266 — Законы движения траектории фазовые

Теперь легко убедиться, что, после того как будет проинтегрирована система (85) порядка 2( —1), достаточно одной квадратуры для того, чтобы получить решение первоначальной системы (5). Действительно, интегралы системы (85) позволят выразить q при h—, 2,. . п— 1 в функциях от и от 2 (л— 1) постоянных интегрирования, кроме Е, которое входит явно в виде параметра в ЛГ с другой стороны, сама функция К, когда в нее вместо 2 (и—1) аргументов ру,, qJ подставляют только что указанные выражения, на основании равенств (6 ) дает так что тем самым в фазовом пространстве Фз будут определены оо - траекторий любого движения, определяемого системой (5). Поэтому остается только определить закон движения, для чего.достаточно обратиться к уравнению (84), которым мы уже [c.310]

Выше мы видели (см,, например, рис. 9,6), что фазовая траектория расположена на цилиндрических поверхностях, образующая которых параллельна оси 0, а направляющими служат кривые Жй(0). Поскольку в течение времени запаздывания закон движения системы не изменяется, изображающая точка будет перемещаться по той же поверхности, на которой она находилась до встречи со статической линией переключения. К этой же цилиндрической поверхности будет принадлежать и динамическая линия переключения следовательно, в данном случае она будет некоторой пространственной кривой, лежащей на фазовой поверхности Ж (6). [c.49]

Изучая движение материальных тел под действием сил, можно выделить интересный класс задач динамики, характерных тем, что некоторые из действующих сил могут быть запрограммированы и реализованы на движущихся объектах человеком-пилотом (или автопилотом). Часть сил, приложенных к движущемуся объекту, конечно, определена (детерминирована) природой, а часть может изменяться в широких пределах по некоторым законам, заложенным в конструкцию летательного аппарата. Так, при изучении движения ракеты в поле тяготения Земли гравитационная сила вполне детерминирована (она подчиняется закону тяготения Ньютона), а реактивная сила может изменяться и регулироваться как по величине, так и по направлению. Каждому закону регулирования реактивной силы будет соответствовать некоторый закон движения ракеты. В современной ракетодинамике и динамике самолета такие задачи часто называют задачами с управляющими (или свободными) функциями. Если управляющие функции все заданы и, следовательно, сделаны определенными все действующие силы, тогда мы будем иметь дело с обычной задачей теоретической механики найти закон движения объекта, если действующие на него силы известны. Но выбор (задание) свободных функций можно подчинить некоторым, достаточно общим и широким, условиям оптимальности (экстремальности) и производить определение динамических характеристик для этих классов оптимальных движений. Метод проб или сравнений, лежащий в основе классических вариационных принципов, применим и здесь, но варьируется выбор управляющих функций, а не траекторий в пространстве конфигураций. (Каждому выбору свободных функций можно привести в соответствие траекторию системы в фазовом пространстве.) Задачи такого рода имеют большой практический интерес в динамике полета ракет и самолетов, а также в теории автоматического регулирования. [c.141]

Законы движения и траектории фазовые 236, 243, 244 [c.553]

Законы движения н траектории фазовые 264—265 [c.554]

Рассматривая параметр t как время , можно дать следующую кинематическую интерпретацию системы (I) решение а = ф (i), = Ф (i) можно рассматривать как закон движения точки по траектории на фазовой [c.26]

Однако, основываясь на анализе законов движения пассивных маркеров, предсказать режим перемешивания для контура, который в начальный момент времени помещен в хаотической или в регулярной зоне течения, представляется достаточно сложным. Одни критерии (сечение Пуанкаре, фазовые траектории или спектральные анализ) говорят о хаотизации движения маркера А, в то время как другие (наибольший показатель Ляпунова, корреляционный анализ или локальные карты растяжений) не свидетельствуют о резких отличиях в характере движения маркера В. Для того чтобы выяснить этот вопрос, необходимо провести эксперимент, связанный с прямым численным моделированием задачи об адвекции пассивного контура, помещенного в начальный момент в область, в которой располагался маркер В, с использованием метода кусочной сплайн-интерполяции на каждом временном шаге интегрирования задачи. [c.460]

