Уравнение движения для первой массы при s-м колебании

В процессе колебания на массу в качестве внешних сил действуют сила jA i натяжения внешней пружины и сила (х — Xi) натяжения второй пружины. Силами сопротивления пренебрегаем. Тогда, пользуясь принципом Д Аламбера, уравнение движения первой массы [c.553]

Пример 168. Динамический гаситель колебаний (рис, 465). Груз массы Оть присоединенный к неподвижному основанию с помощью пружины с жесткостью Сь находится под действием синусоидальной возмущающей силь Q = Я sin pt. К этому грузу присоединен второй груз массы гпг. Жесткость пружины, соединяющей грузы между собой, равна с . Покажем, что при наД лежащем подборе величин /Пз и сг вынужденные колебания первого груза, обусловленные действием на него возмущающей силы, могут быть уничтожены Дифференциальные уравнения движения системы имеют вид [c.587]

Рассмотрим задачу колебаний приведенной массы М = Pig, подвешенной на невесомой нити, и массы M = Pjg, которая создает натяжение нити. Для решения задачи удобно воспользоваться дифференциальным уравнением движения материальной точки в направлении оси у (уравнением Лагранжа первого рода) в форме [c.50]

Уравнения движения можно составлять, отделяя мысленно элементы одного типа от элементов другого и рассматривая состояние элементов лишь одного из типов. Соответственно сказанному мыслимы два пути получения уравнений движения (колебаний) системы. В первом из них рассматриваются элементы, обладающие инерционными свойствами (массы), а действие на них упругих элементов заменяется упругими или, иначе, восстанавливающими силами (рис. 17.38,6). Во втором пути рассматриваются упругие элементы, а действие на них со стороны [c.85]

Рассмотренный простой пример примечателен тем, что п нем аналитическое решение удалось довести до конца. К сожалению, ато можно сделать лишь в немногих случаях. Часто задачи оптимизации оказываются аналитически неразрешимыми даже в аналогичных простых постановках. Так, при определении максимальной первой собственной частоты изгибных колебаний стержня заданной массы М,,, заделанного на одном конце и свободного на другом, уравнения движения и оптимальности имеют вид [356] [c.264]

УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ ПЕРВОЙ МАССЫ ПРИ s-m КОЛЕБАНИИ [c.100]

Рассмотрим колебания твердого тела, находящегося в потенциальном поле сил (гравитационном поле Земли, поле упругих сил и т. д.). Положение твердого тела при его колебаниях относительно положения равновесия будем определять шестью обобщенными координатами , т), б, ф, ф, первые три из которых являются координатами центра масс тела, а остальные — углами Эйлера, выбранными по одному из известных способов. В рассматриваемой задаче будем считать, что перемещения т), и углы б, г[), ф не малые, но такие, что в уравнениях движения твердых тел с приемлемой точностью могут быть сохранены только члены не выше третьего порядка относительно координат и их производных. [c.264]

В случае малых колебаний лагранжевы методы предыдущих параграфов приводят к выводу о наличии присоединенной массы, из-за чего удлиняется период свободных колебаний, но затухания колебаний они не дают. Первое теоретическое исследование затухания свободных колебаний, вызванного вязкостью, было выполнено Стоксом в 1850 г. При этом Стокс пренебрегал конвекцией, что обосновано в случае достаточно малых колебаний, и линеаризовал уравнения движения. Вследствие этой линеаризации он получил логарифмический декремент определяемый как логарифм отношения амплитуд последовательных колебаний), который не зависит от амплитуды. Мы кратко изложим схему вычислений. [c.228]

При выводе прямой и обратной форм дифференциальных уравнений колебаний упругих систем используются две различные отправные позиции. В обоих случаях предполагается мысленное расчленение системы путём отделения обладающих массой грузов от упругого скелета системы. В первом случае записываются законы движения грузов, а во втором случае — зависимости, определяющие движение безмассово-го упругого скелета соответственно первый путь приводит к прямой форме уравнений движения, а второй путь — к обратной форме этих уравнений [83]. Прямая форма уравнений получается, если кинетическая энергия имеет вид суммы квадратов, а обратная — если суммой квадратов является потенциальная энергия. Эти два случая иллюстрируют схемы упругой балки с грузами в виде точечных масс, к которым приложены заданные силы (рисунки 4.1, 4.2). На рис. 4.2 к упругому [c.40]

