Анализ уравнений и анализ размерностей

Эти выводы показывают, что основные положения анализа уравнений и анализа размерностей идентичны, чего и следовало ожидать, так как в основе обоих анализов лежат по существу одинаковые уравнения. Разница заключается лишь в том, что анализ уравнений опирается на конкретные системы уравнений, а анализ размерностей — на общие зависимости. [c.154]

Анализ уравнений и анализ размерностей [c.149]

Анализ выше приведенных уравнений теплопередачи показывает, что наиболее сложной для определения величиной является определение коэффициентов теплоотдачи а. как от нагревающего потока к стенке, так и от стенки к нагреваемому потоку. Рещение этой задачи можно осуществить на основе использования теории подобия (если имеется математическое описание процесса в виде дифференциальных уравнений и известны условия однозначности для рещения этих уравнений). В том случае, когда нет аналитического описания процесса теплопередачи, но имеется полный список размерных величин, существенных для изучаемого физического процесса, критерии подобия можно установить методом анализа размерностей величин, описывающих данный процесс. [c.106]

Согласно основной теореме метода анализа размерностей (я-теореме) зависимость между N размерными величинами, определяющими данный процесс, может быть представлена в виде зависимости между составленными из них N — К безразмерными величинами, где К — число первичных переменных с независимыми размерностями, которые не могут быть получены друг из друга. В уравнении (9.12) общее число переменных (включая и а) равно 7, из них четыре первичных (их мы принимали за единицы измерения) соответственно безразмерных чисел в уравнении (9.14) N — Д = 7-4 = 3. [c.82]

Как следует из уравнений (6.7,5) или (6.7.4) и (6.7.6) и анализа размерностей, т, = т, (л, В1, у, Р), б = X X ( , В1, у, Р). [c.282]

Значительный вклад в развитие основ теории подобия, базирующейся в основном на анализе уравнений (а не размерностей), описывающих изучаемые явления, сделал М. В. Кирпичев [24]. Он совместно с А. А. Гухманом впервые доказал обратную теорему подобия, устанавливающую условия, необходимые и достаточные для обеспечения подобия явлений. Главная его заслуга состоит в обобщении всех ранее разрозненных работ по теории подобия, изложении этой теории в одном плане и применении ее для решения конкретных практических задач теплотехники. Эти работы во время их проведения были чрезвычайно важны в связи с задачами индустриализации нашей страны. В то время (30-е годы) создавались невиданные до этого по своей мощности новые парогенераторы, теплообменники, теплосиловые установки. Старые методы расчета не удовлетворяли запросов новой техники. М. В. Кирпичев, А. А. Гухман, М. А. Михеев, заложив основы новой эффективной теории, вооружили инженеров средствами прогнозирования работы новых аппаратов [16, 17]. В основу получения необходимых данных было положено моделирование. [c.11]

Пример I. Предположим, что мы изучаем установившееся, стабилизированное. ламинарное течение несжимаемой ньютоновской жидкости в круглой трубе. Допустим, что нам неизвестно уравнение для перепада давления. Чтобы определить вид уравнения, применим анализ размерностей. Если считать, что перепад давления Др является функцией скорости V, длины трубы L, диаметра D, плотности р и вязкости д, то можно записать [c.74]

В результате различные физические величины обладают в Международной системе, как правило, и различной размерностью. Это делает возможным полноценный размерный анализ, предотвращая недоразумения, например, при контроле выкладок. Показатели размерности в СИ целочислены, а не дробны, что упрощает выражение производных единиц через основные и вообще оперирование с размерностью. Коэффициенты 4я и 2я присутствуют в тех и только тех уравнениях электромагнетизма, которые относятся к полям со сферической или цилиндрической симметрией. Метод десятичных приставок, унаследованный от метрической системы, позволяет охватить огромные диапазоны изменения физических величин и обеспечивает соответствие СИ десятичной системе исчисления. [c.27]

Анализ уравнений движения и размерностей величин, определяющих сопротивление обтекаемого тела или потери энергии в потоке газа, показал, что соответствующие безразмерные характеристики сопротивления являются функциями основных критериев подобия [c.207]

Хотя программа исследований в классической гидромеханике устанавливается без труда, следовать этой программе — задача чрезвычайно трудная из-за аналитической сложности системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка (7-1.1) и (7-1.2). На практике точные или приближенные решения этой системы можно получить лишь в случае, когда либо граничные условия имеют чрезвычайно простой вид, либо проведены некоторые предварительные упрощения. Фактически в соответствии с типом производимых упрощений задачи гидромеханики можно разделить на ряд категорий. Отнесение какой-либо частной проблемы к одной из этих категорий основывается, по существу, на анализе размерностей. [c.253]