Сделаем прежде всего следующее замечание. Картину кривых на фазовой плоскости мы можем, как мы уже видели, описывать либо одним уравнением (2.3) и изучать с его помощью интегральные кривые, либо описывать системой уравнений (2.2) и изучать фазовые траектории. В сущности можно сказать, что во втором случае мы после решения получаем уравнения тех же интегральных кривых, но в параметрической форме x = x t), y = y t), иначе, получаем закон движения изображающей точки по интегральной кривой на фазовой плоскости. Различие этих двух способов изображения одного и того же семейства кривых особен о ярко проявляется в следующем. Пусть х = х , — координаты ) особой точки уравнения (2.3), т. е. [c.107]

Для построения фазовой траектории при заданном законе движения q t) нужно путем дифференцирования образовать выражение скорости q t), а затем исключить [c.18]

Так как состоянием системы в данный момент времени однозначно определяется ее состояние в любой другой момент, то движение изображающей точки в фазовом пространстве, которое отображает собой изменения состояния данной системы с течением времени, однозначно определяется ее начальным положением. При этом изображающая точка описывает в фазовом пространстве линию, которую мы будем называть траекторией из только что сказанного следует, что через каждую точку фазового пространства проходит одна единственная траектория, и кинематический закон движения изображающей точки вдоль этой траектории является однозначно определенным. [c.12]

Функцию Х х,1) в дальнейшем будем считать непрерывной в некоторой открытой области О. Система (1.1) задает закон движения некоторой начальной точки ( о) и +1 -мерного фазового пространства по траектории х 1) = х 1,х 1 )). [c.22]

Множество Сн, вообще говоря, есть объединение конечного или бесконечного числа фазовых траекторий. Начальные условия движения (х(0), х(0)) определяют односвязную компоненту множества С/, — фазовую траекторию, по которой в дальнейшем движется точка на фазовой плоскости. Закон движения материальной точки определяется из соотношений ., [c.51]

Более полное представление об оптимальном управлении дает задана синтеза. Так называется задача определения оптимального управления в зависимости от фазовых координат (в рассматриваемом случае от Хх,Х2) Используем результаты исследования структуры оптимального управления. В начало координат траектория может входить либо при и = -И, либо при и = —1. Возьмем независимую переменную г = Т — 1. Определим все точки фазовой плоскости, из которых можно попасть в начало координат по закону оптимального управления за время Т. Уравнения движения примут вид [c.611]

Все же может быть позволено сделать несколько замечаний об истолковании приведенных положений. Прежде всего нельзя не упомянуть, что основным исходным толчком, приведшим к появлению приведенных здесь рассуждений, была диссертация де Бройля ), содержащая много глубоких идей, а также размышлений о пространственном распределении фазовых волн , которым, как показано де Бройлем, всякий раз соответствует периодическое или квазипериодическое движение электрона, если только эти волны укладываются на траектории целое число раз. Главное отличие от теории де Бройля, в которой говорится о прямолинейно распространяющейся волне, заключается здесь в том, что мы рассматриваем, если использовать волновую трактовку, стоячие собственные колебания. Я недавно показал ), что, рассматривая подобные стоячие собственные колебания и пользуясь законом де Бройля дисперсии фазовых волн, можно обосновать теорию газов Эйнштейна. Предыдущее изложение является в свою очередь как бы обобщением рассуждений, приведенных в связи с упомянутой газовой моделью. [c.676]

В отличие от гамильтоновых систем с их фундаментальным законом сохранения фазового объема для диссипативных систем характерно его постоянное уменьшение со временем. Это приводит к тому, что все траектории движения притягиваются к некоторой поверхности (аттрактору), размерность которой меньше, чем у исходного фазового пространства. При этом уравнения движения уже не являются каноническими, но их можно записать, вообще [c.73]

Первую проблему — определение переходного процесса при заданных параметрах системы можно считать полностью решенной. Для определения переходного процесса в релейной следящей системе нужно знать закон движения в пределах каждой области, соответствующей фиксированному положению релейного элемента, и положение границ областей, на которых происходит изменение состояния релейного элемента — поверхностей переключения. Пpимeн iтeльнo к рассматриваемому классу систем обе эти задачи удается решить для произвольного вида механической характеристики исполнительного двигателя и различных видов управляющих функций. Фазовая траектория в пределах каждой области определяется по методике, изложенной в гл. 1. Определение границ областей—линий переключения—рассмотрено в гл. 2. Возможность использования метода шаблонов обеспечи-136 [c.136]

