Уравнение амплитуды колебани свободных

I2 l l/n = 0 ne выполняется) могут быть представлены следующим образом (в седьмом и восьмом уравнениях членами, пропорциональными произведению амплитуды свободных колебаний радиуса пузырька на квадрат амплитуды колебаний свободной поверхности жидкости, пренебрегаем по сравнению с членами, пропорциональными амплитуде свободных колебаний радиуса пузырька) [c.320]

Наиболее существенное отличие уравнения (259) от уравнения (254), иначе говоря, наиболее существенное изменение в свободном колебании системы, внесенное наличием силы сопротивления, заключается в множителе который с течением времени непрерывно уменьшается, вследствие чего амплитуды колебаний с сопротивлением убывают по экспоненциальному закону, асимптотически приближаясь к нулю. Такое колебание называют затухающим. [c.276]

Если частота р вынужденных меньше частоты k (свободных) собственных колебаний (случай малой частоты), то амплитуда вынужденных колебаний Аз = к/ — р ), а фаза pt вынужденных колебаний совпадает с фазой pt возмущающей силы. Но если р > k (случай большой частоты), то выражение, написанное для Аз, становится отрицательным, однако амплитуда не может быть отрицательной. Это кажущееся несоответствие объясняется тем, что при p>k фаза вынужденных колебаний противоположна фазе возмущающей силы и уравнение вынужденных колебаний имеет вид [c.279]

Свободные затухающие колебания механической системы описываются дифференциальным уравнением 2q q + 817 = О, где q — обобщенная координата. Во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний за два периода (4,87) [c.344]

Заметим, что правая часть выражения (91) имеет ту же форму, что и уравнение (15), определяющее частоты главных колебаний. Поэтому знаменатель в формулах (92) обращается в нуль при р — k или р = 2- Совпадение частоты возмущающей силы с одной из частот свободных колебаний, как станет ясно ниже, сопровождается при отсутствии сил сопротивления неограниченным возрастанием амплитуд колебаний с течением времени — явлением резонанса. Отметим, что при р = kt (г—-= 1, 2) определитель системы уравнений (90) обращается в нуль, т. е. система не имеет решений относительно В и Бг. Поэтому частное решение системы дифференциальных уравнений (87) в условиях резонанса следует искать в форме, отлич- ой от (89). [c.585]

Определим зависимость амплитуды колебаний оси г ротора гироскопа от начальных условий при свободном его движении. Общее решение первого дифференциального уравнения (11.1 ) запишем в виде [c.64]

Эти свойства свободных колебаний системы с одной степенью свободы основываются на приближенных линейных дифференциальных уравнениях. Эти уравнения тем точнее характеризуют истинное движение системы, чем меньше амплитуды колебаний. [c.29]

Описываемое этим уравнением колебание уже не является периодическим, каким было рассмотренное выше свободное колебание. Признаком этого является то, что время t входит в формулу (19.5) в качестве векового члена (т.е. не только под знаком тригонометрической функции). При t оо амплитуда колебания приближается к представленной на рис. 31 величине С = оо при и = loq. [c.139]

Аналогичным образом могут быть записаны частотные уравнения при иных граничных условиях, а именно g i (k) == О (оба конца свободны) gi2 (k) = О (оба конца заделаны) k) = О (вход цепи свободен, на выходе — заделка). Необходимо подчеркнуть, что понятие заделки при анализе колебаний механизмов не следует понимать в буквальном смысле. В частности, правомерно считать начало цепи заделкой, если ему приписывается заданное движение, а координаты фу соответствуют отклонениям из-за упругих деформаций. Очевидно, что в этом случае амплитуда колебаний в начальном сечении так же, как и при заделке, окажется равной нулю. [c.126]

