позволяют найти функцию Ф (%, х ) лишь для сравнительно простых поперечных сечений бруса. [c.184]

Так же как в процессе применения метода Ритца при реализации метода Бубнова — Галеркина, возникают трудности, связанные с погрешностью вычислений (увеличивающиеся с ростом числа удерживаемых координатных функций). Проиллюстрируем сказанное на одном примере. Пусть требуется найти решение уравнения [c.156]

Если пластинка не имеет двух противоположных шарнирно опертых краев, то прогиб не может быть представлен рядом (а) и точное решение сильно осложняется. В последнем случае часто применяют приближенные методы—вариационные методы Ритца —Тимошенко, Бубнова — Галеркина, Треффца, Власова — Канторовича, метод конечных разностей и т. д. [c.121]

Постоянные параметры а,- выбирают из условий, чтобы функция (8.1) по возможности точнее представляла искомую функцию w(x, у). Из различных методов отыскания постоянных параметров й рассмотрим два метод Ритца —Тимошенко и метод Бубнова—Галеркина. [c.153]

Таким образом, метод Бубнова — Галеркина, как и метод Ритца — Тимощенко, исходит из принципа возможных перемещений, а поэтому оба метода равноправны. В обоих методах аппроксимирующую функцию необходимо выбирать так, чтобы она удовлетворяла геометрическим граничным условиям, а статическим — необязательно. [c.161]

Решение системы (10.54) представляет большие трудности, поэтому целесообразно применять вариационные методы решения метод Бубнова—Галеркина или метод Ритца—Тимошенко. [c.252]

Вариациопные принципы и основанные на них вариационные методы играют важную роль в механике деформируемого твердого тела как в части получения дифференциальных уравнений задач, так и в части построения приближенных решений. К методам получения прнближеш1ых решений относятся методы Ритца — Тимошенко, Канторовича — Крылова, Бубнова — Галеркина и др. В основе всех этих методов лежат излагаемые ниже вариационные принципы в той или иной их комбинации. Хотя получение приближенных решений на основе этих методов при наличии мощных ЭВМ постепенно отходят на второй план, они все еще находят применение. В процессе применения ЭВМ на подготовительном этапе есть необходимость задачу интегрирования систем дифференциальных уравнений свести к задаче решения систем алгебраических уравнений. В этой части вариационные методы завоевывают все более и [c.186]

В рассмотренных нами примерах решения задачи методами Ритца и Бубнова — Галеркина используются одни и те же аппроксимирующие функции прогиба, причем эти функ- [c.200]

В большинстве случаев исполь,зование метода Бубнова — Галеркина при решении такого рода задач приводит к менее громоздким выкладкам, чем применение метода Ритца. Однако следует помнить, что в случае применения метода Бубнова — Галеркина в той форме, которая была нами рассмотрена, функция т обязателыто доляата удовлетворять как геометрическим, так и статическим граничным условиям. [c.201]

Наиболее часто в практике используют расчеты, основанные на вариационном принципе Лагранжа. Выше, в 5 этот принцип был использован для вывода фференциального уравнения изгиба пластины и граничных условий. Ниже будет рассмотрено применение некоторых прямых методов вариационного исчисления (метода Ритца, метода Бубнова—Галеркина и метода Канторовича). [c.96]

Для расчета пластин на изгиб метод Бубнова—Галеркина является менее эффективным, чем метод Ритца, так как обычно трудно подобрать координатные функции, удовлетворяющие всем граничным условиям, а в случае пластин переменной толщины сложный вид имеют дифференциальные уравнения изгиба. [c.106]

Для нахождения собственных частот может использоваться и метод Галеркина [105] однако в этом случае метод Галеркина эквивалентен методу Ритца и отличается от него только способом вывода формул (11.76) для коэффициентов а , Ьцу поэтому на нем мы не останавливаемся. [c.81]

Очень важным преимуществом метода Ритца (а также, естественно, методов Галеркина и Фридмана) является то, что [c.81]

Подставляя найденные значения Zij в (V.7), получаем аналитическое выражение для приближенного решения задачи Uq (х, у). Тогда координатная последовательность для того или иного вариационного метода (Ритца, Галеркина, наименьших квадратов и т. д.) может быть представлена в виде [c.62]

Решение системы (10.47) представляет большие трудности, поэтому целесообразно применять вариационные методы решения метод Бубнова—Галеркина или метод Ритца—Тимошенко. Рассмотрим решение задачи для пологой оболочки методом Бубнова—Галеркина в форме, разработанной для оболочек В. 3. Власовым. [c.214]

Коэффициенты в выражении (20.67) являются постоянными числами (параметрами) и подлежат определению. Рассмотрим определение коэффициентов а , с помощью вариационных методов Ритца и Бубнова — Галеркина. [c.450]

Подставив в (20.71) выражение (20.67) и выполнив интегрирование, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно а - Можно показать, что уравнение (20.71) выражает в интегральной форме условие равенства нулю работы всех внешних и внутренних сил в пластине на возможных перемещениях ф (х, И. В этом смысле метод Бубнова—Галеркина, как и метод Ритца, исходит из принципа возможных перемещений Лагранжа. [c.451]

Если функции 7т удовлетворяют граничным условиям, что вполне реально для цилиндрических отсеков, то алгоритмы методов Ритца и Бубнова—Галеркина совпадают. В случае нецилиидрических полостей удовлетворение граничным условиям становится затруднительным. Наилучшие результаты дает выбор и в классе гармонических функций, что позволяет свести объемные интегралы в выражениях коэффициентов к поверхностным и резко уменьшить затраты машинного времени при расчетах на ЭВМ (метода Трефтца [22]). Дальнейшие упрощения достигаются при tm = Ут- Общий алгоритм определения основных гидродинамических коэффициентов методом Трефтца выглядит следующим образом. [c.81]

Для решения уравнений (41) целесообразно применять методы Рэлея—Ритца, Бубнова—Галеркина и т. п. [2, 18]. [c.449]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...