Выбор лагранжевых координат

Особую роль в этом методе играет выбор лагранжевых координат. Одна и та же задача для некоторого набора лагранжевых координат может допускать разделение переменных, а для другого набора — не допускать. Проиллюстрируем сказанное на задаче определения закона движения одной материальной точки. [c.657]

На примере циклических координа.т мы видели (см. 8.4), что успех интегрирования систем дифференциальных уравнений, описывающих движение механических систем, в значительной мере зависит от удачного выбора лагранжевых координат. При переходе от одних лагранжевых координат к другим будут по определенному закону изменяться и обобщенные импульсы, так что в новых фазовых переменных уравнения движения вновь примут вид канонических уравнений Гамильтона. Произвольные преобразования фазовых координат таким свойством, вообще говоря, обладать не будут. Интегральный инвариант Пуанкаре (определение 9.5,1) позволяет, подходя с единых позиций как к преобразованию лагранжевых координат, так и обобщенных импульсов, выделить специальный класс преобразований фазовых переменных, не нарушающих структуру канонических уравнений движения. [c.680]

Выбор лагранжевых координат ). До сих пор мы пользовались декартовыми координатами. В дальнейшем мы не будем себя связывать ограничениями в выборе системы координат и перейдем к координатам более общего типа. Введение таких координат может быть сопряжено с известными трудностями, однако это — трудности скорее алгебраического характера, чем динамического. Нужно отличать трудности, присущие самому изучаемому явлению, от трудностей, связанных с выбранной системой координат. [c.59]

Выбор лагранжевых координат производится следующим образом. Выбираются п параметров q ,. . ., g , значения которых определяют конфигурацию системы в момент времени t. Декартовы координаты ... [c.59]

В дальнейшем ( 5.7 и 5.8) будет указана формальная процедура перехода от декартовых координат к лагранжевым. Однако в ряде задач выбор лагранжевых координат напрашивается сам, и потому нет необходимости обращаться к формальным методам, развитым для общей механической системы. [c.59]

Из изложенного правила следует, что движение механической системы может быть описано бесконечным множеством канонических уравнений вида (4.1.52). Все определяется выбором лагранжевых координат д, 92, . Як- [c.309]

Напомним (определение 4.7.1), что лагранжевыми координатами системы материальных точек называется минимальный набор переменных величин, конкретное задание значений которых однозначно определяет совместное с геометрическими (конечными) связями положение всех точек системы. Число лагранжевых координат есть число степеней свободы системы, а выбор таких координат зависит от структуры геометрических связей. Пусть <71,..., < п — лагранже-вы координаты, — обобщенные скорости. Тогда радиусы- [c.523]

Возможны два способа описания движения частиц сплошной среды. Первый способ, широко распространенный в гидро- и аэродинамике, связан со следующим выбором метода описания движения среды все величины, характеризующие движение сплошной среды, задаются в координатах неподвижного пространства. Такой выбор независимых переменных был применен впервые Эйлером, и поэтому координаты называют эйлеровыми. Возможен и другой метод выбора независимых переменных в качестве независимых переменных выбирают начальные координаты какой-либо частицы жидкости в некоторый фиксированный момент времени в последующее время эта частица перемещается в пространстве, координаты неподвижного пространства являются функциями начальных координат частицы. Этот метод описания движения сплошной среды несколько напоминает метод, используемый в динамике материальной точки, и его связывают с именем Лагранжа, а соответствующие координаты называют лагранжевыми. Лагранжевы координаты широко используются в теории упругости, а также во многих воп])осах нелинейной акустики в газах, жидкостях и твердых телах. [c.15]

При выборе размеров вихревых частиц автору приравнивают завихренность в центре частицы а завихренности в материальной точке, имеющей ту же лагранжеву координату [c.326]

Координаты ж°, ж , ж могут также служить наименованием частицы и называются лагранжевыми координатами (в отличие от материальных координат, они связаны с выбором параметра 1 = Ьо). Конфигурация, соответствующая текущему моменту времени называется актуальной. [c.636]

