Волновая функция локализованного состояни

Вероятно, самым простым случаем, который может быть рассмотрен, является переход между локализованным состоя-, пнем, создаваемым мелкой примесью, и параболической зоной. -Ряд весьма полезных идей может быть проиллюстрирован этим простым примером. В приближении эффективной массы волновая функция локализованного состояния может быть записана следующим образом [55J [c.170]

Проводимость, связанная с носителями, которые совершают перескоки между локализованными состояниями вблизи уровня Ферми. Этот процесс аналогичен прыжковой проводимости по примесям в сильно легированных компенсированных полупроводниках. В области локализованных состояний электрон с заданной энергией не может удалиться достаточно далеко от своего центра локализации. Хотя может существовать перекрытие волновых функций некоторых состояний, отвечающих достаточно близким потенциальным ямам, его недостаточно для того, чтобы проводимость системы при Т=0 К была отлична от нуля. В области локализованных состояний стационарный перенос заряда может происходить лишь путем перескоков носителей [c.361]

В гл. 4 мы получили распределение энергии в когерентном состоянии, вычислив скалярное произведение когерентного состояния и состояния с определённой энергией. При аппроксимации волновой функции стационарного состояния дельта-функцией, локализованной в классической точке поворота, естественным образом получаются полуцелые квантовые числа. В гл. 8 тот же результат был получен на основе формализма площади перекрытия. Однако стандартная асимптотика распределения Пуассона не приводит к нужному результату. В данном приложении мы используем уточнённую формулу Стирлинга, чтобы получить правильное выражение с полуцелыми квантовыми числами. [c.696]

Мы тем не менее будем описывать как электроны, так и дырки в изоляторах на основе зонных представлений, а в п. 3—5 настоящего параграфа увидим, как следует изменить эту картину для достаточно узких валентных зон.Начнем с описания метода нахождения зонной структуры на основе приближения сильной связи. Об этом методе применительно к одномерному случаю мы кратко говорили в п. 3 5 гл. I. Тогда же мы упоминали, что, если состояния можно приближенно описывать исходя из атомных волновых функций, локализованных на отдельных атомах, соответствующие энергетические зоны окажутся очень узкими. Поэтому очень большими окажутся эффективные массы. Такое поведение свойственно вычисленным валентным зонам ионных кристаллов, в то время как их зоны проводимости оказываются довольно широкими. [c.171]

Так как вследствие перехода локализованное внутреннее состояние заполняется, возникают некоторые изменения и в остальных состояниях. В частности, присутствие дырки во внутренней оболочке приводит к существованию ненулевой фазы в волновых функциях зоны проводимости, в то время как после перехода эта фаза равна нулю. Если не возникает связанного состояния, то можно показать, что перекрытие волновых функций каждого состояния зоны проводимости до и после перехода отличается от единицы на величину порядка обратной величины числа атомов 1/А . Однако в интеграл перекрытия входит произведение N таких отдельных интегралов перекрытий и не ясно, окажется ли результат близким к единице или нет. Фридель предположил, что реализуется последняя возможность, однако не смог точно вычислить интеграл перекрытия. Совсем недавно Андерсон (38) в связи с другой задачей нашел, что полный интеграл перекрытия дается приближенно следующим выражением ) [c.389]

Рассмотрим систему атомов Не при абсолютном нуле в отсутствие внешнего давления. Наиболее вероятная конфигурация атомов определяется волновой функцией основного состояния, которая, согласно вариационному принципу, должна минимизировать полную энергию системы при отсутствии внешних связей. Следовательно, наиболее вероятная конфигурация полностью определяется только энергетическими соображениями. Приведем следующее качественное рассуждение. Хорошо локализованный атом Не должен помещаться внутри области размером Ах, где Ах мало по сравнению с радиусом [c.417]