Анализ размерностей в задачах ньютоновской гидромеханики отличается от своего ньютоновского аналога в двух очень важных отношениях. Во-первых, имеется не один, а два размерных параметра, определяющих уравнение состояния. Кроме того, две жидкости, характеризуемые одинаковыми значениями fx и Л, не одинаковы в смысле их реологического поведения, т. е. они имеют не одинаковые уравнения состояния, поскольку вид безразмерного функционала может меняться от одной жидкости к другой. Таким образом, значения а и А не полностью определяют поведение жидкости, и анализ размерностей, основанный на этих двух параметрах, дает в лучшем случае только качественные указания. [c.265]

То, что время распространения температурных возмущений пропорционально отношению г Ы, вполне очевидно не только из предыдущих рассуждений, но также и на основании соображений размерности или из анализа уравнения для температурных возмущений. В этом последнем случае становится возможным, кроме того, вычислить коэффициент пропорциональности между т и в связи с чем следует более подробно рассмотреть распространение температурных возмущений в потоке жидкости. [c.441]

Подчеркнем, что численные значения характеристических констант турбулентности были найдены выше, исходя из уравнений движения и переноса теплоты и дополнительного соотношения (17), вытекающего из анализа размерностей и поэтому достаточно очевидного оно заключается в предположении о пропорциональности турбулентной вязкости расстоянию от твердой стенки, причем коэффициент пропорциональности заранее не задается, но определяется, как и другие характеристические константы турбулентности, из совокупности исходных уравнений. [c.650]

Метод размерностей не дает возможности установить в конкретных случаях вид функции ф, однако знание даже общей зависимости, выражаемой уравнением (5.94), полезно как для теоретического анализа, так и для рациональной постановки эксперимента. [c.130]

Итак, методом анализа размерностей найдены безразмерные комплексы. В рассматриваемом случае ими оказались числа подобия Фурье и Био, найденные ранее [уравнения (20.7) и (20.9)] другим методом. Введем безразмерные —искомую переменную д/д,, и независимую переменную х/1 (одномерный случай). Тогда искомую обобщенную зависимость можно представить в форме [c.203]

Методы анализа размерностей и теории подобия могут применяться на разных уровнях в самом начале изучения явления, например при формулировании дифференциальных уравнений явления, на промежуточных этапах и, наконец, для представления окончательных количественных зависимостей или решений. В последнем случае необходимо углубленное понимание механизма явления. [c.393]

Любая физическая величина характеризуется некоторой размерностью. Анализ размерностей основан на том физически очевидном факте, что размерность всех членов дифференциального уравнения, описывающего физические явления данного типа, одна и та же. [c.396]

В первом и втором условиях не содержится каких-либо требований, ограничивающих численные значения постоянных, таких как физические параметры, характерные значения скорости и размеры. Такие ограничения накладываются третьим условием подобия, в соответствии с которым должны быть равны численные значения одноименных определяющих критериев. Список актуальных для рассматриваемого процесса безразмерных комплексов получают методами теории подобия или анализа размерностей (см. 1.2). Второе и третье условия подобия требуют соблюдения геометрического подобия модели и оригинала. Действительно, одинаковость граничных условий предполагает одинаковую форму записи уравнений поверхностей, на которых задаются значения температур, скоростей, концентраций если для описания геометрии системы необходимы-два или более характерных размера, третье условие подобия обеспечивает их одинаковое соотношение для модели и оригинала. Например, два кольцевых.канала подобны, если сохраняется отношение внешнего и внутреннего диаметров. [c.89]

Структура безразмерных комплексов — критериев — может быть найдена либо на основе анализа дифференциальных уравнений, описывающих явление и содержащих общие связи между величинами (метод теории подобия), либо на основе анализа размерностей физических величин, существенных для явления (метод анализа размерностей). [c.133]

От определяющих критериев подобия Ке, Ог и Рг кроме числа Ыи зависят безразмерная скорость, температура и давление [см. уравнения (2.52) —(2.56)]. Эти определяемые безразмерные комплексы появляются при анализе размерности в тех случаях, когда в число исходных размерных величин кроме о входят неизвестные функции (скорость, температура и перепад давлений). [c.100]

Таким образом, методом анализа размерностей мы получили то же самое уравнение подобия (9.61), что и с помощью теории подобия [см. уравнение (9.56)]. [c.92]

