15 — Функции тригонометрические двойные (2а) — Функции

Следует отметить, что при получении численных результатов по методу собственных функций осуществлялась проверка вырождения матрицы системы при подстановке собственных значений, правильности определения ранга системы, ортогональности форм собственных колебаний. На основе численного эксперимента проверена устойчивость вычислительного процесса и сходимость метода. Так как решения представляются в двойных тригонометрических рядах, то возникает необходимость их усечения. Анализ числовых результатов показал, что для практических расчетов достаточно удержания первых десяти членов по каждой координате. Это приводит к погрешности в пределах 3 %. [c.504]

Определение — Применение веревочного многоугольника 156 — Элементы — Вычисление 125 Формулы для тригонометрических функций двойного, тройного и половинного углов 86 фрезы дисковые — Размеры — Увеличение 569 -- торцевые — Ножи — Крепление 579 Функции тригонометрические 83, 84, 85, 86, 87 — Таблицы зна,-чений для углов от О до 90" 90—112 [c.601]

В соответствии с разложениями (з) и формулами (ж) функции температуры следует также представить в виде двойных тригонометрических рядов [c.215]

Этим условиям удовлетворяет функция Ф(а, р), взятая в виде двойного тригонометрического ряда [c.295]

Существо метода, предложенного Навье (1820 г.) для решения уравнения (7.13) в случае свободно опертых кромок, состоит в том, что функция прогиба ю представляется в виде двойного тригонометрического ряда [c.152]

Угол фз находится по значениям его тригонометрических функций (4.2) и (4.3), причем двойной знак перед радикалом в (4.3) соответствует двум возможным положениям звеньев 2 и < , симметричным относительно отрезка BD. Выбор варианта B D или B D производится в зависимости от предшествующего ближайшего положения звеньев. После вычисления угла фз находим угол фг по (4.1). [c.33]

Для определения коэффициентов Ар и представим функцию q z, ф) в виде двойного тригонометрического ряда Фурье по ортогональной системе [c.78]

Поскольку получить точное аналитическое решение дифференциального уравнения (20.12) в общем случае невозможно, будем искать его в виде бесконечного ряда. Для пластины с шарнирно опертыми по всем четырем сторонам краями удобно использовать разложение искомой функции прогиба w(x,y) в двойной тригонометрический ряд по синусам [c.436]

На первый взгляд построенное решение (6.79) не отличается ог решения в двойных тригонометрических рядах, так как функция Ф дается в виде ряда и еще берется ряд (6.79) по таким функциям. Но это не так. Ряд (6.79) — это экспоненциальный ряд, так как функция Ф представлена рядом (6.29), члены которого в направлении I изменяются по экспоненциальному закону (6.30). Отсюда вытекает, что в ряду (6.79) достаточно ограничиться двумя-тремя-слагаемыми в силу быстрого убывания функции ipi с ростом l—lo+2kl или U + go + 2A / . [c.277]

При переходе к тригонометрическим функциям двойного угла у формулы (8.18) преобразуются [c.119]

С этой целью представим функцию /(х, у) в виде двойного тригонометрического ряда [c.128]

Если деформацию.пластинки можно выразить посредством двойных тригонометрических рядов, то ее можно представить и в более простом виде, использовав свойства двоякой периодичности эллиптических функций. Для величины Дда, удовлетворяющей гармоническому уравнению Д (Дге ) = О, такое представление оказывается особенно удобным вследствие близкой связи между функцией Грина для выражения Aw и функцией, отображающей область заданной пластинки в единичный круг ). С определением Aw непосредственно устанавливается и величина перерезывающих сил как производных этой функции в соответствии с уравнениями (108). [c.380]

Из формулы (111) ясно, что движение массы т будет колебанием около центра О масса будет отклоняться по обе стороны центра на величину + а. т. е. а представляет амплитуду колебаний. Полный период колебания соответствует полному периоду тригонометрической функции, т. е. 2тт. Называя время полного (двойного) колебания через Т, получим [c.327]

Двойное интегрирование произведения тригонометрических рядов по ф, содержащееся в (43), проводится элементарно с учетом свойств ортогональности систем тригонометрических функций на интервалах О 0 2тг. В результате получаются бесконечномерные квадратичные формы по Вп, аналогичные П (30) [c.58]