Пусть теперь энергия электрона соответствует одной из запрещенных зон неограниченного кристалла, т. е. k E) является комплексной величиной. Условие конечности волновой функции (7.115) в этом случае будет выполнено, если один нз коэффициентов А или Лг (в зависимости от знака мнимой части k) положить равным нулю. Тогда (7.117) и (7.118) превращаются в два линейных однородных уравнения с двумя неизвестными. Они имеют решение только при таком значении энергии, при котором определитель системы равен нулю. Все остальные значения Е запрещены. Таким образом, ограничение кристалла поверхностью приводит к тому, что в области энергии, соответствующей запрещенной зоне неограниченного кристалла, появляются разрешенные энергетические уровни. Эти состояния, локализованные вблизи поверхности, и получили название поверхностных уровней (состояний). Волновые функции, соответствующие поверхностным состояниям, экспоненциально затухают по мере удаления от поверхности. В области вакуума -ф-функция затухает монотонно, а в об-1G-221 24 f [c.241]

Выше было показано, что для кристаллического твердого тела, обладающего идеальной периодичностью, плотность состояний на краях зон резко уменьшается до нуля. Вторым важным следствием периодичности является то, что состояния не локализованы в пространстве, т. е. волновая функция распространяется по всей решетке. Локальные нарушения периодичности, связанные с введением в кристалл атомов примеси пли дефектов, приводят к появлению отдельных разрешенных состояний в запрещенной зоне. В отличие от зонных состояний эти состояния локализованы в пространстве, т. е. электрон, находящийся в области одного из примесных центров, не расплывается по другим центрам. Его волновая функция экспоненциально спадает до нуля, т. е. остается локализованной. [c.356]

Единственным типом волновой функции, энергия которой может лежать внутри одной из запрещенных зон, является волновая функция электрона, локализованного около какого-нибудь дефекта решетки. Число таких локализованных состояний, обусловленных примесями или беспорядком, гораздо меньше числа состояний в разрешенной зоне. [c.79]

Выше мы рассмотрели энергетические состояния и волновые функции электронов в модели, когда электроны принимались де-локализованными в пространстве, слабо связанными с ионами. Полученные результаты, в частности появление зон разрешенных и запрещенных энергетических состояний, эффективной массы электрона и связанные с этим явления имеют большое значение в физике твердого тела. [c.79]

Когда волновые функции затухают, они соответствуют одному состоянию, локализованному около примесного атома, и другому, локализованному вблизи поверхности. В этой ситуации возможно формирование локализованных ковалентных поверхностных связей между примесным атомом и поверхностью кристалла. [c.311]

Если сравнить рис. 4.16 с соответствующим рис. 4.8 для когерентного состояния, то видно, что теперь волновая функция фщ узкая по сравнению с длиной волны энергетической волновой функции Пт-Следовательно, фщ действует, по-существу, как дельта-функция, локализованная в точке X = л/2 а/х, то есть [c.155]

Рассмотрим характер электронных состояний при энергиях, соответствующих хвосту плотности состояний (или. вблизи него). Внутри зоны электронные состояния являются распространенными, т. е. их волновые функции отличны от нуля во всем объеме. Это не имеет места в хвосте плотности состояний. Соответствующие состояния могут быть локализованными в том смысле. что электрон, помещенный в некоторую область пространства с отрицательной флуктуацией потенциала, не может при нулевой температуре диффундировать в другие области с аналогичными флуктуациями потенциала. Мотт [c.94]

Если бы система функций ) была полной, то ьа = 0. В действительности г ) соответствуют лишь глубоким локализованным состояниям. Поэтому выбор псевдопотенциала в форме (14.12) практически оставляет неизменным потенциал вне ионных сердцевин и почти нацело уничтожает большой отрицательный потенциал внутри сердцевины, тем самым обуславливая гладкость волновой функции. [c.260]

Более существенным, чем существование поверхностных состояний, является принятое прн этих расчётах предположение, что любому местному нарушению периодичности или скачку непрерывности в решётке, периодичной в остальной своей части (рис. 161), можно сопоставить связанные электронные состояния. Пусть, например, у нас имеется бесконечная одномерная решётка, как в модели Кронига-Пенни, и мы изменяем потенциал в одной единственной ячейке, понижая его от нуля до —ит. Тогда легко показать с помощью изложенного выше метода, что в запрещённых областях энергии имеются уровни, соответствующие электронам, локализованным вблизи этой ячейки. Если ячейка простирается от — а до О, то в этой области возможны волновые функции вида [c.342]

