Интегралы уравнений Лагранжа. Теорема Э. Нётер

Проблема точного интегрирования уравнений динамики — одна из самых популярных тем исследования, начиная со знаменитых Математических начал натуральной философии Ньютона. Руководящей идеей в этом круге вопросов является общая идея симметрии. При решении задачи о центральном движении Ньютон уже использовал соображения симметрии факторизуя орбиты группы вращений, он свел эту задачу к изучению движения по прямой в потенциальном поле. Впоследствии Лагранж и Якоби заметили, что классические интегралы задачи многих гравитирующих тел связаны с инвариантностью уравнений движения относительно группы преобразований Галилея. Это фундаментальное наблюдение обобщено Эмми Нётер каждой группе преобразований, сохраняющих действие по Гамильтону, отвечает интеграл уравнений движения. Верно и обратное фазовый поток уравнений Гамильтона, в которых гамильтонианом служит известный интеграл, переводит решения исходных уравнений движения в решения тех же уравнений. На этой идее основано доказательство известной теоремы Лиувилля о полной интегрируемости уравнений Гамильтона фазовые потоки инволютивных интегралов попарно коммутируют и порождают абелеву группу симметрий максимально возможной размерности на многообразиях их совместных уровней. [c.6]

Теорема Нётер. Если система М, Ь) допускает однопараметрическую группу диффеоморфизмов Н М М, 5 е К, к = Е, то соответстеующа.4 Ь система уравнений Лагранжа имеет первый интеграл Г. ГМ- -К. [c.81]

Теорема Нётер. Каждому бесконечно малому преобразованию, сохраняющему неизменной функцию Лагранжа, отвечает интеграл уравнений движения. [c.237]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...