Функция точки. Поверхность уровня. Градиент

Функция точки. Поверхность уровня. Градиент. Силовая и потенциальная функции для материальной частицы принадлежат к числу так называемых функций точки, т. е, функций, значения которых зависят от положения частицы, т, е. от радиуса-вектора г, или, иначе говоря, от её трёх координат х, В порядке обобщения мы [c.168]

Другое выражение для градиента функции. Рассмотрим цилиндр 5, ограниченный поверхностями уровня ф = фр и ф=Фо, причем точка Q находится на нормали к поверхности ф = фр в точке Р (рис. 33). Пусть PQ — бесконечно малая величина первого порядка, пусть диаметр нашего цилиндра считается малым по сравнению с PQ, а образующая цилиндра перпендикулярна поверхности ф = фр- -— [c.47]

Меняя значение константы с, мы получаем различные поверхности уровня. Через каждую точку пространства проходит одна поверхность уровня, причем поверхности уровня никогда не пересекаются. В двумерном пространстве, легко изображаемом графически, поверхности уровня вырождаются в линии, подобные показанным на рис. 5.4. При перемещении по поверхности или линии уровня оценочная функция не изменяется, а при движении в направлении, пересекающем поверхность уровня, она меняется, причем быстрее всего в направлении, перпендикулярном поверхности. Это направление и скорость изменения определяются в каждой точке вектором градиента оценочной функции УФ, выражаемым формулой (5.14). По определению градиента изменение оценочной функции ф [c.211]

Как мы уже говорили, направление градиента совпадает с нормалью к поверхности уровня (рис. 5.4). В точке минимума оценочной функции вектор градиента равен нулю [c.211]

Поэтому одинаковому приращению силовой функции отвечает смещение вдоль силовой линии, обратно пропорциональное модулю градиента силовой функции. В тех точках пространства, где сила больше, поверхности равного уровня будут ближе друг к другу, чем в других точках. [c.165]

Как видно, в электрическом поле и вследствие температурного градиента возникают разные неравновесные распределения электронов, и в связи с этим скорости релаксации в указанных двух случаях могут существенно различаться. Электрическое сопротивление появляется вследствие процессов рассеяния, стремящихся восстановить равновесное распределение в электрическом поле. В процессе рассеяния электрон из правой части фиг. 10.5, а переходит в левую, и его волновой вектор должен при этом существенно измениться. С другой стороны, когда отклонения от равновесия вызваны температурным градиентом, то возвращение к равновесию может происходить как вследствие процессов с большим изменением волнового вектора (при этом электроны переходят с заполненных уровней на свободные в противоположных сторонах фигуры), так и вследствие процессов с малым изменением волнового вектора и энергии (при этом электроны переходят с заполненных на свободные уровни в одной стороне фигуры). Поскольку область энергии вблизи ферми-поверхности, в которой функция распределения Ферми меняется от 1 до 0, имеет порядок АвТ , то этот же порядок имеют изменения энергии при последнем процессе и соответственно происходят малые изменения волнового вектора электрона. Как будет видно в дальнейшем, если сопротивление обусловлено главным образом рассеянием на [c.188]

Работа метода заключается в следующем. После определения градиента критерия оптимальности в точке X движутся вдоль направления антиградиента до точки, в которой достигается минимальное значение функции. Затем в этой точке снова определяют градиент и движутся по прямой согласно направлению нового антиградиента и т. д., пока не достигнут точки, имеющей наименьшее значение функции F(X). На рис. 6.4, в приведен пример движения при поиске методом наискорейшего спуска оптимума для критерия оптимальности, зависящего от двух переменных. Направление grad F(X, i) является касательным к поверхности уровня в точке Х, и, следовательно, gradF(Xft) в точке Х +1 ортогонален grad F(X,4 i). [c.286]

ТЕОРЕМА (Ирншоу система неподвижных точечных зарядов электрических, находящихся на конечных расстояниях друг от друга, не может быть устойчивой Карно термический КПД обратимого цикла Карно не зависит от природы рабочего тела и являегся функцией абсолютных температур нагревателя и холодильника Кастильяно частная производная от потенциальной энергии системы по силе равна перемещению точки приложения силы по направлению этой силы Кельвина сила (или градиент) будет больше в тех точках поля, где расстояние между соседними поверхностями уровня меньше Кенига кинетическая энергия системы равна сумме двух слагаемых — кинетической энергии поступательного движения центра инерции системы и кинетической энергии системы в ее движении относительно центра инерции Клеро с уменьшением радиуса параллели поверхности вращения увеличивается отклонение геодезической линии от меридиана Кориолнса абсолютное ускорение материальной точки рав1Ю векторной сумме переносного, относительного и кориолисова ускорений Лармора единственным результатом влияния магнитного поля на орбиту электрона в атоме является прецессия орбиты и вектора орбитального магнитного момента электрона с некоторой угловой скоростью, зависящей от внешнего магнитного поля, вокруг оси, проходящей через ядро атома и параллельной вектору индукции магнитного поля Остроградского — Гаусса [для магнитного поля магнитный поток сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю для электростатического поля <в вакууме поток напряженности его сквозь произвольную [c.283]