Но за счет этого потока энтропии в стенке могут происходить необратимые процессы типа запоминания информации о факте удара частицы о стенку. Можно сказать, что этот рост энтропии свидетельствует о своего рода "измерении", проведенным над частицей. Его можно представить себе как некоторый процесс разрушения взаимно когерентных частей волнового пакета. Грубо говоря, если величина А5е 1, то волновой пакет может расщепиться на две взаимно некогерентные половины. При этом осуществляется коллапс волновой функции одна из ее половин уничтожается, и тем самым увеличивается запас информации, т.е. "знания" у холодной стенки в отношении пакета, но это знание "покупается" ценой увеличения энтропии стенки А5е 1. Если такой процесс повторяется многократно, то волновой пакет частицы будет в среднем удерживаться в локализованном состоянии. Ширину локализации пакета можно оценить с помощью соотношения (61), которое описывает расширение пакета со временем, если его начальная локализация была равна Ь (л ) =Ь + Если пакет "поджимается" при последователь- [c.77]

Рассмотрим теперь, что происходит с падением и последующим отражением квантовой частицы от макротела с фиксированной границей. Если налетающее "облако" ф или матрицы плотности частицы являются достаточно протяженными, то картина будет мало отличаться от классической. Независимо от того, является ли падающее состояние чистым или смешанным, от границы тела при неупругом взаимодействии (с соответствующим "измерением" внутри тела) отразится сильно локализованное "облако". Возникнет лишь ограничение на неопределенность координаты и импульса, соответствующее соотношению неопределенностей Гейзенберга. Но если граница макротела сама имеет неопределенность, отвечающую излишне протяженной волновой функции макротела, то картина [c.105]

Допустим теперь, что эта волна измеряется прибором Р, т.е. из нее выделяется локализованный по у пакет вида фр = ехр[1А л - )р-/2Ь ), где Ь — ширина локализации пакета. Чтобы "спроектировать" волновую функцию на это состояние, достаточно умножить ее на 1/ р и проинтегрировать результат по х,у. В результате получаем выражение, пропорциональное экспоненте [c.151]

Для оценки Мотб, определенного выражением (3.6.8). предположим. что волновая функция локализованного состояния имеет форму ls-орбитали атома водорода [58] [c.173]

Начнем с гамильтониана системы. Введем базисные локализованные состояния / ) примесного атома в кристаллической решетке. В качестве волновых функций этих состояний можно взять, например, так называемые функции Ваннье [92] (Pi r) = где а — индекс примесонной зоны, а вектор 1 определяет центр области локализации примесного атома в междоузлии. Гамильтониан примесей в представлении вторичного квантования имеет вид [c.412]

Особый тип электронных состояний, которые условно можно назвать "квазиповерхностными", соответствует дефектам, локализованным не на самой поверхности кристалла, а глубже — в ОПЗ. Такие состояния обычно гораздо меньше подвержены влиянию физико-химических процессов, происходяших на поверхности (например, адсорбции и десорбции), но, как и обычные ПЭС, могут перезаряжаться при изменении изгиба зон. Идентификация состояний этого типа облегчается их генетической связью с объемными дефектами определенного типа. Если волновые функции "квазиповерхностных" состояний проникают в приповерхностные атомные слои, их параметры могут достаточно сильно отличаться от параметров соответст-вуюших объемных дефектов. [c.81]

Химическая связь в твердом теле обусловлена взаимодеиствпем валентных электронов всех атомов решетки. Факторами, определяющими тин связи, являются электронная конфигурация свободных атомов (число электронов вне замкнутых оболочек, симметрия волновых функций заполненных состояний) и ато.мное окружение атома в кристаллической решетке (тип, число и расположение соседних атомов). Существует два главных тина связи. Если число ближайших соседей атома в решетке равно числу его валентных электронов, то электроны могут ноиарно упорядочиваться в отдельные связи между ближайшими соседями. В этом случае связь можно описывать посредством нар локализованных электронов. Если число валентных электронов у атома недостаточно, то валентный электрон взаимодействует с электронами нескольких соседних атомов. Связь является делокализованной. [c.13]

