Решение внешней задачи Дирихле

Аналогичное явление известно в электростатике. Решение внешней задачи Дирихле, к которой сводится разыскание поля [c.186]

Внутренняя задача о распространении гармонической волны имеет единственное решение, если со не является одним из собственных значений системы. Существуют, однако, родственные трудности в случае соответствующей внешней граничной задачи, что выражено уравнением (10.77), хотя оно, конечно, удовлетворяет обычным условиям регулярности, а также условиям излучения на бесконечности. Имеется бесконечная последовательность значений со, совпадающих с соответствующими резонансными волновыми числами или собственными значениями соответствующей внутренней задачи, при которых это уравнение имеет множество решений. Поэтому решение внешних задач Дирихле или Неймана не будет иметь успеха при волновых числах, отвечающих собственным значениям внутренних задач Неймана и Дирихле соответственно. Это не физическая трудность, присущая внешней задаче, так как для йнешних задач не существует собственных значений трудность неединственности полностью обусловлена формулировкой задачи через граничные интегралы. Подробное обсуждение возникающих здесь трудностей можно найти в работах [5, 10, 21, 23, 24, 55—57], где для преодоления этих трудностей предложены модификации как прямого, так и непрямого методов. [c.299]

Если Я = 0 — собственное значение оператора А, а целью является приближенное решение внешней задачи Дирихле, то можно поступить следующим образом. Заменим область на V E , где Яе —шар малого радиуса, лежащий внутри V , и подчиним решение условию ди/дг- - и = 0 на его внешней поверхности Sj с р = onst, ImP<0. Можно проверить, что модифицированная таким образом задача (36.1) — (36.3) с Я = 0 однозначно разрешима и эквивалентна интегральному уравнению Лф = , в котором А уже не имеет собственного значения 0. Ядро оператора А имеет вид G x, у) а у), где G (х, i) — функция Грина для уравнения Гельмгольца в дополнении к E с указанным выше условием на Sg и условием излучения на бесконечности. Функция G(x, y) — G x — y) принадлежит С°° при х, у (см. [3], гл. III), так что А —А—бесконечно сглаживающий оператор. Поэтому для А сохраняются теоремы 1 и 3 и их следствия. Функцию G x, у) можно выписать в явном виде (см. [67]). [c.358]

Точно так же из решения внешней задачи Дирихле определим другую гармоническую функцию (л х, у, z), обращающуюся в нуль на [c.257]

Действительно, написанное выражение представляет гармоническую функцию внутри эллипсоида s = принимающую на поверхности этого эллипсоида заданные значения (3.30). Для решения внешней задачи Дирихле надо определить второе частное решение уравнения (3.35), обращающееся в нуль при 5- со. Это решение, назовём его q.2k(s), будет [ср. (3.21)] [c.265]

Решение внешней задачи Дирихле, принимающее при 5 = 50 значение (3.30), теперь может быть записано в виде [c.266]

Так как, с другой стороны, на бесконечности К(л ) = 0, то по теореме единственности решения внешней задачи Дирихле, имеем К(л ) = 0 при х В — В. Отсюда следует равенство нулю во всей области гармоничности, и следовательно, [c.398]

Решение внешней задачи Дирихле. Когда гармоническая функция по граничным значениям ищется в области В (внешняя задача), вспомогательную поверхность следует взять внутри [c.403]

Из существования конечной кинетической энергии следует, что приведенные выше доказательства о единственности однозначных решений внутренних задач Дирихле, Неймана и смешанной при наличии условия (12.17) автоматически распространяются на случай внешних задач. [c.173]

Теперь, составив решения a>i x, у, z ро), <Ле х, у, z ро) внутренней и внешней задач Дирихле при этих заданиях на поверхности эллипсоида р = ро, придем к функции [c.312]

Установлено, в частности, что уравнения типа (1.5), (1.6) не всегда имеют решение в случае внутренней задачи Неймана и внешней задачи Дирихле. Для Внутренней задачи Неймана дополнительные условия, гарантирующие разрешимость ИУ, сводятся к естественным требованиям, накладываемым [c.186]

Задача отыскания решения уравнения Лапласа по заданному значению функции на границе называется задачей Дирихле. Для внешней задачи Дирихле условия имеют вид (3.13). [c.133]

Решения первого класса обозначим и достаточно рассмотреть только первое (о) ), так как второе (to") получится простой заменой os ср на sin 9. Следует, конечно, различать функции ш и U), дающие решения внутренней и внешней задач Дирихле для Эллипсоида s = Sq. [c.261]

Мы получили интегральное уравнение внешней задачи Дирихле однородное уравнение, как известно, имеет единственное нетривиальное решение и потенциал простого слоя с плотностью ф(у), равной решению союзного однородного уравнения, есть постоянная в Поэтому условие разрешимости неоднородного уравнения [c.408]

Значительное место в его творчестве занимают вопросы теории ньютоновского потенциала, разработанные им в строго классическом направлении. Отправляясь от фундаментальных работ А. М. Ляпунова, относящихся к проблеме фигур равновесия, Леонид Николаевич живо и оригинально строит решение граничных задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа. В .предположении постоянной плотности он доказывает известную теорему П. С. Новикова по обратной задаче ньютоновского потенциала, а также исследует вопрос об аналитическом продолжении функций, представимых потенциалами. Эти результаты нашли освещение в опубликованной в 1946 г. монографии Теория ньютоновского потенциала , к которой примыкают две другие работы Об одной обратной задаче теории потенциала (1938 г.) и О единственности определения формы притягивающего тела по значениям его внешнего потенциала (1954 г.). Интерес Леонида Николаевича к этим вопросам не ослабевал до последнего времени ( К теории сфероида Лапласа , 1968 г.). [c.10]

