ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Интегралы уравнений Лагранжа. Теорема Э. Нётер из "Теоретическая механика " Свойства той модели реального физического пространства, которую использует механика (однородность и изотропность), а также однородность времени, с наибольшей отчетливостью обнаруживаются на примере замкнутой (изолированной) системы материальных точек (гл. ТП, 4). Однородность пространства приводит к сохранению импульса системы, изотропность — к сохранению кинетического момента однородность времени связана с сохранением энергии. Свойства, присущие пространству и времени, позволяют совершать такие преобразования координат и времени, при которых сохраняют свои значения — остаются инвариантными — основные меры движения. [c.237] Докажем теорему Нётер применительно к механическим системам с конечным числом степеней свободы. [c.237] Теорема Нётер. Каждому бесконечно малому преобразованию, сохраняющему неизменной функцию Лагранжа, отвечает интеграл уравнений движения. [c.237] Мы видим, что инвариантность функции Лагранжа при варьировании циклической координаты связана с сохранением соответствующего обобщенного импульса инвариантность при варьировании времени —с сохранением обобщенной энергии. Таким образом, показано, что инвариантность функции Лагранжа относительно некоторого преобразования переменных есть достаточное условие существования интеграла уравнений Лагранжа 2-го рода. [c.238] Относительно так называемых бесконечно малых преобразований переменных заметим, что термин бесконечно малые нельзя понимать буквально как исчезающе малые . Координатам, их производным по времени и самому времени при таком преобразовании даются приращения, достаточно малые для того, чтобы можно было сохранять только главные линейные части приращений всех функций от этих переменных. Это последнее обстоятельство определяется точностью постановки и решения задачи. Важно, что преобразование переменных допустимо в любой момент времени из рассматриваемого конечного интервала. [c.239] Вернуться к основной статье