Электрон проходит расстояние Д= R —КЛ путем туннелирования. Фактором, определяющим вероятность туннелирования, является перекрытие волновых функций этих двух состояний. Простейшим выражением волпо вой функции локализованного состояния является экспоненциально спадающая от центра г з > ехр(— г —К, Д), где X —мера протяженности состояния (длина локализации). Если X одинакова для двух состояний, вероятность туннелирования пропорциональна ехр( 2/ Л). [c.144]

Теперь уже хорошо известно, что энергетический спектр модели Андерсона разбит на области с локализованными и делокализованными волновыми функциями, причем положения их границ зависят от степени беспорядка. Однако характер перехода между этими двумя типами состояний пока еще как следует не понят. Простое рассуждение наводит на мысль, что указанные типы спектра отвечают существенно различным участкам на шкале энергий [83, 841. В самом деле, предположим обратное, т. е. допустим, что одной и той же точке спектра принадлежат две волновые функции — локализованная и делокализованная. Тогда любое сколь угодно малое изменение беспорядка приведет к их смешению, т. е. к возникновению двух делокализованных состояний. Таким образом, нет сомнения в существовании края подвижности , разделяющего две области спектра во вполне определенной точке Яс. Наглядная иллюстрация указанного принципа была получена в работе [26] при рассмотрении модели сплава ( 9.4 и рис. 9.9) вблизи особой частоты, отвечающей локальному колебанию в непрерывном спектре, была обнаружена бесконечно узкая щель. С другой стороны, представление о резком переходе обосновано недостаточно строго и нельзя сразу отбросить возможность возник- [c.427]

Оказалось, что если Uofl (где 1 — интеграл перекрытия между соседними ямами) больше некоторой константы, то диффузии нет Это означает, что волновые функции всех электронов системы яв ляются экспоненциально убывающими с расстоянием г от соответ ствующей ямы. Другими словами, при достаточно больших зна чениях параметра lUJI все состояния являются локализованными Если Uo/l меньше обсуждаемого критического значения, то в цен тре зоны появляются делокализованные состояния (рис. 11.4). [c.357]

Природа взаимодействия (44.12) была рассмотрена Сингви [145, 146] ). Электроны вблизи поверхности Ферми движутся со скоростями, значительно большими скорости звука S. Испускание фононов моншо рассматривать как излучение Черенкова или как волну от снаряда, движущегося и воздухе со скоростью, большей скорости звука. Возмущением захватывается только область следа внутри угла, равного рад. Проводя в (44.12) суммирование и беря только главное значение расходящихся выражений, Сингви установил, что энергия взаимодействия двух электронов равна нулю, за исключением случая, когда один из электронов находится в следе другого. Взаимодействие положительно (отталкивание) и максимально на границе следа, где оно становится бесконечным. Бом и Ставер [131] еще раньше высказывали предположение о том, что такая следовая природа взаимодействия мон ет оказаться существенной. Они предположили, что в сверхпроводящем состоянии могут образовываться цепочки электронов, в которых один электрон движется в следе другого. Сингви также рассматривал эту возможность. Однако в такой модели возникают трудности, связанные с принципом неопределенности. Как мы уже видели ранее, имеется веское доказательство того, что волновые функции электронов в сверхпроводящем состоянии размазаны на большие расстояния и поэтому трудно представить, чтобы они описывали локализованные и сравнительно слабо взаимодействующие цепочки . [c.775]

Приближение сильной связи — метод вычисления волновых функций и закона дисперсии одночастичных состояний в твердых телах, основанный на разложении волновых функций по ii refvie локализованных орбиталей и рассматривакзи мй кинетическую энергию в качестве возмун еш1я. [c.285]

Достаточно полно феноменологически магнитооптич. К. э. можно описать на основе классич. ур-ний Максвелла с учётом комплексного показателя преломления среды, характеризуемой приведёнными выше тензорами. Идентификация микроскопич. механизмов, объясняющих влияние намагниченности среды на её оптич. свойства, требует привлечения строгого квантовоме-хапич. подхода, учитывающего воздействие поля на энергетич. структуру и волновые функции зонных и локализованных электронных состояний магнетика. [c.350]

