Периодические задачи Хилла

В своей теории движения Луны Хилл исходил из уравне ний движения плоской ограниченной круговой задачи трех тел, для которой, считая расстояние между двумя конечными массами весьма большим, знаменитый астроном вывел удобные приближенные уравнения, частное периодическое решение которых затем и разыскивал. [c.272]

Первые найденные в небесной механике периодические решения— это эллиптическое движение в задаче двух тел (см. ч. И, 2.01) и лагранжевы решения в задаче трех тел (см. ч. V, 1.02, 2.03). После того как Хилл доказал, что уравнения задачи, названной его именем (уравнения (5.3.16)), допускают периодическое (почти-круговое) решение, Пуанкаре разработал достаточно общий метод — метод малого параметра (см. 1.01) и на его основе установил [2] существование трех сортов периодических решений в планетном варианте неограниченной задачи трех тел (тело имеет массу то, значительно большую масс т = а1 А, Ш2 — 0,211 планет Р, и Рг, также отличных от нуля, а > О, К2 > О, — малый положительный параметр). Частными случаями этих решений являются периодические решения первого, второго и третьего сорта в ограниченной задаче трех тел (см. ч. V, 2.05). [c.792]

Задача, которую мы предполагаем теперь решить, заключается в нахождении некоторого частного решения этих уравнений, а именно того частного решения, которое соответствует случаю, в котором Е равно нулю. Так как мы пришли к тому, что хну разлагаются по синусам и косинусам кратных 2В или 2т, то м ы видим, что это частное решение является периодическим. Эта задача полностью была решена Хиллом "" ), и мы здесь изложим его основные результаты. [c.477]

Соответствующую задачу мы называем для краткости з а-дачей Хилла. Мы изложим здесь вывод основных уравнений задачи Хилла и метод Ляпунова для нахождения периодических решений этой задачи в виде абсолютно сходящихся периодических рядов. [c.271]

Обсудим в заключение периодические решения задачи Хилла, имеющие важные астрономические приложения. Речь идет [c.87]

Итак, найдем в обобщенной задаче Хилла периодические решения системы (1), для которых абсолютные значения х я у будут достаточно малыми. Если положить для сокращения [c.179]

Устойчивость вынужденных колебаний нелинейной системы. При гармоническом возбрхдении механической системы с нелинейной характеристикой восстанавливающей силы в некотором диапазоне частот решение задачи о вынужденных колебаниях неоднозначно — одному и тому же значению частоты возбуждения соответствуют несколько значений полуразмахов колебаний (см. с. 28), т. е. несколько разных режимов движения. Некоторые из этих режимов неустойчивы. При анализе устойчивости различных режимов коэффициенты уравнений первого приближения оказываются периодическими функциями времени (см. с. 39) для системы с одной степенью свободы уравнения первого приближения обычно приводятся к уравнению типа Хилла (или в частном случае к уравнению Матье), Задача устойчивости периодического режима движения нелинейной системы сводится к оценке свойств решений этого уравнения (см. т. 1). [c.41]

Укоренилось мнение, что в параметрических системах возможна неустойчивость только с указанными признаками. Это безусловно справедливо в сосредоточенных системах, для которых в сущности и развита теория Флоке. Применительно же к распределенным системам оно вызывает серьезные возражения во-первых, краевые задачи в частных производных сводятся к решению независимых уравнений с периодическим коэффициентом типа Хилла, как правило, лишь приближенно и, во-вторых, в последние годы появились теоретические и экспериментальные исследования по параметрической неустойчивости распределенных систем, обладающей свойствами принципиально отличными от указанных выше [4.5-4.15, 4.18-4.20]. [c.139]

Существенный интерес представляет построение решений уравнений (46) в случае периодической функции U t), т.е. уравнений типа Хилла или Матье [6, 12]. Весьма важным для приложений оказывается построение границ устойчивости этих колебаний для каждой из мод и, в первую очередь, для низших мод. Эти вопросы приводят к необходимости решения периодических краевых задач. [c.59]