Функции Qi pi = ( = 1, ) описывают закон движения некоторой гамильтоновой системы, причем некоторая конечная область II фазового пространства является инвариантной (т. е. из следует, что при любом t выполняется соотнотттение ф , / t) en). Выбирается момент времени Т и некоторая область G объем которой равен V > 0. Доказать, что найдется такой момент времени что область GnGt, где Gt — область, в которую переводится область G траекториями системы, будет иметь положительный объем. (Теорема Пуанкаре о возвращаемости областей.) [c.233]

Следует различать задаваемый осциллограммами закон движен и я фазы по фазовой траекториии самое траекторию, т. е. ориентированную кривую в п-мерном пространстве, по которой можно двигаться согласно самым разнообразным расписаниям движения . [c.559]

Замкнутую кривую АБ,ВГА на рис. 379, являющуюся границей области притяжения устойчивого фокуса (О, 0), также можно считать неустойчивым предельным циклом, если сделать следующее доопределение закона движения изображающей точки на отрезке отталкивания АБ изображающая точка двигается вдоль этого отрезка вправо во всех точках, кроме Б,, где она переходит на траекторию Б,ВГА. В пользу такого доопределения говорит следующее обстоятельство на фазовой плоскости генератора с характеристикой лампы, аппроксимируемой гладкой непрерывной кривой, сколь угодно близкой к /-характеристике, изоклиной горизонтальных касательных будет непрерывная кривая, близкая к ломаной А АББ, а неустойчивый предельный цикл будет близок к замкнутой кривой АБ1ВГА. [c.538]

Когда КА выведен на траекторию параллельного сближения, задача управления сближением состоит в определений закона движения вдоль линии визирования Обычно рассматривают параметрическое управление сближением, состоящее в том, что закон движения вдоль линии визирования зависит только от фазовых координат сближаемых объектов При этом управляющее ускорение вдоль неподвижной линии визирования w 7 в = должно быть постоянным Решение этого уравиения при Dq<0 дает программу сближения для мягкой встречи, состоящего из двух участков, на каждом из которых сохраняется постоянное направление управляющего ускорения На первом участке ускорение направлено по линии визирования к цели (участок разгона), на втором участке— в обратную сторону (участок торможеиия). [c.112]

Познакомимся с возможностью приближенного графического построения фазовых траекторий диссипативной системы с одной степенью свободы при помощи приема, развитого Льенаром. Этот метод предложен для случая, когда нелинейные свойства системы определяются исключительно законом зависимости силы трения (или сопротивления) от скорости (или силы тока), причем сама сила не зависит от величины независимой переменной (координата или заряд). В таком случае уравнение движения имеет вид [c.55]

Фактически па основании проводимых экспериментальных исследований требовалось указать такую область изменения переменных состояния системы а, 3, где бы можно было нелинейное второе уравнение системы (3) заменить линейным. В связи с этим второе уравнение моделировалось независимо от уравнения движения норшпя. Точнее говоря, на АВМ воспроизводилась нелинейная функция, описывающая второе уравнение, причем законы изменения переменных состояния задавались так, чтобы обеспечить равномерное покрытие фазовой траекторией четырехмерного пространства переменных состояния (рис. 2). Для этого [c.83]