Для оценки виброустойчивости станков используют экспериментальные и аналитические методы. Первые на стадии проектирования станков реализовать невозможно. Поэтому для расчета динамической системы аналитическим методом выбирают параметры из условия устойчивости систем на основе анализа дифференциальных уравнений движения. Для их составления создают расчетную схему. Последнюю представляют в виде механической модели, состоящей из отдельных сосредоточенных масс, соединенных упругими связями. При этом предполагают, что деформация станка происходит, главным образом, в его стыках и соединениях. Упругую систему рукавных станков для полирования и щлифования облицовочного камня с некоторыми допущениями можно принять плоской (рис. 1). Подобный подход обусловлен тем, что угловые колебания рукавов относительно оси у практически не влияют на качество обрабатываемой поверхности. Начало координат располагают в центрах тяжести каждой массы ( i и Сг). Обобщенными координатами будут относительные перемещения масс, отсчитываемые от начала координат, и углы поворота масс относительно центров тяжести. По данной колебательной модели составляют уравнения движения [c.304]

Пример 3. Вновь возвращаясь к показанной на рис. 4.2, а системе, предположим, что заданы такие же значения масс и длин, как и в примере 3 предыдущего параграфа. Предположим также, что в середине пролета между первой и второй массами к тросу приложена действующая в направлении х возмущающая сила в виде гармонической функции Р sin Ш. Требуется определить результирующие установившиеся вынужденные колебания этой системы, применяя как подход, основанный на уравнении движения в усилиях, так и метод, использующий уравнения движения в перемещениях. [c.276]

Однако в самом общем случае коэффициенты влияния демпфирования таковы, что матрица демпфирования не может быть приведена к диагональному виду одновременно с матрицами масс и жесткостей. Как было показано в п. 3.7, собственные формы колебаний системы имеют такие соотношения между собой, которые трудно поддаются анализу. Собственные значения для подобного рода систем являются либо действительными и отрицательными, либо комплексными с отрицательными действительными частями чисел. Комплексные собственные значения являются комплексно сопряженными числами [см. выражения (3.42а) и (3.42в) ], а соответствующие им собственные векторы также являются комплексно сопряженными. Для исследования систем со значительным демпфированием, где обусловленные влиянием сил сопротивления мнимые части имеют большую величину, можно воспользоваться подходом, описанным в статье К. Фосса . Этот подход состоит в преобразовании системы п уравнений движения второго порядка в систему 2п несвязанных уравнений первого порядка. [c.305]

Обладая такой информацией, можно более подробно изучить поведение жидкой массы за критической фигурой Якоби. Если свободная поверхность получает смещение включающее гармонические функции третьего порядка), и если допустить, что любое общее (внешнее, Б. К.) физическое возмущение содержит подобные же члены, то амплитуды вне зависимости от трения начнут возрастать экспоненциально со временем. Эта система больше не сможет совершать колебания около равновесной формы, т. к. устойчивости нет, и вместо колебаний будет происходить динамическое движение до тех пор, пока система не достигнет нового устойчивого состояния. Уравнения движения системы в первом приближении позволяют проследить её развитие только до тех пор, пока скорости и смещения остаются малыми. Большего линейные уравнения дать не могут. По так или иначе, в конечном счёте система должна достигнуть какого-то другого устойчивого состояния, в котором не происходит дальнейшего рассеивания энергии. П тут возникает интересный вопрос какой будет конечная конфигурация. К сожалению, с помощью доступных точных методов детально этот вопрос исследовать невозможно. По вполне может быть, как раньше и предполагалось, что конечным результатом будет деление первоначальной [c.19]

Мы рассмотрим движение тела малой массы в сильно сопротивляющейся среде под действием пружины (этот случай представляет наибольший интерес для рассмотрения в дальнейшем так называемых разрывных колебаний). Дополнительно к тем предположениям, которые мы делали при постановке задачи о линейном осцилляторе с трением, мы пренебрежем массой движущегося тела. Тогда уравнение движения запишется в виде дифференциального уравнения первого порядка [c.69]

Составить дифференциальное уравнение малых колебаний тяжелой точки А, находящейся на конце стержня, закрепленного шарнирно в точке О, считая силу сопротивления среды пропорциональной первой степени скорости с коэффициентом пропорциональности а, и определить частоту затухающих колебаний, Еес точки А равен Р, коэффициент жесткости пружины с, длина стержня , расстояние ОВ = Ь. Массой стержня пренебречь. В положении равновесия стержень горизонтален. При каком значении коэффициента а движение будет апериодическим [c.251]

Как показывают характеристики на рис. 8.19, свободным колебаниям виброударной системы свойственна неоднозначность решений. Одним и тем же значениям параметров системы и возму-ш,ения соответствуют два различных режима свободных колебаний системы и соответственно два различных значения величины О). На рис. 8.19 в качестве примера отмечены две точки а и б, для которых = 1, а = 0,75. На рис. 8.20, а и б построены соответствуюш,ие законы движения обеих частей системы. Согласно третьему уравнению (8.38) величинам > 1 всегда соответствует значение Хс > О, величинам < 1 соответствует Хс < 0. Другими словами, в первом случае массы mi и m2 в моменты соударений смеш,ены в одну и ту же сторону от среднего положения, во втором случае в разные стороны. [c.297]

