G-абелевость

Лемма 2.8. 1) Если группа G абелева, то любое неприводимое представление удовлетворяет условию (R). [c.33]

Теорема 16. Пусть G — группа симметрии в описании й, , ( ) . Если эта система G-абелева, то множество о — симплекс. [c.287]

Если группа G действует G-абелевым образом лишь на ф, то существует единственная максимальная мера р.ф, представляющая это состояние ф на [c.287]

Задача 2-g. Абелевы фундаментальные группы. Покажите, что каждая гиперболическая поверхность с абелевой фундаментальной [c.41]

Коммутативные (абелевы) группы. Это Г-, для к-рых любые два элемента перестановочны gg —g g. Простейшими дискретными коммутативными Г. являются Г. целых чисел Z (групповая операция — сложение) и Г. 2,г вычетов по модулю л (она получается из S, если элементом Г. считать класс целых чисел, отличающихся друг от друга на числа, кратные п). Простейшими непрерывными коммутативными Г. являются Г. R всех веществ, чисел (групповая операция —сложение) и Г. Т = 50 (2) поворотов плоскости. [c.542]

Элемент группы Ли О (конечномерной) задается набором непрерывных параметров с индексом а, пробегающим значения от 1 до Л/" — размерности группы. При этом групповой закон композиции есть не что иное, как правило сложения (вообще говоря, некоммутативное) групповых параметров, по которому паре наборов непрерывных параметров аа и Ра ставится в соответствие третий, 7=(а + р), причем (а + Р). вообще говоря, не равно (р + ) Если (а Р) = (р + а) для всех аир, группа называется абелевой или коммутативной. В тех случаях, когда основное групповое соотношение, абстрактно записываемое в форме g xg = й а+р, разрешимо в явном виде, говорят о реализации, т. е. о представлении элемента ga группы С на том или ином пространстве линейными операторами. (В случае матричной реализации величина - -(а) является матрицей определенного вида и размерности, фиксированным образом зависящая от набора параметров аа- В результате матричного перемножения элементов -(а) и (Р) возникает снова матрица того [c.11]

В силу замечания I это эквивалентно предположению о том, что эволюция во времени действует п-абелевым образом на ф. Необходимые оговорки по поводу этого допущения высказывались, когда речь шла о следствии 2 из теоремы 11. Небольшое математическое различие, состоящее в том, что мы не отождествляем группу симметрии G с эволюцией во времени, тем не менее в известной мере выгодно с точки зрения физики, ибо позволяет выбирать в качестве группы симметрии О евклидову группу или одну из ее подгрупп, действующих на ф (в силу локальности состояния ф см. гл. 4) т1-абелевым образом. [c.273]

Определение. Система, состоящая из описания (9 , ,( )), усреднимой группы симметрии G и инвариантного среднего т) на G, называется G-абелевой на состоянии ф из множества д, если [c.230]

Заметим, что утверждение о G-абелевости системы означает лишь выполнение равенства [c.231]

Понятие G-абелевости было введено Ланфордом и Рюэлем [250] в несколько иной форме. Необходимую связь между нашим определением и определением названных авторов устанавливает теорема 6. Докажем сначала следующую лемму [c.231]

Следствие. В обозначениях теоремы 6 для любого состояния Ф е Q 3 абелевости алгебры Е Ш Е следует, что коммутант ЭТф также абелев. В частности, коммутант 9 ф абелев, если рассматриваемая система G-абелева на ф из о)- [c.233]

Единственная максимальная мера ассоциированная (гл. 2, 2, п. 6) с локально нормальным G-инвариантным состоянием G-абелевой системы, сосредоточена в смысле Бореля на множестве д. Как мы уже говорили в гл. 2, 2, п. 6, тот же результат можно распространить и на множество При доказательстве последнего утверждения нужно сначала определить непрерывное отображение а множества р (т. е. либо о, либо р) в R°° соотношением [c.363]