Внешняя и внутренняя задачи Дирихле разрешимы единственным образом. Действительно, в противном случае существовало бы решение, удовлетворяющее нулевым краевым уело- [c.98]

Решение уравнения Лапласа в некоторой области определяется заданием значений функции ф на поверхности 2, ограничивающей область 25. Задача об отыскании гармонической в области 25 функции по ее значениям на границе области 25 называется задачей Дирихле. Эта задача в односвязной области, вообще говоря, всегда имеет однозначное единственное решение. Поэтому движение жидкости и импульс давления внутри области полностью определяются, если на границе заданы значения внешнего импульса давления = — рф. [c.155]

Таким образом получается полное решение внешней и внутренней задач Дирихле для сферы с помощью формулы (12.21), в которой функции ф], или Ф1 определены формулами (12.57) и (12.58). [c.180]

VI. 5. Внешняя и внутренняя задачи Дирихле для сжатого эллипсоида (сфероида). Сравнение форм частных решений уравнений Лапласа (VI. 1.3) и (VI. 1.8) для сферы и для сфероида показывает, что задание искомой гармонической функции на поверхности эллипсоида s = So можно также мыслить представлением в форме рядя (VI. 4.1) но в этом случае приходится разбить на отдельные слагаемые каждый член этого ряда [c.901]

Последующими преобразованиями добиваются разделения решения по каждой из взаимно независящих ве- [ичин X и 0 с тем, чтобы получить обобщенное решение. Рассмотрим следующий пример. Требуется рассчи-ать тепловой режим бесконечной пластины толщиной 6 заданным исходным распределением температуры по элщине <р(лс). На внешней и внутренней сторонах платы поддерживают постоянную температуру, равную, ример, нулю (задача Дирихле). [c.27]

В разд. 1 уже отмечались трудности использования СИУ типа (1.5), (1.6) для решения внутренней задачи типа Неймана и внешней задачи типа Дирихле. В полной мере они проявляются и при попытках применить метод последовательных приближений [53]. Некоторые возможности преодоления этих трудностей обсуждаются в [53]. [c.199]

В работах [31, 32] задача с трением и сцеплением сводится к комбинированной задаче Дирихле-Римана Ьп Ф (0 = + хФ ( ) = 5f( ), где g(t) определяются через граничные перемещения и напряжения. Данный подход позволяет рассматривать взаимодействие с упругой полуплоскостью системы произвольно нагруженных штампов при условии, что касательное контактное напряжение на участках проскальзывания задано. Получены необходимые и достаточные условия, при которых решение имеет механический смысл. Эти условия имеют вид неравенств с параметром к = 0,1,2,..связывающих размеры участков сцепления и проскальзывания с условиями внешнего нагружения. [c.247]

Заметим, что в некоторых случаях решение указанных выше задач Дирихле или Неймана можно не производить. Например, если возбуждение внешнее и нас интересует только поле вне тела, то искать U+ не надо, так как с помощью формулы Грина (2.8) эта функция может быть исключена из выражений для амплитуд. [c.113]

Эффективное проведение этого хода вычисления связано с возможностью указать криволинейную координатную систему, в числе замкнутых координатных поверхностей 5 которой имеется вырожденная поверхность — плоская область 2, снабжаемая верхней и нижней сторонами. Необходимо также располагать возможностью построения решений внешней и внутренней задачи Дирихле для поверх- [c.258]

Это выражение даёт решение задачи о равновесии упругой сплошной сферы, находящейся под действием уравновешенной системы внешних сил. Гармонический вектор П , через который выражено перемещение и, определяется из решения задачи Дирихле для сферы по известному на поверхности сферы значению этого [c.455]

Численный пример. Задача Дирихле для двусвязной области. Ищется гармоническая в кольце В, функция, принимающая на внутренней окружности радиуса Я (5)) = 1 нулевые значения, а на внешней окружности 2 радиуса к (З2) = 2 — значение 1п 2. Точное решение, как нетрудно проверить, есть 1пл(. о, х), где — [c.378]

Таким образом, можно записать ГИУ и в том случае, когда область ограничена несколькими поверхностями 5о, Si,. ... .., Sk или тело кусочно однородно (см., например, [1—3]). Если известна функция Грина краевой задачи типа Дирихле или Неймана для области, внешней по отношению к поверхности 5j (пусть 5] — внутренняя граница), и в исходной краевой задаче на Si заданы нулевые условия, то, используя при выводе ГИУ не фундаментальное решение дифференциальных уравнений (как обычно делается), а функцию Грина, можно получить ГИУ, в котором интегралы по Si отсутствуют. Именно так в [4] преобразовано ГИУ двумерной задачи теории упругости для тела с трещиной. [c.183]

Смотреть страницы где упоминается термин Решение внешней задачи Дирихле : [c.313] [c.405] [c.102] [c.113] [c.182] [c.187] [c.534] [c.161] [c.635]

Смотреть главы в:

Методы потенциала в теории упругости -> Решение внешней задачи Дирихле

ПОИСК

Дирихле

Дирихле задачи

Задача внешняя

Решение задачи внешней Дирихле для многосвязной области

Решение задачи внешней второй [задача (Га) Дирихле

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...