Линеаризацию нелинейных граничных условий (I. 5) или определение приведенной линейной жесткости опор можно выполнить любым из известных методов осреднения за период колебаний, применяемых в нелинейной механике. При любой нелинейной характеристике восстанавливающей силы / (у) имеется возможность для каждой амплитуды колебаний конца балки найти величину соответствующей приведенной линейной жесткости. Это возможно потому, что в данном случае можно найти связь между частотой свободных колебаний и ее амплитудой. Для получения приведенной линейной жесткости в опорах используем уравнение движения конца балки в предположении, что его масса равна единице и он отсоединен от остальной части балки. Пусть / (у) есть упругая характеристика опоры балки. Тогда уравнение движения конца балки будет иметь вид [c.13]

Уравнение (I. 76) показывает, что в данном случае частота свободных колебаний будет функцией амплитуд колебаний обоих концов балки, так как Со р и i p определяются величинами указанных амплитуд. [c.30]

При изложении этого способа в задаче о свободных колебаниях отмечалось, что амплитудой колебаний первого диска можно произвольно задаться и что искомой является частота. В рассматриваемой задаче о вынужденных колебаниях нужно считать частоту о известной и принять за основную неизвестную первую амплитуду Й1. Последовательно принимая I — г = 2,. . ., можно из формулы (IV.94) выразить сначала йд через а , затем йд через Й1 и т. д. Последняя формула системы уравнений (IV.92) позволит определить неизвестную йд, после этого легко вычисляются остальные амплитуды. [c.255]

Сила Х( вызывает подёргивание паровоза, момент — виляние паровоза. Амплитуда колебаний паровоза определяется решением диференциальных уравнений движения, причём паровоз рассматривается как свободная система (касательные реакции рельсов, влияние вагонов и т. п. не учитываются). [c.380]

Из уравнения (133) может быть найдена амплитуда колебаний на свободном конце лопатки [c.117]

Система трех уравнений (244) представляет искомые упругие характеристики исследуемой балки в ее концевом сечении. Эти характеристики оказываются существенно нелинейными, т. е. податливости системы не постоянны, а зависят от величин нагружающих усилий. В этих" условиях частота свободных колебаний системы, как известно, также зависит от амплитуды колебаний. Чрезвычайная сложность расчета такого типа систем вынуждает ограничиться определением максимальных из всех возможных податливостей системы, с тем чтобы, использовав их в общем частотном уравнении (232), найти наинизшую из всех возможных частот свободных поперечных колебаний. [c.248]

Наличие нелинейной муфты создает особенности в работе агрегата при динамических режимах, в частности затягивание резонанса в область высоких частот, возможность возникновения колебаний с частотой в целое число раз меньшей, чем частота возбуждающего момента. Уравнение движения системы с нелинейной муфтой имеет точное решение лишь в отдельных случаях. При расчетах таких систем большое значение имеет зависимость частоты k от амплитуды при свободных колебаниях. Эта зависимость в графической форме носит название скелетной кривой. Виды скелетных кривых для некоторых нелинейных зависимостей вместе с формулами, связывающими частоту с амплитудой, даны в табл. III.2. Для построения скелетных кривых обычно пользуются приближенными способами [15]. При этом заранее предполагают (например, на основании эксперимента) существование дифференциального уравнения движения и форму его периодического решения. При гармонической линеаризации считают, что режим колебаний близок к гармоническому. Решение в общем случае получаем в виде (р = фо + Ф os (и + а). Частота свободных колебаний (скелетная кривая) может быть найдена из приближенных формул [c.61]

Амплитуда колебаний при всех прочих постоянных факторах прямо пропорциональна амплитуде сап(7п,ах возбуждающего воздействия. Из уравнения (56) следует, что амплитуда виброперемещений и виброускорений подрессоренной массы зависит от соотношения частот свободных и вынужденных колебаний. Амплитуда достигает максимума, когда Шп = ыо. В этом случае наступает резонанс. Резонансная амплитуда колебаний = [c.212]

Последние два уравнения системы (9) показывают, что в рассматриваемом приближении амплитуды колебаний радиуса пузыря с частотой его свободных колебаний затухают. Поэтому ниже ограничимся рассмотрением лишь таких движений, для которых 7 = О и 8 = О, т. е. пульсации пузырьков имеют характер только вынужденных колебаний. [c.321]

