Дифференциальные обыкновенные высших порядко

Более сложные и более точные процедуры могут быть построены по аналогии с тем, как строятся методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка точности. [c.281]

Современные электронные моделирующие вычислительные машины позволяют решать обыкновенные дифференциальные уравнения высоких порядков (32 и более). [c.347]

I 4. Теория С. Ли применительно к системам обыкновенных дифференциальных уравнений излагается в сравнительно небольшом числе работ. Элементарное введение приведено в книгах [1, 25]. Работа [123] посвящена обыкновенным дифференциальным уравнениям высокого порядка. Вопрос понижения [c.264]

Построение разностных схем для обыкновенных дифференциальных уравнений более высоких порядков, а также дифференциальных уравнений в частных производных принципиально не отличается от их построения для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Тем не менее применительно к уравнениям в частных производных возникают и некоторые специфические трудности, связанные, например, с выбором сетки, большим разнообразием возможных вариантов построения разностных схем, выбором способов их решения и т. д. [c.60]

Существуют широко известные методы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений типа Адамса, Рунге—Кутта и др. Однако они мало пригодны для интегрирования систем высокого порядка, так как, будучи условно устойчивыми, требуют тем не менее выполнения большого числа арифметических операций на каждом шаге. В связи с этим применительно к матричному уравнению вида(10.32) разработано несколько специальных процедур здесь будут рассмотрены две из них. [c.375]

Из четырех начальных функций две известны из граничных условий по краю у = О, две другие следует найти из условий по краю пластины у = к. Предположим, например, что край пластины у = О свободен от закрепления и нагрузки, а по другому краю пластины у = к действуют произвольные касательная р х) и нормальная д х) нагрузки (рис. 2). В таком случае начальные функции Хо, Уо обращаются в нуль и, приравнивая две последние компоненты вектора р (7) соответственно заданным р(х) и д х) нагрузкам, получим искомую систему обыкновенных дифференциальных уравнений бесконечно высокого порядка для определения начальных функций ио х) и Уо х). Эти уравнения с учетом зависимостей (5), (6) могут быть записаны следующим образом [c.141]

Теперь понятие плотности вероятностей не всегда имеет смысл, и приходится рассматривать уравнение в вариационных производных для характеристического функционала решения задачи,. которое в этом случае играет роль стохастического уравнепия Лиувилля и называется уравнением Хопфа (см., например [29]). Усредняя последнее по ансамблю реализаций стохастических параметров, получаем замкнутое уравнение в вариационных производных. Полученное уравнение для характеристического функционала представляет собой бесконечномерный аналог уравнений, соответствующих обыкновенным дифференциальным уравнениям и квазилинейным уравнениям в частных производных. Если же исходное уравнение само является линейным, то несущественно, какие у него производные (первого или более высокого порядка по пространственным переменным) важно лишь выполнение условия причинности (т. е. уравнение должно быть первого порядка по времени и для него должна ставиться задача Коши). Если условие причинности нарушается, т. е. мы имеем не задачу Коши, а краевую задачу, то в этом случае надо воспользоваться теорией инвариантного погружения, сводящей краевые задачи к задачам Коши для вспомогательных уравнений. [c.164]

Результаты п. 8 1 для эллиптических операторов высокого порядка могут быть уточнены для обыкновенных дифференциальных операторов. Приведем здесь некоторые теоремы в этом направлении. [c.204]

Если уравнение солитона сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка, то этот метод по точности уступает другим. Если же нелинейное уравнение содержит производные высокого порядка или оно дано в частных производных, его лучше решать этим методом. В [2.6] найдено аналитическое решение (2.47), приведенное в 2.2. Сравнение результатов счета по методу стабилизирующегося множителя с этим решением показывает их хорошее согласие, что дает основание для использования этого метода для исследования и других, более сложных случаев. Эти случаи рассмотрены в следующем параграфе. [c.40]

Ошибка округления может играть главную роль при нахождении высокоточных решений обыкновенных дифференциальных уравнений, поскольку величина шага Ал может стать очень малой и поскольку используются схемы высокого порядка точности, чувствительные к ошибкам округления. Для дифференциальных уравнений в частных производных в одномерном случае величины Ах и М могут также оказаться столь малыми, что ошибка округления будет играть важную роль. Ошибка округления важна и в некоторых задачах обращения матрицы (см. разд. 3.2.8). Эта ошибка будет оказывать влияние на выбор критерия сходимости (см. разд. 3.4) и, очевидно, будет ограничивать наименьшую величину шага по времени А/, для которой вычисления имеют смысл. [c.169]

