Приближение по Галеркину Ритцу

Аналитические методы, а также классические приближенные методы (Ритца, Канторовича, Бубнова—Галеркина и т. д.) позволяют найти функцию Ф (%, х ) лишь для сравнительно простых поперечных сечений бруса. [c.184]

Как H в случае первого приближения, уравнения Ритца во втором приближении полностью совпадают с уравнениями Бубнова — Галеркина соответствующего приближения. [c.248]

Изучение динамических свойств нелинейных систем, как известно, не может быть в принципе выполнено при помощи линейного математического аппарата, а теоретическое исследование устойчивости, качества и эффективности регулирования нелинейных автоматических систем существенно затруднено и может быть выполнено только для простейших нелинейных автоматических систем. Именно поэтому для приближенного исследования нелинейных автоматических систем высокого порядка были предложены различные аппроксимации, позволяющие заменять исследования нелинейных систем исследованиями некоторых эквивалентных им линейных систем (методы А. А. Кобзарева, наименьших квадратов, малых возмущений, вариации постоянных, вариационный Галеркина — Ритца, вычисления среднего значения энергии и др.). [c.37]

Дан полный математический анализ краевых задач иелииейиой теории оболочек. Для всех физически осмысленных постановок доказаны теоремы разрешимости и корректности в условиях глубокой нелинейности. Приведены условия единственности решений и условия неединственности. Получили обоснование в этом круге нелинейных задач методы приближенного решения Бубнова — Галеркина, Ритца, Ньютона — Канторовича и др. Большое внимание уделено нелинейной устойчивости, в которой различаются две проблемы оценка числа решений краевой задачи и выбор наиболее реального. Подробно проанализированы возможности принципа линеаризации Эйлера, дано строгое математическое обоснование существования нижних критических чисел, развит статистический подход. Основу рассмотрений составили топологические и вариационные соображепия. [c.2]

Отметим здесь важную особенность разложений (23.14) они не столь чувствительны к гладкости исходных данных. Так, они сходятся даже в том случае, если Л содержит компоненты в виде б-функций, т. е. сосредоточенные силы при достаточно малой величине их интенсивности. Вместе с этим столь же быстрая сходимость ряда (23.14) будет иметь место и при равномерной нагрузке р, если она достаточно мала. Принципиальной разницы здесь нет. При использовании других приближенных методов (Бубнова — Галеркина, Ритца, конечных разностей, конечных элементов) налицо большое различие в эффективности, сильно зависящей от гладкости нагрузки. Некоторые же методы (конечные разности, конечные элементы) вообще не могут непосредственно использоваться, если нагрузка содержит разрывы типа сосредоточенных сил. Приходится предварительно производить численно-аналитическую обработку [c.203]

Установленная здесь классификация не является общепринятой. Одни авторы считают прямыми те методы, которые приводят краевую задачу теории упругости к алгебраическим уравнениям, относя к этим методам и соответствующие вариационные методы (Ритца — Тимошенко, Бубнова — Галеркина) другие считают прямыми вое приближенные методы и т. д. [c.9]

Методы Ритца (1908 г.)—Тимошенко (1910 г.), Бубнова <1913 г.) — Галеркина (1915 г.), и Треффца (1933 г.) предлагают различные способы приближения к действительному значению на основе приведенных выше вариационных принципов. По методу Власова (1Й6 г.) — Конторовича (1942 г.) решение задается з форме [c.12]

Решение прямой задачи как в перемещениях, так и в напряжениях требует интегрирования довольно сложной системы дифференциальных уравнений в частных производных и, как правило, сопряжено со значительными математическими трудностями. Поэтому при решении прямой задачи часто используют приближенные методы,например метод сеток, прямые методы вариационных задач (методы Ритца, Бубнова—Галеркина, Канторовича и др.), а также получивший за последнее время широкое применение метод конечных элементов. В некоторых же случаях решение можно эффективно получить с помощью так называемого полуобратного метода Сен-Венана. [c.81]

Среди прямых методов решения вариационных задач наиболее широкое применение получили метод Ритца, метод Канторовича н метод Бубнова—Галеркина — метод приближенного решения диффе- [c.97]