Ф ЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО в статистической физике, многомерное пространство, осями к-рого служат все обобщённые координаты и импульсы р-, ( =1, 2,. .., М) механич. системы с N степенями свободы. Т. о., Ф. п. имеет размерность 2N. Состояние системы изображается в Ф.п. точкой с координатами 51, р , i(fi, рц, а изменение состояния системы во времени—движением точки вдоль линии, называемой фазовой траекторией. Точки, соответствующие определ. значению энергии системы, образуют в Ф. п. (2JV- 1)-мерную поверхность, делящую пространство на две части — более высоких и более низких значений энергии. Поверхности разл. значений энергии не пересекаются. Траектории замкнуюй системы (с пост, значением лежат на этих поверхностях. В принципе траектория может быть рассчитана на основе законов механики, такой расчёт можно осуществить практически, если число частиц системы не слишком велико. Для статистич. описания состояния системы из мн. частиц вводится понятие фазового объёма (элемента объёма Ф. п.) и функции распределении системы — вероятности пребывания точки, изображающей состояние системы, в любом элементе фазового объёма. Понятие Ф.п.— основное для классич. статистич. физики (механики), изучающей ф-ции распределения системы из мн. частиц. Д. Н. Зубарев. ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО в теории динамических систем—абстрактное пространство, ассоциированное с конкретной динамич. системой, точки в к-ром однозначно характеризуют все возможные состояния данной системы. Предполагается, что это пространство снабжено естеств. определением меры (расстояний, площадей и т. д.). [c.267]

Упомянем здесь же об одной, очень простой, как казалось бы с первого взгляда, точке зрения, позволяющей основать ряд результатов статистической механики на одной лишь классической механика. Кратко говоря, суть этой точки зрения заключается в том, что вследствие крайней сложности и запутанности фазовой траектории статистической системы поведение этой траектории хотя и описывается алгорифмом, но настолько сложно, что даже за очень большие времена (которые можно определить точнее, например при помопди сравнения с временем возврата) имитирует поведение величия, распределенных по законам случая. Казалось бы. таким путем можно получить приближенное согласие с вероятностными законами физической статистики. Мы уже указывали в этом параграфе на один из недостатков такой точки зрения вероятностное описание явлений в статистических системах и, в частности, вероятностное описание флюктуаций и броуновского движения, является лишь приближенным и применимым для определенных интервалов времени например, для времен, сравнимых с временем возврата, вероятностное описание заведомо привело бы к ошибкам. В противоречии с этим, опыт не дает нам никаких ограничений для возможности применения чисто вероятностных схем. Как мы уже отмечали, наличие одного лишь этого противоречия еще не может заставить нас отбросить такую точку зрения (хотя это противоречие принципиально вполне может быть разрешено чисто опытным путем м. гл. V). [c.55]

Главная же причина, по которой эта точка зрения совершенно неприемлема, заключается в том, что указываемая ею постановка опыта — определение распределения величин при наблюдении ничем не возмущаемой эволюции системы за длинные промежутки времени (на языке классической механики — эволюции системы при движении по заданной фазовой траектории) — совершенно отлична от обычной постановки опытов в статистической механике, опытов, служащих для установления и проверки ее вероятностных законов. В этих последних опытах мы неограниченно воспроизводим некоторое начальное состояние (макроскопически описанный комплекс условий), причем это состояние каждый раз воспроизводится нам заново , т. е. рассматриваемое начальное состояние в наших опытах отнюдь не обязано возникать в течение одной и той же невозмущенной эволюции системы (т. е., не обязано лежать на одной и той же фазовой траектории). Для возможности установления вероятностного закона достаточно, разумеется, возможности неограничейного воспроизведения соответствующего комплекса [c.55]

Отметим еще следующее условие а ", выполнимость которого при практически важных типах сил взаимодействия мы показывали, сводилось к требованию, чтобы либо везде кривизна была отрицательной, либо чтобы области положительной кривизны были достаточно малы. Однако пример идеального газа подсказывает возможность некоторого обобщения. Для результирующей величины расходимости геодезических линий существенна средняя расходимость. В областях положительной ь ривизны нормальное расстояние геодезических—величина, колеблющаяся по некоторому закону периодичности, а в областях отрицательной кривизны — величина, возрастающая по экспоненциальному закону. Поэтому при заданных величинах кривизны и при условии, что области отрицательной кривизны следуют при движении по траектории достаточно систематически (т, е. с частотой, не убывающей слишком быстро), результирующая расходимость будет такой же, как если бы ]фивизна была везде отрицательной, но имела соответственно меньшую величину. Следовательно, можно думать, что последнее условие, выполняющееся и при чистых силах отталкивания, является (вместе с условием б) достаточным (и, конечно, необходимым) условием размешивания. В то же время, как видно из порядковой оценки величины производной, при столкновений некоторой пары частиц — область, для которой и кТ, будет областью отрицательной кривизны с другой стороны, как показывает са м факт применимости статистики (обращение к которой не образует здесь, конечно, порочного круга), для подавляющего большинства начальных состояний столкновения частиц распределены вдоль фазовых траекторий совершенно регуляр ым образом. [c.199]