Те, кто знаком только с численными методами для обыкновенных дифференциальных уравнений, постоянно удивляется низкому порядку аппроксимации в схемах, применявшихся в прошлом для дифференциальных уравнений в частных производных. Причина этого просто заключается в том, что для нетривиальных задач гидродинамики трудно добиться фактического получения результатов равномерно высокого порядка точности. В полной задаче точность решения уравнения переноса вихря будет ограничена точностью решения уравнения Пуассона (см. разд. 3.2) и постановкой граничных условий "(см. разд. 3.3.1). Последняя особенно увеличивает трудность достижения равномерно высокого порядка точности для задачи в целом при использовании стандартных многоточечных уравнений высокого порядка точности, таких, которые рассматриваются в разд. 3.2.10. (Например, вблизи прямолинейной границы, обычно параллельной одной из осей координат, для схемы с ошибкой порядка О Ах ) требуется знать значения на границе и в пяти ближайших внутренних точках см. Саусвелл [1946].) Исследовать устойчивость таких схем очень трудно, хотя здесь на помощь может прийти понятие расщепления по времени (разд. 3.1.13). [c.170]

Другая причина, объясняющая получение часто не оправдывающих ожидания характеристик схем высокого порядка для дифференциальных уравнений в частных производных, заключается в том, что порядок точности схем имеет смысл только при Ах—>-0, А/- 0. Таким образом, порядок точности схем имеет большее значение в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, когда требуется меньший объем оперативной памяти и допустимое время расчетов позволяет брать значительно меньшие шаги Ах. [c.170]

Тем не менее в настоящее время проводится разработка схем более высокого порядка точности, и, по-видимому, они найдут более широкое применение в вычислительной гидродинамике. В первом издании этой книги (1972 г.) мы повторяли обычную благоразумную мысль при переходе к схемам высокого порядка точности из-за потери информации при дискретизации граничных условий для дифференциальных уравнений в частных производных практически следует ожидать только умеренного улучшения точности по сравнению с обыкновенными дифференциальными уравнениями теперь же у нас возникли серьезные сомнения в справедливости этого соображения. Правда, практические трудности, оказывающие влияние на точность схем второго порядка, — трудности, связанные с граничными условиями и со сложной формой границы, определение соответствующего решения уравнения Пуассона и проблема сеточного числа Рейнольдса, — все эти трудности становятся более щекотливыми при получении решений более высокого порядка точности к тому же скорость сходимости не всегда равномерно велика во всех точках двумерной сетки. Тем не [c.171]

В методе интегральных соотношений область разбивают кривыми линиями, форма которых определяется видом границы области интегрирования. Произвольность выбора аппроксимирующих функций позволяет найти достаточно точное решение при сравнительно небольшом числе полос, что существенно при практических расчетах. Однако если аппроксимирующая система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет высокий порядок, то эффективность метода сохраняется лишь в случае, когда он дает достаточно точное решение уже при небольшом порядке этой системы. [c.182]

Система обыкновенных дифференциальных уравнений или соответствующая им система дробно-рациональных передаточных функций, описывающая динамические процессы в блоке, обычно имеет очень высокий суммарный порядок (150—200). Порядком уравнений определяется число необходимых для моделирования интегрирующих усилителей и, в конечном итоге, мощность АВМ. [c.345]

Аналого-цифровой вычислительный комплекс третьего поколения типа АЦВК-3 [6] предназначен для машинного моделирования с повышенной точностью сложных динамических систем и объектов, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравненнй высокого порядка. Он пригоден также для аналого-цифровых вычислений и инженерных исследований в ряде областей науки и техники. В состав комплекса входят АВМ типа АВК-32 и устройство типа УПС, служащее для преобразования данных и сопряжения аналоговой машины комплекса с внешней цифровой вычислительной машиной (ЦВМ). [c.349]

Математической моделью технического объекта на макроуровне является система обыкновенных дифференциальных уравнений, в общем случае не разрешенная относительно производных, т. е. F(v, v, /)=0. где v — вектор фазовых переменных t — время, независимая переменная F — вектор-функция v = dvldt. Подобную систему уравнений в общем случае можно решить только с помощью численных методов интегрирования, поскольку эта система высокого порядка и нелинейна. Результат решения ММ системы (ММС) — зависимости фазовых переменных от времени. [c.114]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...