Более сложные модели виброперемещения. В качестве примеров более сложных моделей процессов виброперемещения рассмотрим системы соответственно с двумя и тремя степенями свободы, схемы которых и уравнения движения приведены в пп 8 и 9 таблицы. Первая система (п. 8) представляет собой гело, рассматриваемое в виде материальной точки, которое движется по шероховатой наклонной плоскостн. совершающей гармонические колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях [4, 8]. Приняты следующие обозначения т — масса тела g — ускорение свободного падения а — угол наклона плоскости к горизонту Т и Q — соответственно продольная и поперечная постоянные силы, действующие на тело F — сила сухого трения N — нормальная реакция А и В — амплитуды продольной и поперечной составляющих колебаний плоскости е — сдвиг фаз (О — частота колебаний / н — соответственно коэффициенты трення скольжения и покоя и Л — соответственно коэффициенты восстановления и мгновенного трения при соударении тела с плоскостью [c.256]

Кинетическая энергия изменяется только со скоростью, так как массы остаются неизменными. Но скорости звеньев должны быть согласованы со скоростью технологического процесса или со скоростью того движения, для которого машина предназначена. В том и другом случае может быть предъявлено одно из трёх требований или эта скорость должна быть постоянной и равной наивыгоднейшей скорости, или она должна возрасти за определённый промежуток времени на определённую величину, или она должна за некоторое время снизиться до известной величины. Первое требование в редких случаях может быть удовлетворено тогда мирятся с достаточным к нему приближением, устанавливая периодическое движение с небольшими колебаниями скорости внутри периода, не оказывающими особенно вредного влияния на технологический процесс или перемещение. В этом случае говорят, что машина находится в состоянии устойчивого режима. Периодичность движения заключается, как известно, в том, что за некоторые равные промежутки времени все фазы движения повторяются, так что в конце периода все звенья приходят в то же положение, какое они имели в начале периода, с теми же скоростями и ускорениями. На основании этого /г = /г и = (,, а потому уравнение энергетического баланса напишется так [c.35]

В. Н. Кагпорр и J. С. Fung [1.2181 (1970) исследовали свободные колебания консольных балок Тимошенко переменной толщины. Масса балки принимается сосредоточенной в дискретных точках. Уравнения движения, полученные вариационным путем, записаны в матричной форме. Задача сведена к нахождению собственных значений симметричной матрицы порядка п, где м —число разбиений балки. Построена итерационная схема расчета верхних границ собственных значений. В качестве примера рассчитаны собственные частоты и формы колебаний балки Тимошенко (пять первых частот) и усеченного клина (три первые частоты). Приведены результаты сравнения с известными точными решениями, получено достаточно хорошее совпадение. [c.94]

Выну зденные колебания. Рассмотрим основные закономерности вынужденных установившихся колебаний в системе, изображенной на рис. 3.11, если на левую массу От действует сила E(t) = Е sin Ш. Уравнения движения в этом случае будут отличаться от (3.34) наличием этой силы в правой части первого уравнения [c.57]

Па первом этапе исследований крутильных колебаний полагаем, что трение в системе отсутствует, а все нелинейные элементы системы линеаризованы. Последнее предполагает колебания с малыми амплитудами. Для каждой из масс, изображенных на рис. 3.1, можно записать свое дифференциальное уравнение движения. Если обозначить через ц>а, Ц>в, , фв мгновенные углы поворота масс относительно некоторого начального положения, то произведения Са,в(( а фз) СйлСФз - фО . С вСФс - Фв) будут представлять моменты сил упругости для этих участков, действующие на массы с моментами инерции /а, Jв, соответственно. [c.44]

Здесь сразу следует обратить внимание на то, что стационарные кривые, представляющие зависимость величины квадрата амплитуды колебаний от отношения частот (nlX , не будут одинаковыми для гироскопических роторных систем с постоянной и переменной массой. Это объясняется тем, что в первом случае движение системы описывается дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, а во втором случае—дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами (1). Поэтому в последнем случае фундаментальное уравнение (2а) является уравнением с переменными коэффициентами. G физической точки зрения это означает, что в гироскопической роторной системе с переменной массой, в отличие от такой же системы с постоянной массой, спектр собственных частот зависит не только от угловой скорости вращения, но и переменности массы. Так как в рассматриваемых стационарных режимах проявляется лишь одна собственная частота, а именно первая частота прямой прецессии то для иллюстрации сказанного выше на рис. 8 приводятся зависимости собственной частоты от угловой скорости вращения (О с различными скоростями изменения массы f j при указанных параметрах системы vi к = 200 секГ , е = 1,0 мм. Из кривых на рис. 8 видим, что в рассматриваемой системе по отношению к системе с постоянной массой (к = 0) с ростом со величина падает при увеличении массы и растет при уменьшении массы тем больше, чем больше скорость изменения массы. [c.134]