Анализ размерностей уравнений связи или только величин, определяющих исследуемое явление, часто позволяет установить вид искомой зависимости, а иногда всю зависимость в целом с точностью до одного постоянного множителя. Часто этот анализ позволяет установить основные безразмерные комплексы (в минимальном их количестве), в функции от которых следует исследовать интересующую нас величину. Анализ размерностей устанавливает и оптимальный вид искомой величины в безразмерном виде. [c.147]

Анализ размерностей приводит, таким образом, к я-теореме анализа уравнений. Он же дает возможность обосновать прямую и обратную теоремы подобия. [c.154]

С помощью матрицы при необходимости легко составляется уравнение размерной цепи. Все дальнейшие расчеты, связанные с определением требуемой точности замыкающего звена и составляющих звеньев размерной цепи, или другие точностные расчеты и анализ структур размерных связей на базе полученной размерной цепи производятся по стандартным программам, разработанным на основе методик и расчетных формул, приведенных в работах [44, 45]. [c.76]

Это уравнение позволяет сделать вывод о том, что не только на движение жидкости, но и на движение парового пузырька существенное влияние оказывает наличие в потоке турбулентных вихрей. Пользуясь методом анализа размерностей, можно установить влияние физических свойств жидкости и турбулентных вихрей в ее потоке на теплоотдачу при кипении. [c.163]

Особенно плодотворным он оказывается в тех случаях, когда нахождение искомой закономерности прямым путем либо встречает значительные математические трудности, либо требует знания таких деталей процесса, которые заранее но известны. По сути дела, анализ размерностей основывается на требовании независимости связи между физическими вели шнами от выбора единиц, что равносильно требованию совпадения размерностей в обеих частях уравнений. Позволяя в ряде случаев быстро установить характер искомой закономерности, анализ размерностей отнюдь не является всемогущим методом, и подчас его возможности оказываются весьма ограниченными. [c.98]

Полнота описания явления, корректность исходной теоретической модели должны сочетаться с правильностью математической формулировки задачи. При этом следует иметь в виду, что физическое решение может существовать и найдено на основе эксперимента, в то время как исходное математическое описание не позволяет получить решения. Если существует решение задачи в первичных переменных, то обобщенное решение может быть получено. В связи с возможностью описания системы в обобщенных безразмерных переменных, базируясь на методе подобия и анализе размерностей, можно получить критериальное уравнение, состоящее из обобщенных характеристик рассматриваемой системы. При описании системы критериальными уравнениями как бы уменьшается число параметров, независимых координат, решение обладает большой общностью. Получение критериев подобия, основанных на методе подобия, предполагает использование математического описания объекта. Исходные дифференщ -альные уравнения, характеризующие процесс, содержат более глубокую информацию по сравнению с той, которую получаем из анализа размерностей ответственных величин. Исследование процесса методом подобия включает получение безразмерных характеристик (критериев подобия) и вывод критериального уравнения. Аналитический вывод критериального уравнения возможен, когда исходное уравнение имеет точное решение. Во всех других случаях формирование критериальных уравнений осуществляется на базе специальных экспериментальных исследований (или дрз -ой дополнительной информации). Критериальная зависимость должна учитьшать критерии, полученные из анализа как основных уравнений, так и граничных условий. [c.165]

В соответствии с общепринятой методикой изложения газодинамики гомогенных сред вначале даются основные уравнения движения влажного пара (гл. 3). Далее рассматриваются вопросы подобия и анализ размерностей в потоках влажного пара. В гл, 4 изучается механизм распространения слабых возмущений в двухфазных средах. Следующая — 5 гл. — посвящена исследованию одномерных течений влажного пара. Здесь рассматривается одномерное адиабатическое движение в условиях метастабильного и равновесного изменения состояния системы при дозвуковых и сверхзвуковых скоростях. Материалы этой главы позволяют проследить влияние влажности, внутреннего теплообмена и фазовых переходов на изменения скорости потока и термодинамических параметров в конфузорных и днффузорных квазиодномерных потоках. [c.7]

Анализ уравнения (10.25) показывает, что при кондиционировании вод с однородной взвесью подобие процессов во взвешенном слое сохраняется только для различных режимов обработки воды одинакового качества. Равным значениям размерного комплекса (10.20) отвечает одинаковый эффект водообра-ботки. Этот вывод имеет важное значение для расчета и проектирования осветлителей со взвешенным осадком, так как позволяет в каждом случае адекватно заданному эффекту осветления воды назначать расчетную скорость восходящего потока и толщину слоя взвешенного осадка с учетом физико-химических свойств исходной воды и взвеси. С этой целью в лабораторных условиях на модели осветлителя при определенном режиме его работы получают экспериментальную кривую зависимости i/ o==/(x), называемую кривой осветления. Затем по заданному эффекту осветления p J o с помощью кривой определяют необходимую толщину слоя взвешенного осадка х соответствующую этому эффекту осветления воды на модели. Перерасчет результатов, полученных на модели для проектирования натурного сооружения, в соответствии с выводами о подобии процессов производится по формуле [c.201]