Благодаря своей простоте квантовые решеточные системы оказываются ценными и в неравновесной статистической механике. Рассматривая предельно простой случай обобш,енной модели Изинга (в смысле, указанном в начале данного пункта), Радин [309] проанализировал поведение во времени величины R) для широкого класса начальных условий и локальных наблюдаемых. Можно показать, что в этом случае эволюция во времени не действует G-абелевым способом. Для физических приложений более важно другое обстоятельство оказывается возможным придать точную математическую форму традиционно принимаемому положению о том, что скорость приближения к равновесию в термодинамическом пределе должна быть связана со степенью непрерывности спектра эффективного гамильтониана. Подчеркнем, что здесь речь идет об эволюции во времени локальной наблюдаемой, погруженной в бесконечную систему, а поэтому гамильтониан, о котором мы говорим, совпадает с тем, который локально реализует эволюцию во времени бесконечной системы. Как оператор этот гамильтониан зависит от гильбертова пространства, на котором он действует в конструкции ГНС, и поэтому степень непрерывности его спектра зависит от представления. Коль скоро начальное состояние фо выбрано, степень непрерывности спектра гамильтониана можно связать с зависимостью функции е ( со — со )=бшш от пространственных переменных. Следует иметь в виду также, что метод Радина допускает обобш,ение на взаимодействия более широкого типа, чем описанная выше простая модель Изинга. [c.388]

Простейшими являются модели с парным взаи. ю-действием. Точные результаты получены для моделей с парным и четверным взаимодействием. Энергия взаимодействия спинов может быть инвариантиа относительно преобразований одинаковых во всех узлах. Совокупность преобразований g образует группу. Включение внеш. поля [первый член в (1)1 может понизить группу симметрии взаимодействия пли разрушить её полностью. Ниже рассмотрены модели с абелевыми группами симметрии. [c.565]

Укажем схему доказательства теоремы 1 (детали можно найти,-например, в книгах [И, 54]). Рассмотрим п однопараметрических групп д и е К), являющихся фазовыми потоками п гамильтоновых полей Vf.. Функции Fi,..., F находятся в инволюции, поэтому поля vpi касаются Ма- Следовательно, группы (/, переводят гладкие многообразия Ма в себя, поэтому определено действие (/, на Ма. В силу условия 2), значения д х) х е Ма) определены при всех t . Поля Vi и Vj коммутируют на Ма, поэтому группы (/, и gj также коммутируют. Следовательно, на Ма определено действие абелевой п-мерной группы К" = ii,...,i g x) = g , ..д (х). Согласно условию 1), градиенты функций Fi,...,F независимы во всех точках Ма, поэтому на Ма векторные поля vi,..., v также линейно независимы. Отсюда и из предположения о связности Ма ВЫВОДИТСЯ, ЧТО действие группы К" на Мд.свободно и транзи-тивно. Следовательно, Ма диффеоморфно фактормногообразию К"/Г, где Г — стационарная группа действия К" (она состоит из точек S Е К", для которых д х = х). Поля vi,..., v независимы, поэтому Г — дискретная подгруппа в К", изоморфная, как известно, О к п). Таким образом, Ма — х Равномерно меняющиеся глобальные координаты (р mod 2тг, у линейно выражаются через ii,..., i . Полагая tj = onst при всех j ф г, получаем решения гамильтоновой системы х = Vi x) как линейные функции времени ti = t. [c.85]

Пусть G — компактная метрнзуемая абелева группа. Существует единственная борелевская вероятностная мера Лд, инвариантная относительно всех умножений L д д д. Эта мера называется мерой Хаара. Для тора Т" мера Хаара — это обычная мера Лебега. Мы докажем следующий статистический аналог предложения 1.3.4. [c.157]

Предложение 4.2.3. Если сдвиг L на компактной метризуе-мой абелевой группе G эргодичен относительно меры Хаара Ад, то он строго эргодичен. [c.157]

Если а, Ь — идеалы д, то и [а. 6] — идеал, и, такии образом, мы имеем производную последовательность идеалов дЭ g [д, д] D д" = [д, s ] D. .. Алгебра g называется абелевой, если s =0, и разрешимой, если производная последовательность обращается в (тождественный) нуль после конечного числа шагов. Алгебра Ли называется полупростой, если нулевой идеал является единственным разрешимым идеалом, и простой, еслн в g нет нетривиальных идеалов. Убывающая центральная последовательность g — последовательность идеалов s 5= J Э3 = [s, зМэ g = [g,д ]э,.. Алгебра g называется нильпотентной, еслн эта последовательность обращается в нуль. [c.720]