Выражения А м В можно преобразовать к тригонометрическим функциям двойного угла. Тогда получим [c.215]

Представим функцию в виде двойного тригонометрического ряда [c.206]

После внесения значения и подстановки функции Рц в уравнение (9.49) получим для V двойной тригонометрический ряд - [c.384]

Геометрический смысл аргумента t в обоих случаях один и тот же t— двойная площадь фигуры, ограниченной осью Ох, радиусом-вектором точки (eos i, sin t) или ( h t, sh i) и Другой соответствующей кривой (в случае тригонометрических функций — окружности х + у = 1, в случае гиперболических — гиперболы = 1). [c.495]

Решение этой задачи в двойных тригонометрических рядах было получено В, И. Блохом [4.2, 4.3, 4.5, 4.6]. Решение в рядах по некоторым комбинациям гиперболических функций дано В, Мюллером в работах [4.25—4.27], Решение в виде (4.66) выгодно отличается от всех предыдущих тем, что оно выражено через аналитические функции, позволяющие выделить особенности для усилий н моментов в точках приложения сосредоточенных усилий. [c.137]

В соответствии со сказанным целесообразно дополнительную функцию F разыскивать из системы (2.5) в виде двойного тригонометрического ряда. [c.195]

Определение функций W, удовлетворяюш,их уравнению (6.5) и граничным условиям, представляет собой сложную математическую задачу. Часто решение ведут,- представляя функцию прогибов, а также внешнюю нагрузку и неизвестные усилия X, и в разрезах многопролетной плиты в двойных тригонометрических рядах. [c.137]

Тригонометрические функции двух углов, двойного и половинного углов [c.63]

При исследовании динамики МСУ особое значение приобретает рациональная запись уравнений. Иногда запись системы уравнений получается настолько сложной и громоздкой, что решение ее даже на ЭЦВМ не всегда оказывается возможным, если не использовать специальные приемы, способствующие ускорению вычислений. Большая трудоемкость исследования МСУ даже с помощью ЭЦВМ объясняется, во-первых, сложными выражениями МПЗ, которые представляют собой двойные ряды от тригонометрических функций [см. (2. 17) — (2. 19)] во-вторых, необходимостью учета в уравнениях всех возмущающих факторов вследствие сравнительно небольшой величины управляющих моментов в-третьих, невысокой точностью описания слабых возмущений и таких моментов, как моменты МИЭ или моменты от вихревых токов в корпусе КА при его вращении относительно МПЗ, поскольку это вынуждает просчитывать целый ряд вариантов задачи. Все это приводит к тому, что время расчета задачи на ЭЦВМ может оказаться во много раз больше продолжительности реального процесса. [c.93]

Зная числовое значение тангенса двойного угла, находим угол поворота осей и необходимые для вычислений тригонометрические функции [c.75]

Общий случай загружения. Разлон им заданную функцию нагрузки q х, у) в двойной тригонометрический ряд (рис. 6.27, а) [c.170]

Первое и второе слагаемые правой части (11.214) являются членами разложения текущего размера в двойной тригонометрический ряд, а остальные члены разложения этого ряда несущественны для рассматриваемой модели. Как видим, формула (11.214) выражает одновременно наличие аддитивнык и мультипликативных погрешностей деталей. Методика построения формул суммирования погрешностей размеров и формы в поперечном и продольном сечениях цилиндрических деталей, заданных случайной функцией (11.214), остается той же, что в случае модели (11.205). [c.435]

При решении задачи с помощью метода Рэлея—Ритца движение системы будем считать периодическим с круговой частотой со. Для граничных условий типа шарнирного опирания функции, аппроксимирующие распределение перемещений (5.71), разложим в двойные тригонометрические ряды по координатам х, у [c.229]

