G-абелевость на состоянии

В следующей главе мы вернемся к модели Хиггса и обсудим более детально абелевы модели, которые включают в себя понятие 0-состояний, [c.71]

Как мы уже говорили, все эти условия накладывают на ф весьма жесткие ограничения, и иногда мы склонны определять чистую термодинамическую фазу, требуя, чтобы эти условия выполнялись не для всех перечисленных выше состояний гр, а лишь для самого О-инвариантного состояния ф. Именно в этом и состоит смысл условия 4. Как показывает утверждение в теоремы 8, для т]-абелевой системы это условие в действительности не слабее условия 7. В общем случае условие 4 эквивалентно условию 5. Это означает, что циклический вектор Ф, канонически ассоциированный с т]-кластерным (и, следовательно, экстремальным) О-инвариантным состоянием ф, является единственным вектором в пространстве который служит общим [c.243]

В силу замечания I это эквивалентно предположению о том, что эволюция во времени действует п-абелевым образом на ф. Необходимые оговорки по поводу этого допущения высказывались, когда речь шла о следствии 2 из теоремы 11. Небольшое математическое различие, состоящее в том, что мы не отождествляем группу симметрии G с эволюцией во времени, тем не менее в известной мере выгодно с точки зрения физики, ибо позволяет выбирать в качестве группы симметрии О евклидову группу или одну из ее подгрупп, действующих на ф (в силу локальности состояния ф см. гл. 4) т1-абелевым образом. [c.273]

Рассмотрим случай, когда ф — состояние КМШ динамической системы Я, 6, а , такое, что пространство сепарабельно. Поскольку центр — абелева алгебра фон Неймана на сепарабельном гильбертовом пространстве, оно порождается единственным эрмитовым оператором 7ф. Чтобы не усложнять нашу первую попытку построить теорию, предположим, что оператор обладает дискретным спектром. Тог (1а мы можем написать, что [c.277]

Если группа G действует G-абелевым образом лишь на ф, то существует единственная максимальная мера р.ф, представляющая это состояние ф на [c.287]

Критические свойства двумерных систем. При достаточно низких темп-рах ср. значение параметра порядка (намагниченности) системы с дискретной абелевой группой симметрии отлично от нуля. При высоких темп-рах система находится в ыеупорядоч, состоянии. В системах с непрерывной группой симметрии намагниченность отсутствует во всём диапазоне темп-р. [c.568]

Если все tjiц О, т. е. если все попарные коммутаторы равны нулю, то соответствующая группа наз. абелевой или коммутативной. Тогда в каждом представлении можно одновременно привести генераторы А , А к диагональному виду. Физически это означает, что величины А ,. .., А могут иметь одновременно точные значения. Если в числе генераторов есть гамильтониан П квантовой системы, то в состояниях с фиксиров. энергией / все др. физ. величины из числа генераторов А ,. .., А также могут принимать вполне опре-дел. значения. Поскольку гамильтониан уиравляет временной эволюцией системы, все величины А ,. .., А оказываются интегралами движения, т. е. сохраняются с течением времени. Так, в задаче о движении частицы в центр, поле попарно перестановочными являются гамильтониан Й, оиератор квадрата момента импульса и оператор а проекции момента импульса на к.-л. ось. Поэтому в пространстве состояний существует базис, составленный из собств. векторов сразу трёх операторов Й, и 3. Это позволяет использовать стандартную классификацию состояний частицы с помощью трёх квантовых чисел — главного п, орбитального (азимутального) I и магнитного т. [c.575]

Посмотрим на это явление с точки зрения теории представления групп. У сферически-симметричного гамильтониана (куло-нова задача, электрон атома водорода) все пространство состояний раскладывается в прямую сумму пространств неприводимых представлений группы 30(3). После включения магнитного поля по оси Жз (z) каждое неприводимое представление 80(3) ограничивается на подгруппу С 80(3), состоящую из вращений вокруг этой оси. — абелева группа и все ее неприводимые представления одномерны, а состояния, соответствующие разным инвариантным относительно подпространствам, имеют, вообще говоря, разные энергетические уровни. Это расщепление спектральных линий при включении магнитного поля наблюдается в эксперименте. [c.148]