Проблема сходимости приближенных решений, построенных по методу Бубнова — Галеркина, к точному решению в том случае, когда оператор — положительно определенный, эквивалентна аналогичной проблеме для процесса Ритца, и поэтому нет нужды в ее самостоятельном рассмотрении. Для других случаев такие исследования выполнены. Рассматривался, например [178], вопрос о решении интегральных уравнений Фредгольма второго рода и было показано, что решение по методу Бубнова — Галеркина совпадает с решением, получаемым при замене ядра на вырожденное при разложении его в ряд по произведениям координатных функций. [c.154]

Методы Рэлея (1877), см. уравнения (4.57)—(4.61), Ритца (1908) — Тимошенко (1910), Бубнова (1913) — Галеркина (1915) и Треффца (1933) предлагают различные способы приближения w к действительному значению на оснтзе приведенных выше вариационных принципов. По методу В. 3. Власова (1946) —Л. В. Канторовича (1942) решение задается в форме ряда [c.11]

Из-за трудностей интегрирования уравнения (3.153) приходится прибегать к различным приближенным методам определения частот колебаний, к которым относятся замена кривого стержня (арки) системой с конечным числом степеней свободы, введение конечного числа точечных масс [144] замена арки многоугольной рамой [98], замена арки упруго связанными между собой абсолютно жесткими звеньями [72], применение метода Рэлея —Ритца для интегрирования уравнения колебаний [122] метода Галеркина [69] и т. д. [c.84]

Если пластинка не имеет двух противоположных шарнирно опертых краев, то прогиб не может быть представлен рядом (а) и точное решение сильно осложняется. В последнем случае часто применяют приближенные методы—вариационные методы Ритца —Тимошенко, Бубнова — Галеркина, Треффца, Власова — Канторовича, метод конечных разностей и т. д. [c.121]

Вариациопные принципы и основанные на них вариационные методы играют важную роль в механике деформируемого твердого тела как в части получения дифференциальных уравнений задач, так и в части построения приближенных решений. К методам получения прнближеш1ых решений относятся методы Ритца — Тимошенко, Канторовича — Крылова, Бубнова — Галеркина и др. В основе всех этих методов лежат излагаемые ниже вариационные принципы в той или иной их комбинации. Хотя получение приближенных решений на основе этих методов при наличии мощных ЭВМ постепенно отходят на второй план, они все еще находят применение. В процессе применения ЭВМ на подготовительном этапе есть необходимость задачу интегрирования систем дифференциальных уравнений свести к задаче решения систем алгебраических уравнений. В этой части вариационные методы завоевывают все более и [c.186]

Наряду с дифференциальным может быть реализован (точно или приближенно, как в методе Галеркина) энергетический подход к решению задачи (метод Релея — Ритца). При этом используется выражение для потенциальной энергии, записанное через напряжения и деформации, ft/2 [c.223]

Следовательно, йц = ац bij = Ьц и результат приближенного решения задачи методом Рэлея—Ритца полностью совпадает с результатом решения методом Галеркина, если в обоих случаях используется один и тот же ряд (2.86), построенный из функций сравнения. Но из сказанного не следует, что эти два приближенных метода полностью идентичны. При решении задачи методом Рэлея—Ритца можно использовать значительно более широкий класс аппроксимирующих функций, чем при решении задачи методом Галеркина в методе Рэлея—Ритца это допустимые функции, а в методе Галеркина—функции сравнения. [c.76]

Но если вместо квадратичной параболы, не являющейся функцией сравнения, возьмем четырежды дифференцируемую функцию, удовлетворяющую всем граничным условиям задачи, то результаты приближенных решений метода Рэлея—Ритца и метода Галеркина совпадут. Примем, например, [c.77]

Подставляя найденные значения Zij в (V.7), получаем аналитическое выражение для приближенного решения задачи Uq (х, у). Тогда координатная последовательность для того или иного вариационного метода (Ритца, Галеркина, наименьших квадратов и т. д.) может быть представлена в виде [c.62]

Замечание 3. Для приближенного определения частот можно применять процедуру метода Бубнова — Галеркина с выбором координатных функций, удовлетворяющих смягченным условиям (как в методе Ритца). [c.184]

Защемленные или свободные по контуру пластины. Точного решения для данного случая в замкнутом виде получить не удается. Здесь можно применять различные приближенные подходы вариационные методы (Релея, Ритца, Бубнова—Галеркина. и др.), численные методы (конечных разностей, конечных элементов), комбинированные методы и т. д. Так, по формуле Релея основная частота [c.205]