Здесь р1 - начальная плотность газа, т - лагранжева координата, введенная соотношением т = р1г (1г, где г - начальная координата частицы, ь> = 1,2,3 соответственно для течений с плоскими, цилиндрическими и сферическими волнами выбор главных членов произведен так, чтобы в случае, когда Ко(1) - закон распространения ударной волны, они давали точные значения параметров за ударной волной, т.е. при т = рхЩ/и. [c.316]

Первая особенность критической системы — невозможность выбора обобщенных лагранжевых координат на многообразии 8 ) (естественно, что в окрестности точки О невозможен выбор даже локальных координат). [c.324]

Выбор в качестве независимых переменных системы (/, х, у, г) обычно связывают с именем Лагранжа (л , у, г) — лагранжевы координаты. Другой способ задания перемеш,ений состоит в том, что в качестве независимых переменных выбираются пространственные координаты (и время), ( т], — перемещение той частицы [c.25]

Формулы (5.43) верны при любом выборе вообще криволинейных лагранжевых координат Заметим, что в выражении [c.78]

Заметим, что при линеаризации можно было не делать различия между записью в лагранжевых и в эйлеровых координатах и, например, не различать решения в виде бегущей волны вида р t— а/со) и р (I— дг/со) соответственно. Но теперь, когда нас интересует и второй порядок величин, различие следует учитывать и, переходя от лагранжевых к эйлеровым координатам, нельзя в выражении для волны просто заменить а на х, а необходимо еще ввести поправку второго порядка. Конечно, выбор в качестве первого приближения решения волнового уравнения, написанного в лагранжевых координатах, не обязателен за первое приближение можно было,бы принять (в случае бегущей волны) не р t—а/со), а р (t—х с . Но соответственно пришлось бы изменить и квадратичную поправку сумма поправочного члена с линейным решением должна в обоих случаях дать одну и ту же величину с точностью до членов высшего порядка малости. [c.416]

Из определения интегральных инвариантов видно, что такими преобразованиями являются преобразования, переводящие некоторую траекторию изображающей точки в смежную траекторию. Этим преобразованиям соответствует изменение начальных условий для движения изображающей- точки. Заметив это, можно прийти к двум различным способам определения положения изображающих точек в их многообразии. Первый из них основывается на выборе начальных значений х координат в многообразии изображающих точек как независимых переменных. Величины x аналогичны известным из гидродинамики лагранжевым переменным. Можно также пользоваться функциями хц входящими в уравнения (11.379), как координатами изображающих точек. Величины Хц очевидно, аналогичны эйлеровым переменным М. [c.386]

Преобразования координат как метод решения задач механики. Как мы уже видели при изучении лагранжевой формы механики, правильный выбор координат может существенно облегчить задачу решения дифференциальных уравнений движения. Если среди наших координат имелась циклическая, то мы сразу находили первый интеграл уравнений Лагранжа. Поэтому мы пытались получить циклические координаты путем преобразования первоначальной системы координат. [c.225]

Более тщательно этот вопрос был рассмотрен в работе [1], где уравнение для вязкой теплопроводящей жидкости было получено из уравнений в эйлеровых координатах переходом от эйлеровых координат к лагранжевым. Этот переход был сделан с точностью до величин второго порядка малости по (1.44). Как отмечалось в [1], при этом остается открытым вопрос о том, будут ли коэффициенты вязкости и теплопроводности одинаковыми в лагранже-вых и эйлеровых координатах. Здесь приводятся уравнения, для которых эти коэффициенты считались не зависящими от выбора координат. В результате из (1.21) было получено уравнение [c.29]

Смысл этого замечания состоит в том, чтобы еще раз подчеркнуть, что, производя вычисления в локальных координатах, мы тем не менее получаем результаты, не зависящие от их выбора. Это главное достоинство лагранжева формализма. В частности, требование обращения в нуль величины S F Tfi — R эквивалентно уравнению Эйлера — Лагранжа, которое, таким образом, является необходимым условием минимизации L на кривой с. [c.373]