Алгебра фон Неймана 9 называется конечной, если для всякого ненулевого элемента Л е ЗХ существует конечный нормальный след г] на 9 +, такой, что (iIj Л) ф 0. Например, алгебра фон Неймана S Ж) конечна, если пространство Ж конечномерно. Поскольку всякий вектор состояния на абелевой алгебре фон Неймана 9I тривиально удовлетворяет условию 3, его можно рассматривать как след на 9I. Такой след конечен, ультраслабо непрерывен и, следовательно, нормален. Отсюда мы заключаем, что всякая абелева алгебра фон Неймана конечна. Алгебра фон Неймана, не являющаяся конечной, называется бесконечной. В частности, алгебра фон Неймана называется собственно бесконечной, если ф = О — единственный конечный нормальный след на 91+. На основании свойства 3 мы заключаем, что алгебра фон Неймана Ж) собственно бесконечна, если пространство Ж бесконечномерно. [c.168]

Инвариантные и экстремальные инвариантные состояния и асимптотическая абелевость [c.225]

В данном пункте мы рассмотрим структуру множества а всех инвариантных состояний физической системы и подробно остановимся на разных случаях, в которых интересующая нас физическая система обладает особыми свойствами, известными под общим названием асимптотической абелевости. Мы также выясним, каков смысл и каково отношение к общей теории некоторых кластерных свойств, известных из теории поля и статистической механики, и покажем, что они связаны с экстремальным свойством соответствующих состояний. [c.225]

Определение. Система, состоящая из описания (9 , ,( )), усреднимой группы симметрии G и инвариантного среднего т) на G, называется G-абелевой на состоянии ф из множества д, если [c.230]

Следствие. В обозначениях теоремы 6 для любого состояния Ф е Q 3 абелевости алгебры Е Ш Е следует, что коммутант ЭТф также абелев. В частности, коммутант 9 ф абелев, если рассматриваемая система G-абелева на ф из о)- [c.233]

Мы уже упоминали о том, что на некоторые физические результаты не влияет возможная неединственность среднего т]. Приведем еще один пример Пусть ф есть О-инвариантное состояние, Ф — соответствующий ему циклический вектор, а 5 — любой элемент коммутанта Пф(Я), такой, что 5Ф1= 1. Образуем состояние (ф / ) = (Ф, 5 л(/ )5Ф). По только что доказанной лемме состояние ттф как состояние на Я не зависит от среднего т], использованного при его вычислении. Этот результат представляет особый интерес в том случае, когда вектор Ф циклический не только по отношению к представлению Яф(Я), но и по отношению к коммутанту зХф(Я) из п. 5. Если последнее условие выполнено, то из леммы следует, что я (Я) также не зависит от среднего т], в силу чего (теорема 7) п-абелевость на ф в данном случае не зависит от среднего, использованного при ее формулировке. [c.235]

Вернемся теперь к теореме 8. Заметим, что если ЭТф = Яф (Я)"/ Яф(9i) i7ф(G) (по существу, именно это условие мы использовали при доказательстве утверждения в теоремы 8), то, в частности, можно заключить, что 9 ф содержится в центре Зф (91) бикоммутанта Яф (Э )" при всех состояниях ф е Отсюда мы заключаем, что из т]-абелевости на примарном состоянии ф. [c.241]

Следствие. Пусть ф — экстремальное состояние на G, инвариантное относительно действия а усреднимой группы G. Если вектор Ф из Жщ, канонически ассоциированный с ф, является в то же время циклическим относительно Яф(Я), то 1) система (Я, [c.244]

Доказательство. Докажем, что ф удовлетворяет условию 7 теоремы 8 при любом среднем т] на группе G. Отсюда будут следовать все остальные свойства состояния ф, перечисленные в теореме 8, а также т]-абелевость на ф. Пусть Сф — множество всех векторов Т е Жщ вида Т = 5Ф, где S — положительный элемент из зг<р(Я), такой, что 5Ф =1, и E W = 4f. Из леммы на стр. П5 известно, что над состоянием г[з на Я, определяемым соотношением (ifi / )= (Ч , л<р(/ ) W), доминирует состояние ф. Кроме того, состояние ij) G-инвариантно. Следовательно, ф = ф, поскольку ф — экстремальное G-инвариантное состояние. Это означает, что [c.244]

Следствие 3. Пусть ф — сепарабельное экстремальное состояние КМШ динамической системы (Я, , а , а О — группа симметрии в описании (0 , ( ) , такая, что-. 1) состояние ф О-ин-вариантно, 2) группа С усреднима и 3) группа С действует ц-абелевым образом на ф при некотором среднем у на О. Тогда Ф удовлетворяет девяти условиям теоремы 8 относительно группы О. [c.268]

Доказательство. В силу следствия 1 из того, что ф — сепарабельное экстремальное состояние КМШ, вытекает равенство Зф ( ) = Ш - На основании следствия 2 из теоремы 7 и т1-абе-левости относительно группы С можно написать, что = Яф (Э )" /ф (О) е Зф ( ) и, таким образом, 5Лф = А./ . Поскольку мы предполагаем т1-абелевость относительно группы С, последнее равенство есть одно из девяти эквивалентных условий теоремы 8. 1 [c.268]