В теории ребристых оболочек широко применяется также метод непосредственного интегрирования уравнений ребристой оболочки обычно с помощью двой- " ных и одинарнйх тригонометрических рядов. Так как коэффициенты уравнений в местах присоединения ребер терпят разрыв, переменные не разделяются. Использование двойных рядов приводит к бесконечной системе алгебраических урав- яений, а одинарных в направлении, нормальном к осям ребер, к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. При использовании разложения в окружном направлении для оболочек со шпангоутами или в продольном направлении для оболочек со стрингерами переменные разделяются, поэтому здесь дело обстоит проще. Получается система обыкновенных дифференциаль- ных уравнений восьмого порядка со слагаемыми в виде дельта-функций. Перенося эти слагаемые в правую часть, можно представить частное решение с помо- -щью формулы Кошн в виде интегралов с переменным верхним пределом. Процесс дальнейшего решения становится рекуррентным и сводится к последова- I тельному решению систем восьми алгебраических уравнений. Число таких решений равно числу ребер плюс одно решение. Указанный метод использовал Н. И. Карпов [40] при расчете круговой цилиндрической оболочки с продольны- ми ребрами, а также П. А. Жилии [24] при анализе осесимметричной задачи для круговой цилиндрической оболочки со шпангоутами. При использовании формулы Коши необходимо знать систему нормальных фундаментальных функций (ядро Коши). Метод определения ядра Коши для линейных дифференциальных уравнений е переменными коэффйциеитами развит в книге И. А. Биргера [4]. Он осно- г -ван на решении так называемых нормальных интегральных уравнений (аналоги уравнений Вольтерра). В указанной книге дан также ряд приложений теории нормальных интегральных уравнений. [c.324]

Для решения уравнений технической теории оболочек, как моментной, так и безмоментной, успешно использовались методы Навье (двойных тригонометрических рядов), Бубнова — Галеркина, Ритца, кол локаций, конечных разностей и др. В монографии Власова кроме них излагается метод расчета осесимметричных безмоментных оболочек на сосредоточенные нагрузки с помощью теории функций комплексного переменного. Ряд практически важных задач для осесимметричных оболочек исследовал В. Флюгге [c.257]

Для вычисления двойных интегралов по соотношениям (9) и (11) используем квадратурные формулы Гаусса для каждого треугольного элемента. Точность квадратур Гаусса для рядов Фурье зависит от количества точек Гаусса и размера треугольного элемента. Для площади, разбитой, как показано на рис. 1, точность вычислений определялась для различных размеров элементов при использовании 3 или 7 точек интегрирования и для следующих тригонометрических функций, которые обычно появляются при интегрировании ebfpa- [c.220]

В работе Морлэнда [76] в рамках плоского напряженного состояния рассмотрена задача о качении жесткого цилиндра с постоянной скоростью по однородному изотропному вязкоупругому полупространству. Скорость качения полагалась достаточно малой, так что инерционные эффекты не учитывались кроме того, касательные силы на поверхности контакта считались отсутствующими и, таким образом, контактная деформация была обусловлена лишь распределением нормального давления. Длина линии контакта полагалась малой по сравнению с диаметром движущегося цилиндра. Выведены интегральные выражения для перемещений и напряжений в вязкоупругом полупространстве. Математически задача свелась к совместному решению двух пар двойных интегральных уравнений относительно некоторых вспомогательных функций с ядрами, содержащими косинус и синус. Решение этих уравнений осуществлялось путем разложения искомых вспомогательных функций в бесконечные ряды по функциям Бесселя, в то время как для определения коэффициентов ряда требовалось решить бесконечную систему алгебраических уравнений. Если использована связь искомой функции контактного давления с найденными вспомогательными функциями и учтено, что распределение давления не имеет особенностей на краях контактной зоны, то окончательный вид распределения контактного давления представим тригонометрическими рядами. Полученные теоретические результаты проиллюстрированы числовым примером, когда реологические свойства полупространства характеризуются одним временем ретордации. Расчеты дают картину несимметричного распределения нормального давления, являющегося следствием влияния фактора времени. [c.402]

С учетом (5.13) и (5.14), легко представить бигармоииче-скую функцию (5.5) в виде двойного тригонометрического ряда. Имеем [c.205]

Для определения коэффициентов А гпп и Вхтп необходимо выражения Ш1 и ф1 подставить в уравнения (7. 11). Прежде чем это сделать, разложим внешнюю действующую нагрузку также в двойные тригонометрические ряды по искомым функциям. В нашем случае внешняя нагрузка представляется в виде сосредоточенного момента, что статически эквивалентно паре сил [c.171]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...