Двумерная задача Дирихле

Задача (2.14) применительно к основанию в виде обычного полупространства (в этом случае h t) = Ki, t ), где Ko z)—функция Макдональда) впервые была решена В. Л. Рвачевым [86, 87. Этому автору удалось получить [86] точное решение соответствующего интегрального уравнения (2.17) в виде ряда по функции Матье. Для этого он свел решение упомянутого уравнения к двумерной задаче Дирихле для уравнення Гельмгольца, заданного вне отрезка. [c.291]

В главе 5 рассматриваются реализации многосеточных алгоритмов для эллиптических уравнений второго порядка. Сначала на примере двумерной задачи Дирихле проведено сопоставление различных вариантов алгоритмов и среди них выбраны оптимальные по числу затрачиваемых арифметических операций. Рассуждения проиллюстрированы численными экспериментами. [c.12]

Сначала в 5.1 на примере двумерной задачи Дирихле на выпуклом многоугольнике рассматриваются некоторые модификации этих алгоритмов и проговодится подсчет и оптимизация числа арифметических операций для достижения заданной точности. [c.196]

В зтом параграфе рассматривается двумерная задача Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка. Для дискретизации задачи применяется метод Бубнова - Гаиёркина с кусочно-линейными базисными фушсциям на треугольниках, как и в 3.5. Для приближенного, решения получающейся системь линейных алгебраических уравнений используются алгоритмы, построенные в 4.2,4.3. Они дают приближенное решение исходной дифференциальной задачи с точностью 0(А ) в норме 2 (О) и О (А) в энергетической норме 3 0(N) арифметических операций, где А -характерный линейный размер сетки, nN— число ее узлов. [c.197]

Продолжая рассмотрение двумерной задачи Дирихле (дм. 5.1), на этот раз мы остановимся на изучении области с криволинейной границей. Предположим, что ша состоит из нескольких кусков кривых класса. [c.212]

Продолжая изучение двумерной задачи Дирихле, рассмотрим ситуацию, когда у области 12 имеются внутренние углы больше тг. Их присутствие приводит к снижению гладкости решения дифференциальной задачи, которое, вообще, говоря, не будет принадлежать IV (12). Поэтому использование обычной технологии при триангуляции и построении систем дает меньший порядок точности приближенного решения [66, с. 265]. [c.219]

Метод Шварца [34, 63, 65] является эффективным методом решения краевых задач для линейных дифференциальных уравнений в частных производных. Этот метод называется также альтернирующим ). Метод Шварца первоначально был разработан для решения задачи Дирихле для двумерного уравнения Лапласа, но может быть применен и к решению краевых задач для других дифференциальных уравнений и систем, в частности, к решению плоских статических задач линейной теории упругости. Этот метод позволяет найти решение краевой задачи для некоторой области, если эта область представляет собой пересечение или объединение нескольких областей, для каждой из которых эта краевая задача может быть сравнительно просто решена. [c.231]

Таким образом, можно записать ГИУ и в том случае, когда область ограничена несколькими поверхностями 5о, Si,. ... .., Sk или тело кусочно однородно (см., например, [1—3]). Если известна функция Грина краевой задачи типа Дирихле или Неймана для области, внешней по отношению к поверхности 5j (пусть 5] — внутренняя граница), и в исходной краевой задаче на Si заданы нулевые условия, то, используя при выводе ГИУ не фундаментальное решение дифференциальных уравнений (как обычно делается), а функцию Грина, можно получить ГИУ, в котором интегралы по Si отсутствуют. Именно так в [4] преобразовано ГИУ двумерной задачи теории упругости для тела с трещиной. [c.183]

В случае граничных условий Дирихле иа границе 5 задаются значения зависимой переменной. Так, например, в двумерной задаче с зависимой переменной ф соотиошеине [c.95]

Расчетная область эталонной двумерной задачи представлена на рис. 3.17. Пусть сначала на всех границах заданы условия Дирихле. По аналогии с одномерным случаем, когда мы выбирали одно-единственное предварительное значение фз, теперь выберем вектор предварительных значений 115 где / пробегает все целочисленные значения от / = 2 до г = /— 1. Этот вектор 115 2, определенный на точках, расположенных непосредственно над границей В 1 на рис. 3.17, отличается от истинного значения ф,-, 2 на вектор единичной ошибки 2, т. е. [c.196]

Шапиро и О Брайен [1970] сравнили результаты расчетов двумерной метеорологической задачи при применении этого способа с результатами, полученными в достаточно большой расчетной области при фиксированных значениях на выходной границе (задача Дирихле). Хотя можно было ожидать, что последний способ даст более точные результаты, в действительности этого не произошло на достаточно больших временах при расчете 1 возникали пилообразные осцилляции (см. также Варапаев [1969]). Такие осцилляции в решении представляют собой обычное явление, которое рассматривается в следующем разделе. [c.247]

В каждом случае рассматривается двумерное уравнение второго порядка, скажем уравнение Пуассона —Аы = /. Большей частью оно берется для удобства и простоты описания для нескольких неизвестных и трехмерного пространства изменения незначительны. Для чистой задачи Дирихле или Неймана высокого порядка, например для пластины с закрепленными или [c.226]

Затем излагаются реализации итерационных алгоритмов для краевой задачи с особенностью в угле области и при локальном сгущении триангуляции, для трехмерной задачи Дирихле, для второй и третьей краевых задач. Из)Д1ение трехмерной задачи, по существу, демонстрирует непринципиальное отличие от двумерного случая как в реализации многосеточных алгоритмов, так и в их обосновании и оценке эффективности. [c.12]

В 5.5 рассмотрена реализация предложенных алгоритмов для трехмерной задачи Дирихле. В сущности, цель этого параграфа состоит в том, чтобы убедиться в неприн-ципиалыюм различии в реализации, обосновании эффективности и сходимости между двумерными и трехмерными задачами. [c.196]

Расчетная область эталонной двумерной задачи представлена на рис. 3.17. Пусть сначала на всех границах заданы условия Дирихле. По аналогии с одномерным случаем, когда мы выбирали одно-единственное предварительное значение г]), теперь выберем вектор предварительных значений где [c.196]

Среду мы будем для определенности считать мембраной (в этом случае область В двумерна, а отклонение и одномерно). Кинетическая энергия задает евклидову структуру в конфигурационном пространстве задачи (т. е. в пространстве функций й). Потенциальная энергия дается интегралом Дирихле [c.399]

Учитывая большое число монографий по методу конечных элементов, традиционные математические основы этого метода мы изложим кратко. Подробнее рассмотрены актуальные технические вопросы, которые в книгах освещены слабее способы триангуляции двумерных и трехмерных областей, экономичные кубатурные формулы и использование смешанного метода как систематического аппарата для замены обременительных главных условий в базисных подпространствах на естественные условия. Такая замена, например, позволяет упростить работу с неоднородными краевыми условиями Дирихле, свести бигармоннческое уравнение к системе уравнений второго порядка, снять весьма неудобное требование соленоидальности базисных функций в задачах Стокса и Навье - Стокса. [c.7]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...