Вводные замечания. Задача трех или большего числа тел считается по справедливости одной из самых знаменитых проблем в математике. Тем не менее, до недавнего времени весь интерес в этой проблеме был направлен на формальную сторону вопроса и в частности на формальное решение посредством рядов. Пуанкаре был первым, получившим блестящие качественные результаты, касающиеся в особенности специального предельного случая так называемой ограниченной проблемы трех тел , рассмотренной впервые Хиллом. Что касается общей проблемы, то главные результаты, полученные Пуанкаре, следующие во-первых, он установил существование различных типов периодических движений методом аналитического продолжения во-вторых, он показал, что в силу самой структуры дифференциальных уравнений проблемы тригономстричсскис ряды могут быть полезными, и, наконец, в-третьих, он указал на пригодность этих рядов, как асимптотических. Все эти результаты остаются справедливыми не только для проблемы трех тел, но и для всякой гамильтоновой системы. К несчастью, в его исследованиях всегда имеется вспомогательный параметр //, причем при /X = О система будет специального интегрируемого типа. Таким образом, возникающие трудности (по крайней мере, отчасти) более зависят от особой природы интегрируемого предельного случая (когда два из трех тел имеют массу 0), чем присущи самой проблеме. [c.259]

Замечание 2. В работе [49] замечена связь п-мерной задачи Якоби о геодезических и устойчивого нулевого положения равновесия линейного уравнения типа Хилла с периодическими коэффициентами. Оказывается, что число резонансных зон конечно и не превосходит размерности эллипсоида тогда и только тогда, когда периодическая функция B. t) в уравнении х = —B. t)x есть множитель Лагранжа для некоторой геодезической на эллипсоиде (точнее, B. t) = [c.168]

При ц = О планетный вариант неограниченной задачи трех тел вырождается в две задачи двух тел (одна задача двух тел с массами то п ту = О, вторая задача двух тел с массами то и тг = 0). Очевидно, что среди возможных движений в вырожденной задаче имеются кеплеровские эллипсы, описываемые нулевыми массами т, = тг = 0. Пусть, в частности, кеплеровские орбиты суть компланарные окружности. Пуанкаре доказал [2], что при 11фО в плоской неограниченной задаче трех тел существуют периодические решения, близкие к круговым. Точнее, взаимные расстояния между тремя телами будут периодическими функциями времени, а чтобы координаты каждого тела были периодическими функциями времени, необходимо рассматривать равномерно вращающуюся (с конечной угловой скоростью) систему координат. В неподвижной системе координат координаты трех тел не будут, вообще говоря, периодическими функциями времени. Если ввести для таких периодических решений оскулирующий кинематический параметр — эксцентриситет, то он имеет порядок величины ц. Эти плоские перподиче-ские решения задачи трех тел были названы Пуанкаре решениями первого сорта, и они образуют четырехпараметрическое семейство решений. Пуанкаре показывает, что все множество периодических решений не богаче, чем однократное бесконечное множество периодических решений, так как одни семейства решений переходят в другие с помощью элементарных преобразований. Заметим также, что решение Хилла является частным случаем периодических решений первого сорта Пуанкаре. [c.792]

Линейное уравнение вида (1.8) с периодическим коэффициентом p(t) общего вида впервые получено американским астрономом Дж. Хиллом в связи с задачей о движении перигея Луны и теперь носит его имя [55]. Дж. Хилл предложил метод решения этого уравнения с использованием определителей бесконечного порядка. Метод Хилла обсуждается в 4. Обобщение теории Хилла на случай системы уравнений дано Д. В. Трещевым и С. В. Болотиным оно изложено в добавлении 2. [c.86]

Уравнение Хилла часто встречается в задачах об устойчивости периодических движений с ударами. В качестве еще одного примера рассмотрим вопрос об устойчивости двузвенной периодической траектории биллиарда Биркгофа точка движется по отрезку длины t, периодически упруго отражаясь от кривой. Эта задача решена в 6 гл. 2. Обозначим радиусы кривизны граничной кривой биллиарда в концевых точках отрезка через Ri и R , пусть Ri R2- Снова вводя поле упругих сил, получим уравнения в вариациях, аналогичных условию (1.8) [c.86]

Отметим еще, что периодические движения (1.2) являются решениями гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Поэтому два их мультипликатора равны единице, а остальные нетривиальные мультипликаторы определяются как корни характеристического уравнения (1.14), отвечающего уравнению Хилла (1.8). Аналогичное замечание относится и к задаче о двузвенной периодической траектории биллиарда Биркгофа. [c.89]

Периодические решения астероидной задачи трех тел были рассмотрены Хиллом для случая, когда возмущающей планетой является Юпитер. Хплл принимает е =0,04825 и учитывает в члены до шестого порядка включительно. В случае, когда р — q большое числс, Хилл получает. значения корней уравнения (25 ), приводимые в табл. XXII. [c.443]