Работа Клогстона и сотр. [49], посвященная вопросу о происхождении локализованных магнитных моментов, в некоторой степени подтверждает идею о том, что обменная энергия обусловлена электронами зоны проводимости. Модель свободных электронов, использованная в разд. 8.3 для описания виртуальных состояний, оказывается уже непригодной для описания примесных уровней в переходных металлах. Однако такой расчет можно. провести, применяя волновые функции, более подходящие для этих состояний (волновые функции Слэтера — Костера) при этом для фазового сдвига получается та же кривая, что и раньше. На фиг. 51 изображена функция I Е), характеризующая степень возмущения волновой функции ). Когда I (Е) = 1/F, где V — потенциал возмущения, в данном случае создаваемый положительно заряженным примесным центром, то, как можно показать, фазовый сдвиг равен у (Е) = п/2 ж, как и в случае модели свободных электронов, можно ожидать образования виртуальных состояний, энергии которых лежат вокруг значения, определяемого условием / (Е) = 1/F. Однако в отличие от случая свободных электронов на фиг. 51 мы видим две такие точки Ео и Ei. Выясним, как влияет спин на вырождение в этих точках. [c.128]

Эдвардс [2] (см. также работу Кьюзака [102]) основывает свои выводы, которые далеко не являются строгими, на частичном суммировании возмущенного ряда. Преимущество его теории в том, что при вычислении электронных энергетических состояний можно получить сведения о структурном факторе 5 (К) и потенциале рассеяния с единым центром для иона с электронной оболочкой. Таким образом, можно создать теорию электронных состояний с помощью тех же основных величин, которые были использованы в нашем расчете для жидких металлов (см. предыдущие главы). Попытаемся непосредственно изучить волновые функции отдельных электронов. Выведем уравнение Шредингера для электрона, движущегося в поле ионов, с координатами их положения Яг, причем ионы возбуждаются локализованными потенциалами 1 г( )- Запишем [c.96]

Вся совокупность этих данных дает возможность развить классическую нестационарную теорию возмущений высших порядков (см. раздел 2.2) для описания переходов двух электронов по спектру двухэлектронных состояний, приводящих к образованию двухзарядного иона. Наиболее сложной задачей при осуществлении этой программы является конструирование двухэлектронных волновых функций, оптимально описываю щих двухэлектронные состояния, локализованные в различных интер валах спектра атома и однозарядного иона. При решении этой задачи, как правило, используются две противоположные модели. Для описания двухэлектронных состояний, имеющих относительно небольшую энергию возбуждения, обычно используется приближение Хартри-Фока [8.3] и модель независимых электронов с учетом слабого межэлектронного взаимодействия по теории возмущений [8.19] или при предположении об отсутствии взаимодействия. Для высоковозбужденных (ридберговских) [c.220]

Локализованные и эквивалентные орбитали. Для одной из теорий валентности, а именно теории валентных связей (или электронных пар), потребовалось ввести орбитали, резко отличающиеся от молекулярных орбиталей, рассматривавшихся выше. Они представляли собой нелокализованные орбитали, распространявшиеся по всей молекуле (фиг. 114), и не были приспособлены для простого объяснения существования направленных химических связей ), хотя и являлись отличным средством для исследования возбужденных состояний молекулы (см. ниже). Если мы получаем локализованные орбитали, то при этом, хотя бы временно, мы отказываемся от требования, чтобы молекулярные волновые функции имели свойства симметрии, соответствующие симметрии молекулы (т. е. чтобы функции были определенных типов симметрии). Говоря конкретнее, в первом приближении мы пренебрежем присутствием всех атомов, за исключением двух, между которыми должна образоваться связь, и выясним, что собой представляют двухцентровые орбитали с осевой симметрией, образованные из атомных орбиталей атомов, соединенных связью. [c.309]

Все три модели ведут к плотности состояний Ы Е), имеющей провал вблизи энергии Ферми, как показано сплошной кривой на рис.- 5.1, а. Этот провал грубо соответствует щели между валентной зоной и зоной проводимости в кристаллическом полупроводнике или полуметалле. Этот провал в М Е) часто называют псевдощелью. Важной дополнительной характеристикой является пространственное поведение волновых функций. Состояния в псевдощели могут быть локализованными, а не распространенными по всему объему системы, и э.то обстоятельство важно при рассмотрении их вклада в явления переноса. Этот аспект электронной структуры обсуждается в последнем параграфе. [c.83]