Укажем схему доказательства этой теоремы. Рассмотрим однопараметрических групп ti R, являющихся фазовыми потоками п гамильтоновых полей IdFi. В силу условия 2) значение g[ x), x ,Mf определено при всех i,. Группы gi и g-, коммутируют, поскольку векторные поля IdFi и IdFj коммутируют на Mj. Следовательно, определено действие абелевой группы. ....tn) на Mfi [c.124]

Замечания. Свойство 2) было отмечено для С= Z2 Вегнером [5] и обсуждалось также в качестве одной из возможностей Вильсоном [6]. Набросок доказательства для d = 3 и G = Z2 дан Галлавотти и др. [38]. Свойство 3) было сформулировано т Хоофтом [26]. Для абелевых групп G уже довольно давно было известно, что теорема 3.17 получается с помощью преобразования двойственности из теоремы 3.14 (см. [5]). Для неабелевых групп, однако, это трудно (а может быть, и невозможно) сделать. Интерпретация свойств 2) и 3) следующая кварки не удерживаются, а монополи удерживаются. [c.63]

Первое из них называется условием слабой асимптотической абелевости, второе — условием асимптотической по норме абелевости. Штермер [375, 376] предложил и использовал следующую гораздо более слабую форму асимптотической по норме абелевости для каждого самосопряженного элемента Л из Э1 существует счетная последовательность (Л) элементов группы G, такая, что [c.230]

Вернемся теперь к теореме 8. Заметим, что если ЭТф = Яф (Я)"/ Яф(9i) i7ф(G) (по существу, именно это условие мы использовали при доказательстве утверждения в теоремы 8), то, в частности, можно заключить, что 9 ф содержится в центре Зф (91) бикоммутанта Яф (Э )" при всех состояниях ф е Отсюда мы заключаем, что из т]-абелевости на примарном состоянии ф. [c.241]

Следствие. Пусть ф — экстремальное состояние на G, инвариантное относительно действия а усреднимой группы G. Если вектор Ф из Жщ, канонически ассоциированный с ф, является в то же время циклическим относительно Яф(Я), то 1) система (Я, [c.244]

Доказательство. Докажем, что ф удовлетворяет условию 7 теоремы 8 при любом среднем т] на группе G. Отсюда будут следовать все остальные свойства состояния ф, перечисленные в теореме 8, а также т]-абелевость на ф. Пусть Сф — множество всех векторов Т е Жщ вида Т = 5Ф, где S — положительный элемент из зг<р(Я), такой, что 5Ф =1, и E W = 4f. Из леммы на стр. П5 известно, что над состоянием г[з на Я, определяемым соотношением (ifi / )= (Ч , л<р(/ ) W), доминирует состояние ф. Кроме того, состояние ij) G-инвариантно. Следовательно, ф = ф, поскольку ф — экстремальное G-инвариантное состояние. Это означает, что [c.244]

Теорема 14, Пусть ф — сепарабельное экстремальное состояние КМШ динамической системы 0i, , а . Если ф инвариантно относительно усреднимой группы симметрии G, действующей г -абелевым образом на ф, то возможна любая из двух следующих альтернатив [c.270]

Насколько известно автору, то обстоятельство, что проведение различия между группой симметрии О и эволюцией во времени не сказывается на доказательстве теоремы 14, было впервые отмечено Штермером [376]. Приведенное нами доказательство воспроизводит предложенное Штермером [380] доказательство следующего утверждения Пусть 3№— полуконечный фактор, действующий на некотором гильбертовом пространстве а — группа унитарных операторов на таких, что иШи = Ш для всех U Предположим, что существует единичный вектор Ч удовлетворяющий следующим условиям 1) вектор Ч — разделяющий для 3№ 2) множество W A совпадает с множеством векторов таких, что 1/Ф = Ф для всех Тогда фактор 3№ конечен со следом 5р(Л) = (Ч , для всех ЛеЗИ . Отметим, в частности, что Штермер в своем доказательстве не требует усреднимости группы G и лишь предполагает, что она действует П-абелевым образом. Это обеспечивает ему большую общность, что особенно ценно при рассмотрении релятивистских теорий поля, в которых, очевидно, условие КМШ на ф необходимо заменить предположением о том, что Ф — (циклический и) разделяющий вектор для фактора Яф (Я). Представленное нами несколько более простое доказательство остается в силе для статистической механики при допущениях, достаточно общих для того, чтобы охватывать все наиболее интересные случаи. [c.273]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...