Свободные колебания с большими амплитудами прямоугольной пластины. В декартовой системе координат дифференциальные уравнения нелинейных колебаний пластинки (16) принимают вид [c.397]

Таким образом, в данном случае груз возвращается в исходное положение, совершая свободные затухающие колебания амплитуда колебаний уменьшается с течением времени по уравнению Х, = [c.29]

Отсюда видно, что амплитуда С зависит не только от величины возмущающей силы, но и от круговых частот свободных и вынужденных колебаний. При р = ш из уравнения (729) получаем бесконечно большое значение амплитуды. В этом случае наступает так называемый резонанс колебаний. При отсутствии сопротивлений приближение к резонансу всегда связано с прогрессивным ростом амплитуд колебаний. [c.481]

В результате решения уравнения свободных колебаний получаем выражение для расчета амплитуды колебаний [c.438]

Заметим, что при со=со запасенная энергия Е [уравнение (23)] равна произведению рассеиваемой в установившемся режиме мощности на постоянную времени свободных колебаний т. Качественно это легко понять если убрать внешнюю силу, то из-за трения энергия колебаний будет экспоненциально убывать с постоянной времени т [см. уравнение (10)]. Когда же к осциллятору приложена внешняя сила, частота которой равна собственной частоте колебаний осциллятора ( о, то амплитуда колебаний будет расти до [c.108]

Пример 1. Время затухания для картонной трубки. Попытаемся применить уравнение (28) к системе со многими степенями свободы. Возьмем картонную трубку, внезапно возбудим ее ударом и предоставим колебаниям свободно затухать. Удар возбудит главным образом самую низкую моду, для которой длина трубки равна половине длины волны. Система начнет колебаться. С концов трубки происходит испускание звуковой энергии, кроме того, некоторое ее количество теряется из-за трения воздуха о стенки трубки (т. е. звуковая энергия переходит в тепло). Таким образом, мы имеем затухающие колебания. Спрашивается, какова постоянная времени затухания этих колебаний Ваше ухо легко различит преобладающую частоту. Ту же частоту вы услышите, если постоянно дуть в конец трубки. Однако время затухания в этой системе слишком мало, чтобы его можно было измерить на слух. Есть две возможности. Возьмите микрофон, усилитель звуковой частоты и осциллограф. Включите развертку осциллографа в момент возбуждения колебаний и выход усилителя подайте на вертикальные пластины. (В хорошем осциллографе развертка может включаться внешним сигналом.) Сфотографировав след на экране осциллографа, вы можете прямо измерить т. Однако это можно сделать и иначе. Подайте выходное напряжение звукового генератора на небольшой громкоговоритель, установленный около одного конца трубки. В трубке возникнут установившиеся вынужденные колебания, частота которых будет задана звуковым генератором. Установите микрофон у другого конца трубки и измерьте с его помощью звуковое излучение с этого конца. Выход микрофона подайте на осциллограф, на экране которого можно будет измерить амплитуду звуковых колебаний. Теперь измените частоту генератора и т. д. Экспе- [c.110]

Сравнивая этот результат с формулой (8), мы видим, что действительное значение угла (р отличается от значения этого угла, определяемого формулой (8). двумя последними членами, которые соответствуют свободным колебаниям маятника. Определим амплитуду этих свободных колебаний, предполагая, что в начальный момент маятник находился в покое в вертикальном положении. Полагая t — Q, ср==0 и ср = 0 в уравнении (9), а также в равенстве [c.119]