Значение периодических орбит для астрономии должно быть высоко оценено. С теоретической точки зрения, как замечает Пуанкаре, при помощи периодических орбит сначала удастся вторгнуться в область, до сих пор недоступщ ю анализу — в структуру интегралов задачи трех тел. Основополагающие работы Пуанкаре представляют собой бесценный источник для математиков и астрономов. Периодические решения скоро будут оказывать большую помощь практической астрономии. Как пзвестно в настоящее время, в планетной системе существует один случай, в котором действительно имеет место периодическое решение задачи трех тел (в этом случае проблемы четырех тел), а именно — для трех внутрен1шх спутников Юпитера. Значение периодических решений для астрономии заключается главным образом не в возможности обнаружить в природе такие случаи (хотя каждый пример такого рода и представляет исключительный интерес), а чтобы с их помощью можно было успешно разрешить различные особенно трудные проблемы небесной механики. В своей основополагающей работе о движении Луны Хилл исходит из периодического решения первого сорта, а относящиеся к этому численные исследования рассматривает не как вычислительные упражнения, а как истинную основу для точного расчета лунной орбиты. Эта исходная точка может с успехом найти при- [c.462]

Другими частными решениями задачи трех тел, существование которых доказано строго, являются периодические орбиты. Работа Пуанкаре ) представляет обширную теорию этого класса орбит. В гл. XII настоящей книги пример такого рода периодических орбит приводится при рассмотрении теории Хилла —Брауна движения Луны. Метод, примененный для изучения орбит в окрестности периодической орбиты, выбранной в качестве первого приближения в теории Луны, применим в большинстве случаев и к периодическим орбитам в ограниченной задаче. Однако в этом случае уравнения в вариациях больше не являются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, как это было для частных решений Лагранжа. Коэффициенты этих линейных уравнений представляют собой периодические функции времени. [c.234]

В предыдуш,ем параграфе мы нашли только приближенное решение задачи трех тел теперь будем искать точные периодические решения задачи трех тел, из которых решение Хилла получается как предельный случай. Но при этом мы ограничимся только плоской задачей трех тел и примем за основу рассуждение, приведенное в начале 17. Заменим материальные точки Рх и Рз их обгцим центром инерции Ро с массой Ш1 + Шз = /1 и допустим, что относительное движение Р2 вокруг Ро есть круговое, с угловой скоростью и = . Выберем единицу массы так, чтобы тх + Ш2 + тоз = 1, следовательно, Ш2 = 1 — р и [c.177]

В предельном случае р = О, 5 = О получаются решения Хилла, которые были выведены в предыдущем параграфе, где рассмотрение рекуррентных формул для коэффициентов было более простым, потому что вместо I входило 21 и отсутствовала особенность при I = 1. При ( = ОиО<р<1 получаем ограниченную задачу трех тел, в которой масса Лупы равна пулю. Для этого случая периодическое решение было найдено Брауном [2] по методу Хилла. Полученное памп общее решение было найдено Мультопом другим способом, а имеппо, с помощью метода малого параметра Пуанкаре. Этому методу посвящен следующий параграф. [c.185]

Помимо работы Дарвина и Штрёмгрена, положившей начало таким исследованиям, наиболее полный анализ периодических орбит в ограниченной задаче был выполнен Эноном [10, 11], 114] и Броуке [2]. Ими были рассмотрены случаи ц = 0,5 О и 0,012 соответственно. Здесь под исследованием случая ц = О подразумевается не задача двух тел, а система, получающаяся в результате специального предельного перехода из ограниченной задачи трех тел в форме Хилла. [c.161]

Не задаваясь целью отыскания общего решения уравнения Хилла (3.125), что является задачей весьма трудной, ограничимся исследованием возможности получения периодических решений, характеризующих колебания с постсянной амплитудой и наступающих при определенных условиях, а также выяснением условий устойчивости системы [ 5], [ ]. [c.181]

Это уравнение изучалось довольно интенсивно. Оно является частным случаем уравнения Хилла, которое в свою очередь является линейным дифференциальным уравнением с периодическими коэффициентами. Аналогичные уравнения появляются во многих задачах прикладной математики, в частности в задачах об устойчивости поперечной колонны, подверженной периодической продольной нагрузке об устойчивости периодических решений нелинейных консервативных систем о распространении электромагнитных волн в среде с периодической структурой о движении Луны, а также в задачах о возбуждении некоторых электрических систем. [c.71]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...