Отмеченные особенности позволяют рассматривать процесс разгона крана с грузом при повороте в несколько этапов. На каждом этапе кран с грузом можно представлять упрощенной моделью, доступной для аналитического расчета. На первом этапе рассматривается движение крана, обладающего абсолютно жесткой металлоконструкцией, с грузом, совершающим только тангенциальные колебания относительно точки подвеса. На втором этапе рассматриваются колебания масс конструкции крана, описывасдмые вторым и третьим уравнениями системы (474). На третьем этапе определяется амплитуда радиальных колебаний. Для этого рассматриваются два последних уравнения системы (474). [c.340]

Аналогично линейным молекулам, составляющие р , Ру и р колебательного момента количества движения даются уравнениями вида (4,11), где h-—постоянные, зависящие от равновесных расстояний между атомами, от силовых постоянных и от масс. Однако в данном случае могут быть отличными от нуля, если даже i и k относятся к двум составляющим вырожденного колебания. Постоянные С,-, введенные нами выше, как раз и относятся к вырожденному колебанию и дают изменение энергии первого порядка, тогда как все остальные jf дают изменение энергии только второго порядка величины, т. е. приводят к добавлению некототой величины к вращательным постоянным а,. Сильвер и Шефер [790] и Шефер [776, 777] дали явную (но довольно сложную) формулу для , в зависимости от масс, силовых постоянных и междуатомных расстояний для случая плоских и пирамидальных молекул типа ХУ и аксиальных молекул типа XYZs (см. также Ян [468]). [c.433]

Рассмотрим случай камертона, колеблющегося в вакууме. Внутреннее трение со временем остановит движение, и первоначальная энергия превратится в теплоту. Предположим теперь, что камертон перенесен в открытое пространство. Строго говоря, камертон и окружающий его воздух составляют одну систему, различные части которой нельзя трактовать отдельно. Однако при попытке найти точное решение такой сложной задачи нас вообще остановили бы математические трудности поэтому во всяком случае было бы желательно решить ее приближенно. Влияние воздуха в течение нескольких периодов совершенно незначительно и оказывается существенным только в результате накопления. Это побуждает нас рассматривать влияние воздуха как возмущение того движения, которое имело бы место в вакууме. Возмущающая сила является периодической (с тем же приближением, что и сами колебания) и может быть разделена на две части пропорциональную ускореиию и пропорциональную скорости. Первая дает такой же эффект, как и изменение массы камертона, и нам с пей сейчас делать больше нечего. Вторая сила арифметически пропорциональна скорости и действует всегда против движения она дает поэтому эффект того же характера, что и трение. Во многих аналогичных случаях потерю движения путем передачи можно считать одинакового рода с потерей, обязанной собственно рассеянию, и представлять ее в дифференциальном уравнении (со степенью приближения, r o тaтoчнoй для акустических целей) членом, пропорциональным скорости. Таким образом, [c.66]

Здесь члеиа]Р(0 представляет периодическую функцию времени, определяющую изменение коэффициента жесткости. В проблемах механических колебаний обычно мы встречаемся с малыми изменениями коэффициента жесткости, и этог член можно считать малым по сравиег/ию с Вид функции / /) зависит ог устройства системы. Два важных случая показаны на рис. 118, в н г, где представлены синусоидальное и прямоугольное изменения. Общее решение уравнения (а) неизвестно, но для наших целей его знать необязательно. Нас интересует лишь, будет ли с данном случае устойчива или неустойчива система, движение которой пи1, яно уравнением (а). Чтобы ответить на этот вопрос, нужно предположить, что система находится в среднем положении (д =0) и что некоторая дополнительно приложенная сила вызывает малое начальное смещение. г и малун). начальную скорость и тем самым малые колебания. Если можно показать, что амплитуда этих колебаний неограниченно возрастает со временем, то имеется случай неустойчиЕости. Если колебания постепенно затухают со временем, то исходное состояние устойчиво. Рассмотрим, например, случай рнс. 118, а. Под действием вертикальной переменной силы S масса т может оставаться в среднем положении на линин действия силы 5 но. как мы видели, то положение равновесия становится неустойчивым, если частота изменения силы S вдвое больше частоты поперечных колебаний системы, нагруженной постоянной силой натяжения. Так как выражение, заключенное в скобки в уравнении (а), представляет периодическую функцию, то допустимо ожидать, что прн надлежащем выборе начальных условий можно вызвать такое движение x = F (0. что в конце первого цикла (i=T= 2n/oi) будет [c.176]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...