Второе уравнение системы (7.1) описывает свободные колебания детали вокруг центра масс, которые, вообще говоря, быстро затухают, так как их амплитуда зависит от случайных причин, например неровностей стенок транспортного лотка. Средняя скорость деталей Гд зависит от силы токов /1, /2 и частоты пульсаций ( ). В несимметричной транспортной системе (при условии Д Ф Д) детали совершают сложное движение. На активных полупериодах, когда /1 > О и /2 > О, магнитное поле будет неоднородным не только в продольном, но и в поперечном направлении (вдоль детали). Вследствие чего точка приложения результирующей магнитных сил р1 и Ра смещается относительно центра масс с, и детали одновременно с поступательным движением начинают совершать угловые колебания вокруг центра масс с амплитудой а (рис. 7.2). Максимальная амплитуда колебаний име т место при х = О или /3 = 0. Приве- [c.223]

Определить зависимость амплитуды первой гармоники свободных колебаний от их частоты в системе, уравнение движения которой имеет вид [c.438]

Так, например, по периоду Г, затухающих колебаний схвата и амплитудам А2, Аз кривой As(/) можно вычислить логарифмический декремент затухания 6 = 1п(у42//4з) и коэффициент демпфирования л=26/7 , если за динамическую модель руки робота при его останове принять линейный диссипативный осциллятор (рис. 11.21,6). В этом случае используется дифференциальное уравнение свободных колебаний [c.339]

Получить также уравнение малых свободных колебаний груза А и определить амплитуду этих колебаний, если в начальный момент при / = 0, Уо=1 см, а у = 8 см/с. [c.356]

Уравнение, период, фаза, амплитуда, частота, теория, затухание, степень затухания, график, вид, изохронность, декремент, наложение, способ, запись, форма. .. колебаний. Задача. .. о колебаниях. Влияние сопротивления. .. на колебания. Пример. .. на свободные колебания. [c.30]

Отметим, что функция ХхЦ), описывающая свободные затухающие колебания системы, содержит две произвольные постоянные а и фо, для определения которых нужно знать начальные условия движения. В противоположность этому функция Хг(0 не содержит произвольных постоянных и, следовательно, не зависит от начальных условий движения. Все входящие в нее величины определяются непосредственно из самого дифференциального уравнения движения. Физически это значит, что при затухании свободных колебаний системы с течением времени дальнейшее колебательное ее движение будет определяться только свойствами самой системы, а также амплитудой и частотой вынуждающей силы. [c.188]

Сопоставляя этот результат с уравнением свободных колебаний, записанным в общем виде j = а sin -]- )> видим, что амплитуда колебаний а = 6,8 см, начальная фаза колебаний а = — и круго- [c.83]

Такое движение складывается из свободного (колебательного или апериодического) и вынужденных колебаний с той же частотой что и колебаний рулей. Относительно этих колебаний изменения параметров а и 0 запаздывают, в частности амплитуда Цтах достигается позже максимального углабэтах- Характер этого запаздывания для угла атаки можно выразить частным решением уравнения вынужденных колебаний Он = [c.55]

Сопоставляя этот результат с уравнением свободных колебаний, записанным в общем виде л = bsmikt + а), видим, что амплитуда колебаний Ь = 6,8 см, начальная фаза колебаний а = —тг/2 и круговая частота колебаний к= 12 рад/с. [c.72]

Распространение этого метода на общий случай производится очевидным образом, однако уместно привести формальный перечень результатов. В любой консервативной системе с т степенями свободы существует, вообще говоря, т независимых нормальных свободных колебаний вблизи положения устойчивого равновесия. Частоты этих колебаний находятся из уравнения т-го порядка относительно п , содержащего симметричный детерминант аналогично уравнению (3), и, таким образом, зависят только от свойств самой системы. В каждом из этих нормальных колебаний система колеблется так, как если бы она обладала только одной степенью свободы, так что амплитуды колебаний для координат д , находятся в постоянном отно- [c.65]