Скорость разрушения определяется кооперативными процессами, прол исходящими на микро- и макроуровнях, и поэтому необходим учет как прочности межатомной связи в бездефектной кристаллической решетке, так и характеристик прочности и пластичности материалов с дефектами — дислокациями, вакансиями и т. п. на микро- и макроуровнях с учетом влияния исходной структуры на характеристики прочности и пластичности. В связи со сложностью поставленных механикой разрушения задач прямого эксперимента недостаточно для определения общих закономерностей разрушения материала с трещиной, а требуется привлечение подходов физики разрушения, позволяющих вникнуть в суть механизма явления. Но и это о мало, так как необходимо учитывать сложные по своему содержанию микропроцессы, оказывающие неоднозначное влияние на макропроцессы, определяющие в конечном итоге скорость разрушения. Переход от микроразрушения к макроразрушению может быть достигнут путем учета масштабного подобия. Это требует привлечения к а 1ализу механики трещин наряду с физикой прочности также теории подобия и анализа размерностей [28, 29]. Для применения теории подобия необходимо иметь большой объем предварительных данных и конкретных физических идей, позволяющих вывести уравнение, определяющее процесс. Если уравнение не удалось вывести, то применяют анализ размерностей [29]. Подходы механики разрушения позволяют рассматривать процесс разрушения как автомодельный, что упрощает решение задач механики трещин, ибо в условиях автомодельности необходимым и достаточным условием обеспечения подобия локального разрушения является использование только одного критерия подобия. К тому же теория подобия является своеобразной теорией эксперимента, так как позволяет установить, какие параметры следует определять в опыте для решения той или иной задачи [28]. Неучет этого фактора при определении критериев линейной механики разрушения привел к известным трудностям и к необходимости раздельного определения статической Ki . динамической Кы и циклической /С/с трещиностойкости. Однако каждый из указанных критериев, определенных экспериментально, без учета подобия локального разрушения, даже при одном и том же виде нагружения часто не дает сопоставимых значений из-за влияния степени стеснения пластической деформации на микромеханизм разрушения. [c.41]

Методы теории подобия и анализа размерности. В том случае, когда физическое или механическое явление изучено настолько, что представляется возможным правильно матёматически поставить задачу, написать основные уравнения и сформулировать граничные условия, можно, не имея решения составленных уравнений, произвести масштабные преобразования этих уравнений и найти соответствующие критерии подобия. Именно этим путем были получены критерии статического подобия изгиба балок (25.23). Метод теории подобия, таким образом, предполагает наличие значительного объема информаций, относящейся к изучаемому объекту. [c.290]

Эта теория принадлежит Пуанкаре (второй мемуар [257]) и Бенедиксону [39]. В первой половине нашего столетня дифференциальная динамика обычно называлась качественной теорией обыкновенных дифференциальных уравнений и анализ векторных полей в случае размерности два (в частности, на плоскости и на торе) рассматривался как одно нз центральных наггоавлений в теории, как, например, это представлено в таких классических трудах, как [66] н [223]. К числу главных достижений этого периода относятся теория Данжуа для потоков (см. предложение 14.2.4), анализ структурной устойчивости двумерных потоков, данный Андроновым и Понтрягиным [13], конструкция потока Черри (п. 14.4 а) и классификация Майера орбит потоков на поверхностях высшего рода [186]. Позже, в связи с лучшим пониманием гиперболической теории, теория потоков на поверхностях отошла на второй план. [c.732]

Основная сложность метода анализа размерностей заключается в том, что нужно знать все параметры, влияющие на искомую величину. Для совершенно неисследованных процессов эти параметры находят, проводя предварительные эксперименты. Если же процесс уже описан математически, хотя бы на уровне дифференциальных уравнений, то в эти уравнения, в граничные и начальные условия к ним, очевидно, входят все влияющие на процесс параметры. Приводя к безразмерному виду математическое описание процесса, получают те же самые безразмерные числа. Этим занима- [c.83]

Г1рои.зведя аналогичный анализ размерностей и д.пя остальных членов уравнения (6-13), найдем соответствующие пи-члены, а именно [c.69]