Теорема 14, Пусть ф — сепарабельное экстремальное состояние КМШ динамической системы 0i, , а . Если ф инвариантно относительно усреднимой группы симметрии G, действующей г -абелевым образом на ф, то возможна любая из двух следующих альтернатив [c.270]

Тем самым мы получаем единственное разложение состояния р на чистые состояния. Единственность разложения не есть случайное обстоятельство, обусловленное предельной простотой рассматриваемого частного случая. Существование и единственность разложения произвольного состояния на чистые состояния в действительности является характерной особенностью абелевых С -алгебр, которую можно предвидеть заранее, если учесть теорему 9 из гл. 1, 2. Какой же вывод должны мы сделать из своих предварительных замечаний Его можно сформулировать так в общем случае не следует ожидать положительного решения проблемы разложения. Чтобы обеспечить единственность, необходимо налагать некоторые условия, отражающие абелевость рассмотренного выше тривиального случая. Подчеркнем, что элемент абелевости уже присут- [c.276]

Лемма. Пусть С — усреднимая группа симметрии в описании физической системы (3 , , ( )) (мы предполагаем, что группа С обладает ц-абелевостью)-, ф/ (/=1, 2) суть С-инвариантные состояния на 3 , причем ф] есть г -кластер] (лу (Э ), Uj (С) — ковариантное представление, ассоциированное с ф/ Ж, — пространство представления и Ф/ — соответствующий циклический вектор, Ц/ t) i — слабо непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов, действующих в пространстве Ж) и таких, что П Ц) Ф/ == Ф е К л[c.320]

Лемма. Пусть О — усреднимая группа симметрии в описании физической системы (3 , , ( )) [мы предполагаем, что группа О обладает ц-абелевостью)] (f Ц = , 2) суть О-инвариантные состояния на 3 , причем ф] есть ц-кластер (лу (Э ), П/ (С) — ковариантное представление, ассоциированное с ф/ <3 / — пространство представления и Ф/ — соответствующий циклический вектор-, [Ц] (/) и е К — слабо непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов, действующих в пространстве и таких, что 0 t) Ф] — Ф/ К (Э ), ир (С) — ковариантное представление, определенное для всякого 1 е К соотношениями [c.321]

Единственная максимальная мера ассоциированная (гл. 2, 2, п. 6) с локально нормальным G-инвариантным состоянием G-абелевой системы, сосредоточена в смысле Бореля на множестве д. Как мы уже говорили в гл. 2, 2, п. 6, тот же результат можно распространить и на множество При доказательстве последнего утверждения нужно сначала определить непрерывное отображение а множества р (т. е. либо о, либо р) в R°° соотношением [c.363]

Поскольку квазилокальная алгебра 9i квантовой решеточной системы является сепарабельной по норме простой и неабелевой алгеброй, на которой Z действует т1-абелевым образом, мы можем на основании теоремы 14 из гл. 2, 2 заключить, что всякое Z -инвариантное состояние ф на 3i, где ф — экстремальное состояние на [c.386]

Благодаря своей простоте квантовые решеточные системы оказываются ценными и в неравновесной статистической механике. Рассматривая предельно простой случай обобш,енной модели Изинга (в смысле, указанном в начале данного пункта), Радин [309] проанализировал поведение во времени величины R) для широкого класса начальных условий и локальных наблюдаемых. Можно показать, что в этом случае эволюция во времени не действует G-абелевым способом. Для физических приложений более важно другое обстоятельство оказывается возможным придать точную математическую форму традиционно принимаемому положению о том, что скорость приближения к равновесию в термодинамическом пределе должна быть связана со степенью непрерывности спектра эффективного гамильтониана. Подчеркнем, что здесь речь идет об эволюции во времени локальной наблюдаемой, погруженной в бесконечную систему, а поэтому гамильтониан, о котором мы говорим, совпадает с тем, который локально реализует эволюцию во времени бесконечной системы. Как оператор этот гамильтониан зависит от гильбертова пространства, на котором он действует в конструкции ГНС, и поэтому степень непрерывности его спектра зависит от представления. Коль скоро начальное состояние фо выбрано, степень непрерывности спектра гамильтониана можно связать с зависимостью функции е ( со — со )=бшш от пространственных переменных. Следует иметь в виду также, что метод Радина допускает обобш,ение на взаимодействия более широкого типа, чем описанная выше простая модель Изинга. [c.388]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...