ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Следствие теоремы Лиувилля из "Аналитическая динамика " Рассмотрим в качестве примера автономную гамильтонову систему, для которой координата является циклической. При этом представляет собой интеграл и траектории располагаются в плоскостях = onst. Рассмотрим плоскость 0], заданную уравнением = Р- Движение системы определяет преобразование точки Pq плоскости со в точку Р той же плоскости (здесь Рд — положение изобра кающей точки в момент = О, а Р — положение ее в момент ). В результате область Uq плоскости со переходит в заданный момент t в область U той же плоскости. [c.451] Это преобразование в (2п — 1)-мерной плоскости со сохраняет меру. Иными словами, теорема Лиувилля остается справедливой в 2п — 1)-мер-ном пространстве. Для доказательства рассмотрим цилиндр с основанием 7fl, ограниченный плоскостями р = Р и = р + е. Согласно теореме Лиувилля объем этого цилиндра является инвариантом, откуда следует, что mil - mU . [c.451] В этом и заключается следствие теоремы Лиувилля, которое мы хотели вывести. [c.452] Доказательство можно несколько сократить, если воспользоваться теоремой 22.4. Систему можно привести к гамильтоновой с функцией Гамильтона (22.4.5). Новыми зависимыми переменными будут 52, 9з, , Яп Р2, Рз, , Рп независимой переменной будет Pi. Система будет неавтономна, поскольку функция Гамильтона ф содержит pi, однако это не исключает возможности применения теоремы Лиувилля, и полученное выше следствие является специальным случаем теоремы Лиувилля для преобразованной системы. [c.452] Вернуться к основной статье