Анализ (или метод) размерностей используется во многих задачах физики и механики, а особ нно в механике жидкости как для проверки предложенных panei , так и для составления новых зависимостей. Анализ размерностей основан на так называемой ПИ-теореме, которую можно сфо))мулировать следующим образом математическая зависимостг. между некоторыми физическими размерными величинами всегда может быть преобразована в уравнение, в которое войдут безразмерные комбинации тех же физических величин (так называемые числа ПИ), причем число этих безразмерных комбинаций всегда меньше, чем число исходных физических величин. Пусть Аи Лз, Аз,..., Ап —п размерных/физических величин, участвующих в каком-либо физическом явлении. Примером их могут служить скорость, вязкость, плотность и т. д. Пусть m — число всех первичных или основных единиц (наиример, длина, масса и время), с помощью которых может быть представлена размерность рассматриваемых физических величин. Физическое ураг нение или функциональная зависимость между величинами А может быть представлена в виде [c.148]

Теорию подобия можно применять лишь при наличии дифурав-нений и условий однозначности рассматриваемого явления Если нет аналитического описания явления, а имеется полный список размерных величин, описывающих это явление, то уравнение подобия можно получить методом анализа размерностей. [c.50]

Вопрос, поднятый Рябушинским, относится скорее к логике, чем к способу применения анализа размерности, интересовавшему меня. Вопрос очень заслушивает дальнейшего рассмотрения. Моё заключение получено на основе обычных уравнений Фурье для теплопроводности, в которых температура и количество тепла принимаются как величины sui generis. Мы имели бы дело с парадоксом, если бы углубление наших знаний о природе тепла в молекулярной теории приводило бы нас к худшему положению, чем раньше при рассмотрении частной задачи. Решение парадокса состоит, невидимому, в том, что в уравнениях Фурье содержится такое предположение [c.56]

Определение критериев подобия посредством анализа размерностей базируется на п-теореме. П-теорема, которая была сформулирована Ваши и Бэкингемом, гласит если рассматриваемое физическое явление (процесс) определяется п физическими величинами (параметрами) hi, IJ2,. .., Яд так, что полное уравнение, описывающее явление, может быть записано в виде функции [c.396]

В соответствии с проведенным анализом уравнение подобия для теплоотдачи при свободном движении имеет вид Ыи= (ОгРг). Это уравнение можно получить также, используя анализ размерностей. Основные положения конвективного теплообмена (см. гл. 14) позволяют заключить, что средний коэффициент теплоотдачи а при свободном движении жидкости вдоль вертикальной поверхности высотой I зависит от подъемной силы й РОс, вязкости р, теплопроводности К и величины рср — объемной теплоемкости, с которой связан 1сонвективный поток <7к =p pwt. Следовательно, имеем зависимость [c.396]

Для анализа уравнений (22.14) и (22Л5) представим входящие В них величины в виде произведения безразмерных величин (с верхним нулевым индексом) на размерные (базисные) величины (с нижним нулевым индексом), т. е. [c.435]

В 1.4 было показано, что существует широкая свобода в способе построения системы единиц и, в частности, в выборе величин, единицы которых принимаются за основные. В то же время практические соображения накла-дьшают определенные ограничения на этот выбор. Иногда для описания какой-то совокупности физических явлений или для решения конкретной задачи методом анализа размерностей полезно выбрать в качестве основных такие единицы, которые позволят более просто выразить интересующие нас закономерности 1ши решить данную задачу. Подобные примеры можно найти в гл. 3 настоящей книги. Может даже оказаться целесообразным приравнять единице возможно большее число фундамен тальных постоянных, доведя число произвольно выби раемых основных единиц до нуля. При этом, разумеется значительно упростится вид соответствующих уравнений Подобным образом часто поступают в атомной физике в особенности при решении различных задач с помощью методов квантовой механики. Подробнее об этом будет сказано в 9.8. [c.42]

Полученные на основе метода анализа размерностей критериальные соотношения желательно сравнить и дополнить зависимостями, вытекаю-пщми из решения тепловой задачи теории трения [40]. Воспользуемся дифференциальным уравнением теплопроводности Фурье Э//9г = [c.161]

Выполненный ранее анализ уравнения интенсивности теплообмена [3] не доведен до конца, в частности не получены определяющие числа подобия и не установлено их количество. Несложно провести анализ размерностей переменных уравнения и определить количество чисел подобия. Согласно теории подобия функцией чисел подобия может быть представлен интеграл дифференциального уравнения интенсивности теплообмена [3 a(At)/At =—amdP. В то же время согласно л-теореме теории анализа размерностей количество (сумма) определяемых и определяющих чисел подобия должно быть равно разности количества размерных переменных в уравнении и количества независимых (основных) размерностей. Перечислим переменные и их размерности [c.43]

Число определяющих и неопределяющих критериев может быть установлено независимо от наличия уравнений процесса по известной формуле анализа размерностей [c.54]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...