Отсюда следует, что две материальные системы совершенно различной материальной структуры с точки зрения аналитнческогв представления движения динамически эквивалентны, т. е. при подходящих силах имеют одни и те же уравнения движения, если только при надлежащем выборе лагранжевых координат они допускают одно и то же выражение для живой силы. Очень простор пример такой динамической эквивалентности материальных систем, физически различных между собой, мы будем иметь (как это будет видно в п. 49), рассматривая, с одной стороны, одну свободную материальную точку в пространстве (отнесенную к декартовым координатам), а с другой стороны, материальный диск, свободно дви-мсущиНся II своей плоскости (если за его лагранжевы координаты примем декартовы координаты какой-нибудь неизменно связанной с ним точки, а третий параметр выберем пропорциональным углу, определяющему его ориентировку в плоскости относительно непо движных осей). [c.294]

Движение относительно подвижной системы отсчета. В случае натуральной системы соотношения, связывающие а и д, не содержат явно t (через X, как обычно, обозначены координаты частиц относительно неподвижного прямоугольного триэдра, т. е. триэдра, жестко связанного с ньютоновой системой отсчета). Рассмотрим теперь более подробно некоторые задачи, в которых соотношения между xuq содержат t. Это будет иметь место при простом и естественном выборе лагранжевых координат, если на некоторую часть системы наложено движение или если используются подвижные оси, причем выбор координат q произведен так, что координаты х частиц относительно подвиншых осей являются функциями одних только q. Примером может служить случай, когда подвижные оси связаны с твердым телом, совершаюш,им заданное движение. [c.187]

Интегралы, линейные относительно импульсов. Если среди лагранжевых координат, описываюш,их динамическую систему, имеется циклическая координата (скажем, q ), то соответствующий импульс при движении сохраняет свое значение неизменным. Докажем, что, и обратно, любая автономная система, имеюи ая пространственный интеграл, линейный относительно импульсов, при надлежащем выборе лагранжевых координат может быть описана как система с циклической координатой. [c.522]

Интересно отметить, что при ином выборе лагранжевых координат в данной задаче можно добиться фактического равенства линейных элементов пространства конфигураций и его тонологического эквивалента — поверхности цилиндра. Имеем [c.555]

Обыкновенно, когда говорят о лагранжевых координатах голономной системы, то предполагают, что эти координаты все существенны, т. е.,что число их равно числу степеней свободы системы. Здесь следует отметить, что в выборе лангранжевых координат остается большой произвол вместо определенных я координат, можно взять п друших, связанных с первоначальными какими угодно п уравнениями [c.274]

Подводя итог, можно сказать, что задача о конечных колебаниях поршня, рассмотренная в этом разделе, может решаться различными методами. Разложение решения по малому числу Маха в эйлеровых координатах приводит к своеобразной трудности в эйлеровых координатах поршень (колеблющийся синусоидально в лагранжевых координатах) совершает довольно сложное колебание, что приводит к появлению псевдогармоник даже у источников звука. Это различие между системами координат проявляется, если учитывать в решении члены и более высокого порядка малости. При решении задач с точностью до членов вид решения не зависит от выбора системы координат. Монохроматическая волна, излучаемая поршнем, по мере распространения искажается. В идеальной среде искажение формы волны происходит беспрепятственно вплоть до образования разрыва на конечном расстоянии от поршня. Степень искажения зависит от безразмерного числа о = ггМ. Искажение может быть представлено как возникновение, взаимодействие п рост гармоник в процессе распространения волны. Спектральное представление искажения удобно тем, что многие экспериментальные методы исследования нелинейного искажения основаны на выделении спектральных составляющих из волны конечной амплитуды (см. гл. 4). [c.80]

Условия совместности Выражения (1.27), (1.28) (эйлерово описание), а также (1.36) и (1.37) в лагранжевых координатах дают компоненты тензоров конечных деформаций через производные вектора смещений. В то же время в большинстве задач теории упругости приходится находить вектор смещений по известным компонентам тензора деформаций. Это связано с тем, что дифференци альные уравнения движения упругого тела формулируют для компонент вектора смещений, а граничные условия часто задают для компонент тензора деформаций (см. 14, 15). При этом возникает вопрос, возможно ли из системы шести дифференциальных уравнений в частных производных (если считать заданными) определить три непрерывных компоненты вектора смещения. Ясно, что если решение этой системы существует, то компонентами тензора деформаций не могут служить произвольно заданные функции. Чтобы обеспечить интегрируемость системы шести дифференциальных уравнений, необходимо ввести определенные ограничения на выбор функций . Эти ограничения для линейного тензора деформаций впервые были получены в 1860 г. Б. Сен-Венаном [c.78]

