Устойчивость по линейному приближени

Суждение об асимптотической устойчивости по линейному приближению. Вернемся к уравнениям линейного приближения (15). Из того факта, что решения системы уравнений линейного приближения (15) имеют вид [c.219]

Устойчивость по линейному приближению.. .....219 [c.6]

УСТОЙЧИВОСТЬ по ЛИНЕЙНОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ 219 [c.219]

Устойчивость по линейному приближению [c.219]

Устойчивость по линейному приближению. В предыдущих разделах этого параграфа анализ устойчивости положения рав- [c.383]

Второй метод—исследование устойчивости по линейному приближению. Напр., линеаризация (6) вблизи стационарных решений Хс даст [c.255]

Выводы. Проведенные исследования показали определенную разницу в изучении устойчивости процессов по отношению ко всем и по части переменных. При этом трудности, возникающие при исследовании ЧУ-задачи в ряде случаев (например, уже при исследовании устойчивости по линейному приближению), по-видимому, непросто преодолеть. [c.58]

Развитие теоремы Ляпунова-Малкина об устойчивости по линейному приближению [c.115]

В русле данного направления исследований ЧУ-задачи по линейному приближению определенную завершенность получили результаты, восходящие к очень часто используемой в приложениях теореме Ляпунова-Малкина [Малкин, 1966] об устойчивости по линейному приближению в критических по Ляпунову случаях. [c.115]

Итак, устойчивость по линейному приближению имеет место, если средняя (по х) напряженность электрического поля ио/Н достаточно мала по сравнению с характеристикой натяжения мембраны /Т/а. Вследствие монотонности правой части неравенства (15) по 7 представляется достаточным его выполнение при п = 1, т.е. для 71. Поскольку имеет место сильное неравенство 1, то [c.50]

Консервативно устойчивой здесь и в дальнейшем называется консервативная система, устойчивая по линейному приближению [c.264]

Устойчивость по линейному приближению. Любая точка фазовой плоскости, не являющаяся неподвижной, называется обыкновенной точкой. В окрестности обыкновенной точки решение ( 19.1) устроено очень просто. В ней можно выделить специальную окрестность — трубку траекторий, образованную траекториями системы. Траектории входят в трубку на одном ее торце и выходят на другом. Вблизи особых точек решения устроены намного сложней. Ни одна из траекторий, начинающаяся в обыкновенной точке, не может прийти в особую точку за конечное время. [c.165]

Исследование устойчивости по линейному приближению. Пусть Хп — С1п — особая точка системы (26.1) с гамильтонианом Н — Н[г). Полагая Хп = п + Уп, разложим Я(г) в ряд Тейлора [c.268]

Замечание 3. Для критических значений радиусов (гм) сделать заключение об устойчивости по линейному приближению невозможно. В этом случае необходимо исследовать нелинейную устойчивость [3]. [c.423]

При а>0 уравнение (1.13.1) допускает решение 7 = 0 то же д = Ь остается решением и при а<0. Взглянув на рис. 1.13.2, мы сразу же заметим, что положение д = О при а<0 неустойчиво. Однако во многих случаях, представляющих практический интерес, мы можем не опираться на существование потенциальной кривой (например, такой, как показано на рис. 1.13.2), а использовать другой подход — анализ устойчивости по линейному приближению. Введем для этого небольшое зависящее от времени возмущение и и запишем решение д уравнения (1.13.1) в виде [c.60]

Так как а = —а>0, и (/) возрастает экспоненциально. Это свидетельствует о том, что состояние <7о = О неустойчиво. В гл. 2 и 3 мы изложим анализ устойчивости по линейному приближению в общем виде. В частности, мы рассмотрим случай, когда неустойчивым становится не только константа-решение <7о, но и движение по предельному циклу или по тору. Последняя проблема приводит нас в весьма странную область квазипериодических движений, где было сделано еще больше открытий (в число которых вносит свой вклад и эта книга). После того как анализ устойчивости произведен, возникает очередной вопрос в какие новые состояния перейдет система. При ответе на него для синергетики наибольшее значение имеют два понятия параметр порядка и принцип подчинения. Для того чтобы пояснить их, рассмотрим два дифференциальных уравнения [c.61]

В этом случае единственно возможный аттрактор есть устойчивая неподвижная точка ( одномерный узел ), а траектория этого аттрактора есть постоянная д = соответствующая положению особой точки. Для того чтобы доказать устойчивость точки д = выполним анализ устойчивости по линейному приближению, изложенный нами в общих чертах в разд. 1.13. Для этого подставим в (1.14.15) [c.70]

Итак, под ы и 5 надлежит понимать моды, которые при анализе устойчивости по линейному приближению характеризуются свойствами (8.2.1), (8.2.2). После этих предварительных замечаний мы разобьем уравнение (8.1.18) по индексам 1, 2,. .. на уравнения [c.266]

Первые этапы последуюш,ей процедуры хорошо известны из предыдущих глав. Будем считать, что и при дальнейшем увеличении управляющего параметра а, в частности, когда а оказывается в области, где старый тор теряет устойчивость по линейному приближению, решение представимо в виде (8.9.6). [c.296]

Итак, исследуем устойчивость по линейному приближению. Для этого рассмотрим уравнение [c.296]

В силу монотонности (1) функция 1ро положительна, и если выполнены условия (2.8), то в соответствии с теорией Штурма - Лиу-вилля нуль является простым собственным значением соответствующего оператора, определяющим верхнюю границу его спектра. Тем самым если выполнены условия (2.8), то выполнены и условия устойчивости по линейному приближению (линейной устойчивости). [c.126]

