Устойчивость по линейному приближени с / Ф const и (или) N Ф const

Докажем теперь, что оба определения устойчивости означают, по существу, одно и то же С-устойчивость означает / -устойчивость, а / -устойчивость означает С-устойчивость. Аналогичные утверждения справедливы и в отношении асимптотической устойчивости, а также неустойчивости. Доказательство этих утверждений основано на следующей лемме. Пусть х (t), как и ранее, обозначает траекторию, начинающуюся в точке ж (0). Если в момент t = О изображающая точка находится в положении ас (0), та в момент t она занимает положение x(t). За промежуток времени О i изображающая точка проходит отрезок траектории, который мы будем называть т-сегментом, начинающимся в эс (0). Возьмем положительное число г, и пусть S (г) будет множеством точек всех т-сегментов, начинающихся в точках х(0) внутри гиперсферы радиуса г, описанной вокруг точки О. Пусть г будет верхней гранью расстояний точек множества S (г) от точки О. При указанных условиях г будет непрерывной монотонно возрастающей функцией от г, обращающейся в нуль вместе с г. Положим г = f (г ) функция / (г ) непрерывна и монотонно возрастает, причем / (0) = О и О С / (г ) г, если г > 0. (В частном случае линейного приближения / (г ) = Кг, причем К = onst и О < < 1.) [c.421]

IV.2. Вращение волчка вокруг своих главных осей. В случае несимметричного волчка (см. рис. 46а, б) вращение вокруг главных осей, соответствующих наибольшему или наименьшему моментам инерции, является устойчивым, а вращение вокруг оси, соответствующей среднему главному моменту, — неустойчивым. Для аналитического доказательства этого предложения нужно исходить из уравнений Эйлера и принять угловую скорость вращения вокруг оси, равной р = onst = ро- Угловые скорости вращения q и г вокруг остальных двух главных осей инерции, которые вначале равны нулю, под влиянием внешнего возмущения принимают отличные от нуля значения. Если предположить, что возмущение мало, то из первого уравнения Эйлера следует, что р в первом приближении остается неизменным и равным р + 0. Из остальных двух уравнений получаем для q и г систему двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Полагая q = и г = где а иЬ произвольные константы, получаем квадратное уравнение для Л, из рассмотрения которого и вытекает высказанное нами выше утверждение. [c.326]

Эти уравнения называются уравнениями первого приближения или уравнениями в вариациях. Уравнения (2.44) являются линейными, причем во многих случаях (например, при анализе устойчивости положения равновесия автономных систем и линейных систем с постоянными параметрами) коэффициенты dXjld = = Ьу4 = onst. В этих случаях для суждения об устойчивости необходимо составить характеристическое уравнение [c.73]

В данном А. М. Ляпуновым определении устойчивости предполагается, что возмущающих сил нет в том смысле, что возмущенные движения происходят под действием тех же внешних сил, которые учитываются при определении невозмущенного движения. Задача об устойчивости при возмущающих силах не имеет смысла, если последние ничем не стеснены. Если возмущающие силы меняются от случая к случаю так мало, что их изменение не влияет на линейные члены в правых частях уравнений возмущенного движения, возникает практически важная задача об устойчивости по первому приближению, независимо от членов выше первого-порядка в функциях Xs- Эту задачу Ляпунов разрешил своими теоремами об устойчивости по первому приближению. Для случая, когда в уравнениях (9.2) Psr = onst и невозмущенное движение устойчиво по первому приближению, Н. Г. Четаев (1946) выяснил те свойства функций Х в уравнениях (9.1), при которых проходит доказательство теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Он показал, что если для произвольного числа > О, как бы мало оно ни было, функции Х могут быть стеснены неравенствами j < Я, где X обозначает число, построенное по способу Ляпунова в доказательстве его теоремы об устойчивости, то невозмущенное движение будет устойчивым независимо от численных значений Хд. [c.51]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...