СРС 1. Полюсные фигуры были получены съемкой в железном Ре —Ка) нефильтрованном излучении длиной волны А,=0,193597 нм. Угол 0 нахо-ДИЛИ из уравнения Вульфа-Брега пА,=2й 51п9, где п — порядок отражения X — длина волны излучения с1—межплоскостное расстояние. Поправку на дефокусировку и поглощение проводили путем съемки порошкового эталона. Кроме того, для оценки структуры сплавов, подвергшихся термоциклированию в работе, применяли метод внутреннего трения [166]. При этом использовали электромагнитный метод возбуждения, схема которого показана на рис. 2.1. Декремент колебаний измеряли при поперечных колебаниях свободно подвешенного в узловых точках образца на частоте 400 Гц методом счета числа периодов свободно затухающих колебаний при уменьшении амплитуды в 1/2 раза. Для проведения опытов изготавливали специальные образцы. Центральная часть образца — исследуемый сплав, концы — магнитная сталь. При постепенном увеличении амплитуды определяли декремент возрастания. Достигнутая при этом максимальная амплитуда колебаний т поддерживалась постоянной в течение всего времени измерения декремента убывания, который с помощью щелевого дискриминатора определялся при меньших амплитудах 0<е<Вт и отвечал тренированному с амплитудой е состоянию материала образца. При исследовании структурного состояния сталей до и после различных режимов ТЦО использовали еще один метод, согласно которому определяли значения фона внутреннего трения Qф [c.35]

Формой колебаний называется совокупность отношений амплитуд колебаний масс системы. Форма свободных колебаний наблюдается при главных колебаниях, собственные частоты которых являются корнями частотных уравнений любого вида. Число возможных форм свободных колебаний равно числу упругих соединений между массами данной системы. Каждой форме свободных колебаний свойственна определенная частота <0 и У А. Формы свободных колебаний, подлежащие последующему расчету, опредехсяются крайними значениями Д но формуле [c.186]

Ниже рассмотрены только случаи одночастотных колебаний свободных колебаний по одной из собственных форм (когда искомы.ми являются собственные частоты) или вынужденных колебаний поддействием моногармонических возмущающих сил (когда искомыми являются амплитуды колебаний). В этих случаях величины Z , входящие в уравнения (91), представляют собой амплитуды перемещений, а коэффициенты rik и свободные члены Rip — амплитуды соответствующих реакций. [c.319]

Анализ основан на предноложепии о том, что в процессе столкновений происходят произвольные изменения фазы и амплитуды колебаний в лоренцевском атоме. В этом случае уст = 2/тст, где Тст -- среднее время между соударениями (множитель 2 возникает вследствие того, что каждое соударение ограничивает врелш жизни сразу двух осцилляторов предполагается, что присутствуют только возбужденные осцилляторы). Среднее время между столкновениями равно Ни, где I —средняя длина свободного пробега, V — средняя скорость. Для поперечного сечения при давлении р средняя длина свободного пробега / =/сГ/(4У"2ло р) средняя скорость V = (8Л Г лЛ/) / .Таким образом, можно получить из уравнения [c.54]

Пфемещение х(/) приведенной к опорному узлу массы тар, составить дифференциальное уравнение незатухающих свободных колебаний системы и определить приведенную массу /я р, круговую частоту /с, период т и амплитуду А свободных колебаний, закон движения массы тар (решение дифференциального уравнения). Начальные условия при /о = О перемещение д о = - Хо, где Хо - статическая деформация упругого контакта бурового става с породой начальная скорость 0 = 0. Вязким сопротивлением демпферов Д пренебречь. [c.243]

Определить циклическую частоту к и период Г ммых свободных колебаний системы, а также получить уравнение у = у(О колебаний груза I и найти амплитуду а его колебаний. [c.313]

Простые выражения (73) и (75) углов б и i]) получены из точных формул (67) путем пренебрежения высокочастотными колебаниями малых амплитуд и упрощений, которые были сделаны в предположении, что собственная угловая скорость ротора весьма велика по сравнению с частотами свободных колебаний колец подвеса при невращающемся роторе. Но на этом же предположении основыралась приближенная теория гироскопа ( 153). Поэтому следует ожидать, что, исходя из этой теории, можно непосредственно прийти к упрощенным дифференциальным уравнениям для углов б и tp, минуя громоздкий путь составления точных уравнений (48), нахождения их решений и последующего упрощения этих решений. [c.615]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...