При исследовании устойчивости стохастических систем используется, в частности, метод функций Ляпунова. В этом случае важную роль играет введенный ранее оператор L, имеющий смысл полной производной по времени в силу динамических уравнений. Условия устойчивости по вероятности в смысле указанного выше определения сводятся к существованию положительно определенной функции V такой, что Z, F < 0. Ввиду известных трудностей применения этого метода, связанных с нахождением функции V, часто пользуются упрощениями в постановке задач. При этом можно рассматривать малые случайные возмущения, для которых малы вероятности больших флуктуаций. Условия устойчивости для задач такого рода являются более простыми и (при ограниченности первых двух моментов воздействий) сводятся к ограничению снизу спектра матрицы невозмущенной системы некоторой простой функцией этих моментов. Можно также рассматривать устойчивость по линейному приближению. Хотя полученные в та- [c.348]

Для рассмотрения устойчивости по первому приближению в системе уравнений (8 ) в правой части выделяются линейные слагаемые. При этом ограничимся случаем, когда время не входит явно в правую часть уравнений [c.652]

Опасная зона начальных условий при жесткой потере устойчивости может быть очень узкой ее бывает нелегко обнаружить при вычислениях. В этом — существенная разница между уравнениями, лежащими вблизи границы устойчивости,, и уравнениями, неустойчивыми по линейному приближению, с большим инкрементом (максимальной вещественной частью собственного числа). [c.40]

Как будет видно из дальнейшего, взгляды автора на линейную устойчивость или устойчивость по первому приближению не совпадают с общепринятыми. (Прим. ред.) [c.352]

Таким образом, показано, что поступательное движение твердого тела на круговой орбите при а < 1 и а > % неустойчиво по Ляпунову, а при 1 < < 7з устойчиво в линейном приближении. Более детальное исследование позволяет показать, что на самом деле при выполнении условия (18) движение будет устойчиво по Ляпунову не только в линейном приближении, но и в рамках полных нелинейных уравнений возмущенного движения . [c.542]

При этом предполагалось, что правые части X х ,. .., х , t) — непрерывные функции. В настоящее время выяснено, что следует понимать под линейным приближением при разрывных правых частях Xi, и установлен соответствующий критерий устойчивости по линейному приближению как в периодическом случае, так и в некоторых непериодических случаях. См. Айзерман М. А. и Г а н т м а X е р Ф. Р., Прикладная математика и механика, т. 21, вып. 5, 1955 и Ливартовский И. В., там же, т. 23, вып. 3, 1959, [c.220]

Обобщение теоремы Ляпунова об устойчивости по линейному приближению. В 70-х годах XX столетия А.С. Озиранер [1973] и В.П. Прокопьев 1975] инициировали изучение возможностей переноса фундаментальных результатов Ляпунова [1892] об устойчивости по линейному приближению на случай ЧУ-задачи. [c.111]

Отметим, что для стохастических систем Ито, в отличие от систем со случайными возмущениями более общего вида, существует достаточно продвинутая теория устойчивости по линейному приближению [Хасьминский, 1969]. Имеется некоторый анализ данной проблемы [Воротников, 1983Ь, 1991а, 1998 применительно к ЧУ-задаче. [c.272]

До сих пор мы рассматривали качественные изменения времен" ного поведения систем возбуждение колебаний, колебания с несколькими частотами, субгармонические колебания и т. д. Однако во многих физических, химических и биологических системах не следует пренебрегать пространственной зависимостью переменных системы. Например, в разд. 1.2.1 было показано, что пространственные структуры могут возникать в жидкости. В простейшем случае исходное состояние пространственно однородно. При некотором значении параметра управления однородное решение, как показывает анализ устойчивости по линейному приближению, может стать неустойчивым. Итак, требуется рассмотреть линейные уравнения вида [c.75]

Основная цель этой книги состоит в изучении резких макроскопических изменений систем. Как было показано во введении, такие изменения могут наступить, когда система теряет устойчивость по линейному приближению, В точке, где происходит потеря устойчивости, становится возможным исключить очень большое число степеней свободы, поэтому макроскопическое поведение системы зависит лишь от весьма небольшого числа степеней свободы. В этой главе мы хотим показать в явном виде, каким образом вблизи точки, в которой происходит потеря устойчивости по линейному приближению, можно исключить большинство переменных. Такие точки потери устойчивости называются критическими. Предлагаемый вниманию читателя метод прост и охватывает большинство практически важных случаев. Основные идеи метода мы покажем на простом примере (разд. 7.1), после чего изложим наш метод для нелинейных уравнений в общем случае (разд. 7.2—7.5) Основные предположения и допущения перечислены в разд. 7.2, окончательные результаты приведены в разд. 7.4 (до формулы (7.4.5) включительно). Разд. 7.3 и конец разд. 7.4 посвящены вопросам, носящим более технический характер. Остальную часть этой главы мы отводим обобщению принципа подчинения на случай дискретных отображений с шумом и на стохастические дифференциальные уравнения типа Ито (и Стратоновича) (разд. 7.6—7.9). [c.224]

Решение Яо допускает продолжение в область значений управляющего параметра, лежащую за пределадш этого диапазона, но при этом теряет устойчивость по линейному приближению. Чтобы исследовать устойчивость решений уравнения (9.1.3), мы полагаем [c.314]

Сформулируем теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению [16, 17, 21]. Они дают возможность решить задачу об устойчивости невозмущенного движения нелинейной системы уравнений (2.8) рассмотрением лишь линейной системы уравнений первого приближения (2.9) независимо от выбора векторчрункции Р. [c.83]

Полностью вопрос об устойчивости в этом случае не может быть решен рассмотрением линейной задачи. Согласно теореме Ляпунова об устойчивости по первому приближению строюе решение возможно лишь при учете нелинейных членов в уравнениях возмущенного движения. [c.84]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...