Напомним в точности способы выбора координат для этого случая. Прежде всего, лагранжевы координаты <71, <72 выбираются таким образом, что <71 является угловой координатой, причем вдоль данного периодического движения равно 27ri/r, где г — период движения, а Ц2 [c.214]

Анализ напряжений состоит в исследовании внешних и внутренних сил, действующих на сплошную среду. Он также является общим для всех сред, однако выбор наиболее удобной формулировки зависит от сво ств среды. Для упругой среды наиболее удобными являются лагранжевы координаты. Однако в учебниках обычно используются эйлеровы координаты, и мы начнем с них. Основная теорема состоит в утверждении о существовании симметричного тензора второго порядка оц, такого, что сила, действующая на малый элемент площади <13, нормаль к которому имеет направляющие косинусы. Пи определяется формулой = ацП1йЗ. В частном случае параллелограмма со сторонами и 8xt [c.15]

Для сокращения времени решения на ЭЦВМ была выбрана экономичная для условий данной задачи эйлерово-лагранжева система координат и выполнены экспериментальные исследования на ЭЦВМ, связанные с выбором оптимальных шагов по пространственной координате и по времени для диапазона параметров и частот возмущений, имеющих место в котельных агрегатах. Кроме того, были исследованы различные формы конечноразностной аппроксимации и влияние вариаций экспериментальных зависимостей на граничный массовый расход. [c.53]

Последнее замечание следует сделать относительно выбора координат. В предложенных к настоящему времени методах комбинированного анализа используется система координат Эйлера x,t), поскольку она применяется при рассмотрении контрольного объема. Можно применять и другие системы координат, а именно лагранжевы и псевдолагранжевы. Если сравнивать с этими двумя системами, то использование эй.теровых координат приводит к более громоздким расчетам при анализе одномерного нестационарного течения [66]. Как будет показано ниже, метод характеристик и метод узлов на самом деле связывают подходы Эйлера и Лагранжа, и связывающее соотношение можно найти, исходя из понятия поля параметров. Однако в данный момент мы определим различные координаты для одномерной системы. В рамках подхода Эйлера рассматривается постоянный объем в пространстве, и параметры рабочего тела, мгновенно занимающего этот объем, определяются таким образом, что нет необходимости следить за отдельными частицами газа. При использовании подхода Лагранжа рассматриваются отдельные частицы и прослеживаются их траектории в поле течения. В одномерной системе рассматривается слой газа (а не отдельные частицы) и переменная л заменяется другим параметром (скажем, а для данного слоя газа), который равен величине х при = 0, и, следовательно, значение а будет изменяться от частицы (слоя) к частице (слою). Псевдолагран-жева координата т данного слоя газа обозначает массу газа, содержащегося в объеме между этим слоем и исходным слоем при = о, и поэтому каждый слой имеет свое значение т, ко- [c.344]

В СМПД разработано положение об отсутствии противоречия условиям монотонности поворотов главных осей напряженно-деформированного состояния в Эйлеровом пространстве и неподвижности, как следствие первого условия монотонности, главных осей скорости деформации в Лагранжевом пространстве, что делает возможным выбор такой переносной системы координат, оси которой за весь процесс неизменно совпадают с главными осями деформации данной рассматриваемой малой частицы тела. [c.25]

Рассуждения, в основном аналогичные тем, которые только что были проведены для выяснения смысла компонент могут быть проведены и для эйлерова тензора линейных деформаций е -. Основное различие заключено в выборе линейных элементов, которые при эйлеровом подходе должны быть направлены вдоль осей координат после деформации. Диагональные члены являются коэффициентами относительного удлинения, а недиагональные — деформациями сдвига. Для таких деформаций, для которых верно предположение = е,у, разницы между эйлеровым и лагранжевым подходами нет. [c.125]