В случае скалярного поля такая мера неоднородности поля в данной точке напрашивается сама собою при одном взгляде на формулу (5). Проведем через заданную точку поля вектор, равный но величине производной скалярной функции по направлению внешней нормали к поверхности уровня в данной точке и направленный по внешней нормали. Этот вектор называется градиентом скалярной функции и обозначается символом grado тогда, по определению, [c.44]

С силовой функцией U (х , у/,, г ) П. э. связана соотношением И (жй, iy/j, 2fe) = — и (xfi, у1 , zh)- Следовательно, П. э., как и ф-ция и, определяет данное потенциальное силовое поле. Значение силы в любой точке поля равно градиенту П. э,, взятому со знаком минус новерхности П = oTist являются поверхностями уровня. Работа сил поля при перемещении системы из конфигурации 7, где II. э. равна Hj, в конфигурацию 2, где П. э. равна По, будет А 2 = [c.180]

Кривая в i описывается параметрическим уравнением вида X = X ( ) и векторы dX k)ldk касательны к кривой. На всякой поверхности уровня F (X) = С скорость изменения функции F (X) вдоль любой кривой на этой поверхности dF/dX = О = = g-dXldk это значит, что g направлено по нормали к поверхности уровня. Далее, если dX произвольно и образуете градиентом g угол 9, то dF = g II II dX os 9. Следовательно, в направлении градиента (9 = 0) скорость изменения функции F (X) максимальна. [c.296]

Г радиентные методы поиска оптимальных решений основаны на использовании математических моделей, аппроксимирующих функции цели, и на анализе их частных проиаводных. Г р а д и е н -том целевой функции в рассматриваемой точке называется вектор, который направлен по нормали к поверхности постоянного уровня и по алгебраической величине равен производной этой функции. Указанный вектор в каждой точке области определения функции цели направлен по нормали к поверхности постоянного уровня, проведенной через эту точку, и поэтому совпадает по направлению с наискорейшим уменьшением или возрастанием целевой функции. Поэтому движение к оптимуму по градиенту совершается по кратчайшему пути. В общем виде градиент целевой функции у = / (x , Хц, Х/,) есть вектор [c.322]

ВИДЯ, он iMoжeт это сделать, если все время будет двигаться вверх. Хотя любая ведущая вверх тропа в конечном счете приведет его к вершине, кратчайшей из них будет самая крутая, если, правда, альпинист не натолкнется на вертикальный обрыв, который придется обходить. (Математическим эквивалентом обрыва на поверхности, образуемой целевой функцией, являются те ее места, где поставлены условные ограничения.) Предположим пока, что задача оптимизации не содержит ограничений. Позднее мы включим их в схему поиска. Метод оптимизации, в основу которого положена идея движения по самой крутой тропе, называется методом наискорейшего подъема или наискорейшего спуска. Вектор градиента перпендикулярен линии уровня и указывает направление к новой точке в пространстве проектирования. Отметим, что градиентный метод в отличие от метода касательной к линии уровня можно использовать применительно к любой унимодальной функции, а не только тех, у которых это свойство явно выражено. [c.169]

Выражение под знаком градиента есть функция, зависящая толь ко от времени, и следовательно, справедливо равенство (3.5). Если дополнительно к условиям теоремы 2 предположить, чт движение жидкости установившееся, т.е. 5ф/Й s О, то интегра Коши (3.5) совпадет с интефалом Бернулли (3.3). Функцию g(0 этом случае следует рассматривать как постоянную во всей облас ти движения. Полученный интефал называется интефалом Бер нулли—Эйлера и отличается от интефала Бернулли тем, что по стоянная в правой части не зависит от выбора линии тока. j В качестве примера рассмотрим задачу об истечении несжи-1 маемой идеальной жидкости из отверстия малой площади в сосуде (рис. 64). Пусть уровень жидкости в сосуде Н, S — площадь поверхности цилиндрического сосуда, s — площадь сечения от-. верстия на глубине Н. Давление воздуха (поверхностные силы на свободной поверхности жидкости) равно р . Поле массовых сил есть поле силы тяжести f=-jge , — орт вертикали. Рассмотрим процесс истечения жидкости как безвихревое установившееся течение идеальной несжимаемой жидкости, прене гая понижением уровня жидкости на изучаемом интервале времени. Эти условия будут выполняться с достаточной степенью точности, если S s-и если с момента начала течения прошло некоторое время и тече- ние приобрело установившийся характер. Обозначим скорость понижения уровня жидкости в сосуде через v, а скорость истечения из отверстия — через V. Уравнение неразрывности имеет вид = sV, г интефал Бернулли—Эйлера представляется в форме [c.262]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...