Положительный квадратный корень на С*-алгебре

Доказательство. Пусть А — произвольная положительная наблюдаемая, а (Л) — подалгебра Сигала, порожденная Ли/. Эта алгебра ассоциативна (поскольку Л и I совместны). Из теоремы 9 известно, что алгебра В(Л) изоморфна некоторой алгебре К (Г). Пусть я означает этот изоморфизм. Говоря о положительной наблюдаемой Л, мы имеем в виду, что (ф Л) 0 для всех ф е и, в частности, для тех состояний, которые соответствуют точкам пространства Г. Следовательно, функция п (Л) положительна. Пусть / — положительный квадратный корень из нее / принадлежит ( (Г). Итак, существует элемент В е (Л), такой, что я (В) = [, а поскольку я — изоморфизм, выполняется равенство В = А. Из положительности / следует, что у В) 0 для всех у е Г. Поскольку же множество у полно относительно (Л), мы имеем (ф для всех ф е , т. е. В > 0. [c.82]

Продолжим каждое состояние фе из 21 на Ji, полагая (ф R)= (f>, R+), если — действительная алгебра, и (ф R) = = (ф 7 +) + г (ф / ), если — комплексная алгебра. В обоих случаях состояние ф, продолженное на Of, действительно (т. е. (ф 7 ) = (ф R) ) и линейно. Кроме того, проводя рассуждения, аналогичные тем, которыми мы пользовались в лемме на стр. 74, мы заключаем из соотношения (ф R R) = (p Л ) 0, что полубилинейная форма (ф R S) удовлетворяет обобщенному неравенству Шварца I (ф 5)р ф R R) (p] S S). По аналогии с тем, как мы делали это при изучении алгебры 2[, определим норму II RII произвольного элемента е как положительный квадратный корень из величины [c.98]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...