В механике сплошных сред используются два типа координат пространственные — эйлеровы и материальные ( вмороженные в тело ) — лагранжевы (К. 3. Галимов, 1946—1955 И. И. Гольденблат, 1950, 1955 В. В. Крылов, 1956 Д. И. Кутилин, 1947 В. В. Новожилов, 1948). Более удобными в нелинейной теории являются материальные координаты (В. В. Новожилов, 1958), в которых значительно проще формулируются граничные условия и деформационные гипотезы (например, гипотеза прямой нормали в теории пластин и оболочек, гипотеза плоских сечений в теории изгиба балок). Если же рассматривать не сам процесс деформации, а (как это и делается в теории упругости) только начальное и конечное положения тела, то введение пространственных координат становится излишним (Л. И. Седов, 1962). При этом величины, характеризующие деформацию и равновесие тела, можно относить либо к недеформированно-му, либо к деформированному материальному координатному базису. Подробно о выборе координатных векторных базисов и связи между ними сказано в монографии Л. И. Седова (1962). [c.72]

К — некоторая инвариантная функция от 1 , Т, и их производных по лЯ до любого порядка лЯ — лагранжева система координат, связанная с деформируемой средой 9 — компоненты метрического тензора недеформированного пространства, ассоциированного с деформируемым телом выбор начального состояния связан с определенным произволом мы полагаем, что в начальном состоянии тело представляет собой недеформируе-мый идеальный монокристалл дт — компоненты метрического тензора деформированного пространства Т — абсолютная температура. Для характеристики полей деформаций подвижных дислокаций на основании разработанных в континуальной теории дислокаций аналогий электромагнитного поля Максвелла и поля внутренних источников напряжений в функционал W вводятся компоненты тензора дисторсии и компоненты тензора плотности потока дислокаций. [c.84]

Такая операция может быть проведена бесчисленно различными способами, и любой из них представит нам независимый параметр, время , для построения лагранжева формализма для системы материальных точек. С точки зрения выполнения релятивистской инвариантности и причинности все эти времена равноправны. Чтобы сузить класс времен , удобных для физики, уместно вспомнить, что лагранжев формализм служит основой для получения по теореме Нётер сохраняющихся величин, и что согласно замечанию 2 в 1.5.2 эти величины приобретают особенно простую—аддитивную — форму для тех преобразований симметрии, которые не затрагивают независимой переменной. Чтобы не упустить эту возможную выгоду, надо, очевидно, наложить на выбор семейства гиперповерхностей а то ограничение, чтобы — хотя бы для некоторых преобразований симметрии 4-пространства (т. е. — элементов неоднородной группы Лоренца)—соответствующие преобразования координат Xai X) частиц не затрагивали бы независимую переменную X. [c.183]

Система уравнений решается в области / О, О s Л/ = Л/ .ф + + Л/пл, где М — масса веш ества в ускорителе, отнесенная к единице площади поперечного сечения (так называемый единичиый ускоритель). Величина массы М неизменна во времени, в то время как составляющие ее масса конденсированной фазы (диэлектрика) Л/ ,ф и масса плазмы Мпл изменяются в процессе фазового перехода. Указанное обстоятельство делает целесообразным использоваппе в задаче лагранжевой массовой переменной , ибо в этом случае границы пространственной области О s М оказываются неподвижными по массо. Ксли же систему уравиений (7.1) решать лишь в области, занятой плазмой Мпл(0, то возникает дополнительная задача определения на каждый момент времени положения границы области Кроме того, лагранжевы массовые переменные удобны при анализе процессов вблизи границы плазмы с диэлектриком, где в узкой пространственной зоне происходит резкое (на несколько порядков) изменение плотности. Использование в этом случае эйлеровых переменных привело бы к значительным трудностям при выборе в этой зоне разностной сетки. Будем считать, что левая граница области О < s М — точка s = О — соответствует левой границе диэлектрика, а координата s = М — границе плазмы с вакуумом. Подобласть 0 5<М ф(/) отвечает конденсированной фазе (диэлектрику), а Л/ ,ф(/) (Л/— 71/ .ф(г) = = М л) —зоне, запятой плазмой. Точка s ( ) = Мк.ф (О есть положение поверхности, где осуществляется фазовый переход. В процессе расчетов она явно не выделяется, благодаря использованию однородных разностных схем расчет осуществляется скво.чным образом. При s = О и s = М ставятся следующие краевые условия [c.352]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...