Двухимиульсная структура оптимальных перемещений дает ключ к пониманию соответствующей задачи синтеза оптимальные законы по принципу обратной связи следует искать в классе позиционных процедур импульсной коррекции. Согласно такой процедуре последовательно осуществляется сброс фазового изображения объекта на особое многообразие в фазовом пространстве. Как отмечалось, такое многообразие сплошь заполнено оптимальными фазовыми траекториями невозмущенной системы. С уменьшением времени между последовательными коррекциями фазовая точка объекта все чаще начинает попадать на особое многообразие. В результате в процесс управляемого движения объекта вносится эффект тина скольжения вдоль особого многообразия. С увеличением частоты коррекции фазовая траектория объекта стремится к траектории, соответствующей так называемому идеальному скольжению [38]. Такое скольжение описывается исходной возмущенной системой с управлением, превращающим особое многообразие в интегральное многообразие. Если эта система совпадает с системой оптимальных движений, то можно делать вывод о том, что процедура импульсной коррекции с неограниченно возрастающей частотой обеспечивает оптимальное поведение [c.42]

Наиболее интересен случай, когда Ма компактно. Тогда к = = О, следовательно, Ма — Т". Равномерное движение на Т" = = v mod 2тг по закону v ,- = р + o ,i (l г п) называется условно-периодическим. Числа wi,..., о — его частоты. Хор с набором частот 0)1,...,о называется нерезонансным, если из равенства Е= о с целыми к, ..., к вытекает, что все /г,- равны нулю. На нерезонансных торах каждая фазовая траектория всюду плотна. Это утверждение является простым следствием следующего общего результата, принадлежащего Г. Вейлю пусть / Т" —> —> К — интегрируемая по Риману функция, wi,..., о — рацио-н 1Льно независимые числа. Тогда для любой точки е Т" предел [c.86]

В колебательных системах с периодической вынуждающей силой отображение Пуанкаре можно получить, стробоскопически измеряя динамические переменные в моменты, соответствующие определенной фазе вынуждающего движения. В задаче с п переменными сечение Пуанкаре получается в результате измерения п — 1 переменных в те моменты, когда п-я переменная принимает некоторое определенное значение или когда траектория в фазовом пространстве пересекает некоторую произвольную плоскость, как показано на рис. 1.17 (см. также гл. 2 и 4). Если известен закон эволюции в промежутке между двумя пересечениями выбранной плоскости, то можно связать положение траектории в моменты , и / с помощью известных функций. Например, в случае, показанном на рис. 1.17 [c.33]

Если X и у — обычные декартовы координаты на фазовой плоскости, то фазовые траектории суть прямые линии. На фазовой плоскости мы имеем континуум убегающих движений. Если же х и у — ортогональные криволинейные координаты на торе (например, х — азимут меридиональной плоскости, а у — полярный угол с вершиной на оси тора), то фазовые траектории для той же системы дифференциальных уравнений образуют либо континуум замкнутых кривых (если а ш Ь соизмеримы), т. е. континуум периодических решений, либо континуум траекторий, всюду плотно заполняющих поверхность тора (если а к Ь не. соизмеримы), т. е. континуум так называемых квазипериодических решений. Этот пример показывает значение природы фазового пространства, его связности, для картины поведения фазовь1Х траекторий. Общие законы поведения, определяемые одним и тем же уравнением интегральных кривых, будут различны в случае плоскости и тора. [c.288]

Смотреть страницы где упоминается термин 266 — Законы движения траектории фазовые : [c.244] [c.244] [c.63] [c.232] [c.107] [c.69] [c.325] [c.373] [c.134] [c.243] [c.562] [c.562] [c.757] [c.243] [c.562] [c.562] [c.31] [c.232] [c.57] [c.125] [c.12]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...