Эта задача может быть решена по схеме, описанной в п. 2 данной главы. Для других случаев краевых условий необходимо использовать приближенные или численные методы. Г ри решении задачи методом Релея, Ритца, Бубнова—Галеркина и др. в качестве аппроксимирующих могут быть использованы балочные функции (см. гл. X). [c.229]

При составлении уравнений в методе Бубнова—Галеркина никакие связи с вариационными задачами вообще говоря не используются, поэтому этот метод является универсальным. Он может быть применен к уравнениям в частных производных различных типов эллиптическим, гиперболическим, параболическим.Однако для вариационных задач метод Бубнова—Галеркина находится в тесном взаимоотношении с методом Ритца, а в ряде случаев эквивалентен последнему в том смысле, что приводит к тому же приближенному решению, но с помощью более простых выкладок. [c.118]

Метод Бубнова-Галеркина, как и метод Ритца, позволяет получить приближенное решение задачи о собственных колебаниях оболочек. Согласно этому методу строится система координатных функций удовлетворяющая как кинематическим, так и динамическим 1раничным условиям, в виде [c.218]

Способ Галеркина (1915). Для краевых задач, допускающих вариационную формулировку, в частности для задач теории упругости, этот приближенный способ интегрирования дифференциальных уравнений представляет упрощающее вычисление видоизменение метода Ритца. Приближение (2.3.1) [c.154]

Метод Бубнова — Галеркина (см. исторический очерк в [0.11]) возник как видоизменение метода Ритца, связанное с вычислением коэффициентов системы алгебраических уравнений Ритца на основе вариационного уравнения. Позднее было замечено, а затем и доказано, что аналогичным образом можно приближенно решать также и некоторые дифференциальные уравнения, не являющиеся условиями стационарности никакого функционала (краевые задачи для несамосопряженных операторов), т. е. что метод Бубнова — Галеркина является более общим, чем ме- [c.174]

Из-за авторского предпочтения приближенные уравнения задачи теории упругости будут часто выводиться из принципа виртуальной работы, поскольку он остается справедливым независимо от соотношений напряжения — деформации и суш,ество-вания потенциальных функций. Приближенный метод решения, использующий принцип виртуальной работы, будет называться обобш.енным методом Галеркина ). Для консервативных задач теории упругости результаты, получаемые с помощью сочетания принципа виртуальной работы и обобщенного метода Галеркина, эквивалентны результатам, получаемым с помощью сочетания принципа стационарности потенциальной энергии и метода Ре-лея—Ритца. [c.21]

Итак, выведен принцип виртуальной работы, а также родственные ему принципы для задачи теории упругости при конечных перемещениях. Отметим, что приближенные методы решения типа обобщенного метода Галеркина ( 1.4) или Релея—Ритца ( 2.5) могут быть аналогично применены и в задаче с конечными перемещениями. Отметим также, что при изменении условий на 5а на величину dtt имеем [c.101]

Задачи механики сплошных сред сводятся,к дифференци--альным уравнениям в частных производных, которые необходимо интегрировать при определенных краевых условиях. Приближенное решение краевых задач во многих случаях удается получить с применением так называемых прямых методов. По определению С. Л. Соболева, прямыми называются такие методы приближенного решения задач теории дифференциальных и интегральных уравнений, которые сводят эти задачи к конечным систейам алгебраических уравнений. В теории и практике применения прямых методов особое место занимают два метода метод Ритца и метрд Галеркина. [c.153]

В уже упомянутых численно аналитических методах (Ритца, Бубнова Галеркина и др.), а также в интенсивно развиваемых сейчас методах граничных элементов (гранич пых интегральных уравнений) использование аналитических конструкций, в частности, интегральных представлений решения или способов сведения дифференциальной зада чи к решению системы интегральных уравнений, может дать чрезвычайно экономичные приближенные численные алгоритмы. Иногда они позволяют при решении, например. [c.23]

Заметим, что применение метода Ритца (см. 3.5) с использованием тех же координатных функций, что и в методе Бубнова Галеркина приводит к подобному результату. Использование одночленного приближения совпадает с применением формулы Релея. [c.490]