Мотт [180] обобщил теорию Андерсона, чтобы рассмотреть вопрос о том, происходит ли локализация при различных значениях энергии внутри зоны. Он заявил, что определяющим фактором является плотность состояний N(E). Если (В) достаточно велика, то электрон, первоначально расположенный в некоторой области пространства, всегда найдет состояния, достаточно близкие по энергии, чтобы туннелировать на них (т. е. такие, что интеграл перекрытия между ними достаточно велик) и, таким образом, продиффундировать через весь объем. Однако, поскольку расстояние, на которое нужно туннелировать, чтобы найти другое состояние с заданной энергией, меняется как [М Е)]- существует критическая плотность состояний Ыс Е) для данного значения АУ, такая, что для меньшей плотности состояний среднее расстояние туннелирования становится слишком большим. Электрон оказывается захваченным в рассматриваемой области пространства, и, таким образом, его волновая функция становится локализованной. Эта аргументация может быть связана с классической математической теорией протекания. Согласно этой теории, можно рассмотреть точки в пространстве, соединенные сеткой связей, таких, что эти точки с переменной вероятностью обмениваются подвижной частицей. Тогда существует критическое значение Для средней вероятности , которое определяет, имеется ли конечная вероятность для этой частицы находиться [c.95]

Но как мы видели ранее, широкие квантовые пакеты ведут себя практически как локализованные частицы. Поэтому и картина рис. 8 не должна уж очень сильно отличаться от "классического имитатора". Рассмотрим случай, когда масса легкой частицы т значительно меньше массы тяжелой частицы М. Тогда скорость легкой частицы будет значительно больше скорости тяжелой частицы, так что именно она первой попадает во внешний мир. Уберем прибор Р и заменим его на газовое облако С. Попадая в это облако, легкая частица "самоизмеряется", становясь участником неравновесного процесса. Можно сказать так отдельные волновые пакеты легкой частицы теряют взаимную когерентность из-за взаимодействия с облаком С, и первоначально чистое состояние легкой частицы становится смешанным. Энтропия частицы возрастает от нуля до 5= — А In/7,, где Pi — вероятности некогерентных пакетов, i — номер пакета. В силу корреляции между Л/ и w то же самое происходит с тяжелой частицей она теряет "чистоту" своего состояния и приобретает ту же самую энтропию S. Если теперь в облаке произойдет необратимый процесс коллапса, например за счет энергии самой частицы т, то вероятности / , сколлапсируют, так что останется только одно состояние с вероятностью, равной единице. Одновременно происходит коллапс волновой функции частицы М. Можно сказать, что такой коллапс является прямым следствием запрета "состояния кота Шрёдингера" не может существовать суперпозиции состояний, относящихся к существенно разным сценариям развития истории, т.е. эволюции неравновесного мира. Следует еще раз подчеркнуть, что коллапс волновой функции связан именно с соприкосновением (прямым или косвенным) квантового объекта с внешним миром. [c.120]

Действие оператора М сводится к случайным переходам волновой функции к новым более локализованным состояниям. Это своего рода последовательное применение проекционных операторов. Каждый из таких проекционных операторов в обозначениях Дирака можно записать в виде Р = ф фгде — волновая функция после коллапса. Действие оператора Р выглядит как [c.155]

По законам статистики концентрация флуктуационных уровней данной энергии пропорциональна вероятности их возникновения. Поскольку вероятность появления глубоких потенциальных ям меньше, чем мелких, плотность состояний флуктуационных уровней спадает по мере удаления от краев зон делокализованных состояний ("хвосты плотности локализованных состояний — см. рис. 2. 6,п-в). Характерная особенность системы частиц в случайном поле состоит в том, что энергетический спектр флуктуационных состояний является "всюду плотным". Это означает, что в бесконечно большом образце всегда найдутся энергетические уровни локальных состояний, бесконечно близкие к данному. Однако, вероятность того, что близкие по энергиям состояния окажутся и в пространстве близкими, ничтожно мала. Аналогично, пространственно близким электронным состояниям будут соответствовать различающиеся энергетические уровни. Поэтому, несмотря на возможное перекрытие волновых функций со- [c.115]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...