Многие исследования посвящены доказательству сходимости этих методов. Показано, что методы Ритца и Бубнова — Галеркина совпадают для но-< ложительно-определенных операторов и что для данного уравнения и данной системы базисных функций при тг оо или все методы сходятся, или все не сходятся в среднем к точному решению. Э. Треффтц предложил приближенный метод, в котором строго удовлетворяются уравнения задачи по приближенным граничным условиям. [c.254]

Остроградского. Приводятся соответствующие примеры. Далее рассматриваются методы точного и приближенного (включая методы Ритца, Галеркина, Канторовича) определения частот и форм собственных колебаний, а также даются способы нахождения вынужденных колебаний с учетом внепгних и внутренних потерь в материале. В заключение излагаются вопросы устойчивости упругих систем, включая неконсервативные задачи упругой устойчивости. Изложение этой части проводится на примерах стержня, нагруженного следящей силой, трубопровода с движущейся жидкостью и вращающего вала. [c.12]

Вопросы сходимости решений, получаемых методами Ритца и Галеркина, и оценок даваемых ими приближений рассматриваются в многочисленных работах и монографиях. См. книги Л. В. Канторович и В. И. Крылов, Приближенные методы высшего анализа, Гостехиздат, 1949 и С. Г. М и X л и н, Прямые методы в математической физике, Гостехиздат, 1950. [c.697]

В этот очерк не включены приближенные способы решения, основанные на применении вариационных принципов (методы Ритца — Тимошенко, Галеркина, Канторовича). Практика их применения развита в монографии Л. С. Лейбензона (1951). Большое число исследований посвящено изучению сходимости вариационных методов и оценкам погрешности (в ряде случаев двусторонним) приближенных решений (С, Г. Михлин, М. Г. Слободянский). [c.17]

Основной базой для сведения двумерных задач теории пластинок и оболочек к задачам систем с конечным числом степеней сЬободы служат методы Ритца и Бубнова — Галеркина для решения вариационных уравнений, Подавляющее большинство нелинейных задач теории пластинок и оболочек решено именно таким путем. При этом всегда возникают вопросы в каком смысле приближенное решение, если оно существует, будет удовлетворять условиям исходной краевой задачи какова погрешность приближенного решения Этим вопросам посвящен цикл работ И. И. Воровича (1955—1958) по нелинейной статике и динамике пологих оболочек. Ответы на поставленные вопросы Ворович дал в терминах функционального анализа. К сожалению, здесь невозможно даже конспективно изложить эти результаты ). Отметим лишь, что указанное направление получило дальнейшее развитие в основном в работах В. Н. Морозова (1958, 1962), Л. С. Срубщика и В. И. Юдовича (1962, 1966). [c.236]

Метод Галеркина. Этот метод, так же как и метод Ритца, широко применяется для приближенного решения задач строительной механики машин и, в частности, для расчета пластин. Решение с помощью этого метода часто получается более простым, так как он не требует вычисления потенциальной энергии системы, иногда, однако, метод Галеркина дает большую погрешность, чем метод Ритца, а в некоторых случаях он вообще не применим (например, в задачах о деформациях пластин с ребрами). [c.262]

При использовании МКЭ расчетная область разбивается на конечное число подобластей, называемых конечными элементами. Для двухмерных задач наиболее часто в качестве конечных элементов используются треугольники и четырехугольники, для трехмерных — тетраэдры и параллелепипеды. В пределах каждого конечного элемента вводятся аппроксимирующие однотипные функции, которые равны нулю всюду, кроме как в соответствующем элементе и непосредственно примыкающих к нему подобластях. Для нахождения значений функций в узлах прилегающих друг к другу элементов составляется система алгебраических уравнений либо методом Ритца, основанным на минимизации функционала, выбираемого в соответствии с физическим смыслом задачи, либо методом Галеркина, в котором минимизируются ошибки решения задачи с помощью приближенной модели. Матрица коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений является сильно разреженной матрицей ленточной структуры, в которой ненулевые элементы располагаются параллельно главной диагонали. Ширина ленты зависит от способа нумерации узлов. Рациональная нумерация позволяет добиться минимальной ширины ленты и повысить эффективность решения системы уравнений. МКЭ стимулировал развитие специальных методов решения систем с сильно разреженными матрицами [79, 80]. [c.97]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...