Описание движения эйлерово

Различие между эйлеровой и лагранжевой системами отсчета можно проиллюстрировать на примере описания движения материальной частицы жидкости, текущей в некотором русле относительно неподвижных берегов (рис. 5.2). Пусть оси Оху связаны с берегами неподвижно, а начальное положение движущейся частицы А совпадает с геометрической точкой Ао (. о. о)- При ламинарном течении со скоростью V положение точки А относительно осей Оху определяется координатами j/= i/o, л =A o-fJ у dt, тогда как лагранжевы [c.97]

Запись параметров движения сплошной среды в пространственных координатах , назьшается эйлеровым (пространственным) описанием движения. Например, с использованием (1.2.9), вектор перемещения [c.24]

Описание движения в эйлеровых координатах [c.30]

Возможны два способа описания движения частиц сплошной среды. Первый способ, широко распространенный в гидро- и аэродинамике, связан со следующим выбором метода описания движения среды все величины, характеризующие движение сплошной среды, задаются в координатах неподвижного пространства. Такой выбор независимых переменных был применен впервые Эйлером, и поэтому координаты называют эйлеровыми. Возможен и другой метод выбора независимых переменных в качестве независимых переменных выбирают начальные координаты какой-либо частицы жидкости в некоторый фиксированный момент времени в последующее время эта частица перемещается в пространстве, координаты неподвижного пространства являются функциями начальных координат частицы. Этот метод описания движения сплошной среды несколько напоминает метод, используемый в динамике материальной точки, и его связывают с именем Лагранжа, а соответствующие координаты называют лагранжевыми. Лагранжевы координаты широко используются в теории упругости, а также во многих воп])осах нелинейной акустики в газах, жидкостях и твердых телах. [c.15]

Ниже мы решаем вопрос об устойчивости вязкопластического течения полосы и круглого прута, пользуясь иным методом, связанным с эйлеровым способом описания движения сплошной среды (см. также [167]). [c.612]

В предыдущих главах мы пользовались эйлеровым методом описания движений жидкости. При использовании этого метода течение несжимаемой жидкости в момент I характеризуется полем скорости и(Х, 1)у т. е. значениями вектора скорости во всевозможных точках = Хи Х2, Хг) пространства (в настоящем разделе по причинам, которые будут ясны из дальнейшего, нам будет удобно обозначать координаты А /, а не л /, как в предыдущих главах). Уравнения гидродинамики (из которых давление можно исключить с помощью уравнения (1.9)) при этом в принципе позволяют определить значения переменных Эйлера и(Х, t) в любой момент времени > /о по заданным начальным значениям и(Х, о) = ио(Х). Однако для изучения таких явлений, как турбулентная диффузия (т. е. распространение примесей в поле турбулентности) или деформация материальных поверхностей и линий (состоящих из фиксированных элементов жидкости) в тур-булентном течении, более удобным оказывается лагранжев метод описания движений жидкости. Он заключается в том, что вместо скоростей жидкости в фиксированных точках X пространства за основу берется движение фиксированных жидких частиц , прослеживаемое, начиная от некоторого начального момента времени / = to. Под жидкими частицами при этом понимаются объемы жидкости, размеры которых очень велики по сравнению со средним расстоянием между молекулами (так что для соответствующих объемов имеет смысл говорить об их скорости, оставаясь в рамках механики сплошной среды), но все же настолько малы, что скорость и давление внутри частицы можно считать практически постоянными и в течение рассматриваемых промежутков времени эти частицы можно считать перемещающимися как одно целое (т. е. без заметной деформации). Лагранжев метод самым непосредственным образом связан с реальными движениями отдельных элементов жидкости, совокупность которых и составляет течение поэтому его можно считать физически более естественным, чем эйлеров метод описания. В то же время в аналитическом отношении использование переменных Лагранжа, относящихся к индивидуальным частицам жидкости, оказывается гораздо более громоздким, чем использование переменных Эйлера и(Х, t), вслед- [c.483]

Уравнения Эйлера. Совместим точку О с центром масс и перейдем к описанию движения тела в терминах переменных К и эйлеровых углов ап = (р, в, ф). Подставляя Р = тК, = К + в (22.1 а), получим [c.206]

В случае эйлерова описания движения это удобно, поскольку формально материальная производная совпадает с полной производной по времени от сложной функции времени i, которое входит как явным образом, так и через закон движения х = [c.46]

Здесь совершен переход от материального ( лагранжева ) описания движения к пространственному ( эйлерову ), как объяснялось в 1. Соотношением (2) определяется поле скоростей в среде. В (1) прослеживается движение данной частицы, в (2) наблюдается движение теперь, в этом месте . [c.37]

Как известно [17], в гидромеханике переход от эйлерова описания движения жидкости к лагранжеву при заданном поле скорости V (г, t) подразумевает интегрирование кинематических уравнений траекторий жидких частиц [c.472]

Анализ движения элемента жидкости. Важным моментом в описании движения жидких частиц является допущение о непрерывности функций, задающих поле скорости в эйлеровых координатах. Именно это обстоятельство позволило полностью охарактеризовать движение в малой окрестности жидкой частицы. Согласно кинематической теореме, независимо установленной в работах О.Коши, Д.Стокса и Г.Гельмгольца [250], изменение, которое претерпевает бесконечно малый объем жидкости с центром в точке Р за время Л, состоит из наложения трех типов движения, а именно [c.24]

В предыдущих главах мы все время пользовались эйлеровым методом описания движений жидкости. При использовании этого метода поток несжимаемой жидкости (которую мы только И будем рассматривать в настоящей главе) в момент I характеризуется полем скорости и (ЛГ, ), т. е. значениями вектора скорости во всевозможных точках X = (Хь Хг, Хз) пространства (в настоящей главе по причинам, которые будут ясны из дальнейшего, нам будет удобно, как правило, обозна чать координаты через а не через Хи как в предыдущих главах). Уравнения гидродинамики (из которых давление можно исключить с помощью (1.9)) при этом позволяют (во всяком случае, в принципе) определить значения переменных Эйлера и(Х, 1) в любой момент времени по заданным [c.460]

При описании движения жидкости и газа в 2 использовались эйлеровы координаты. Все величины — скорость и, плотность р и давление р, при таком подходе считаются функциями времени t и координат X, у, z неподвижного пространства, т. е. и, у, р = = Ф t X, у, z). Когда вычисляется полная производная по времени d/dt, нужно учитывать, что х, у, z также зависят от времени, так как положение гидродинамической частицы в пространстве изменяется. Поэтому [c.26]

Шесть независимых величин координаты начала подвижной системы Хо, уо, zo и три эйлеровых угла г 5, д, ф — в совокупности однозначно определяют положение подвижной системы координат относительно неподвижной, а значит, и положение твердого тела. Аналитическое описание движения последнего состоит в задании шести однозначных и непрерывных функций времени [c.46]

Сложное движение твердого тела. Как уже выяснено в 2, для описания движения свободного твердого тела надо задать шесть независимых кинематических уравнений (2.1) три координаты полюса Хо, Уо. 2о и три эйлеровых угла г] , О, ф как функции времени. Радиус-вектор, определяющий движение произвольной точки [c.62]

Особенности лагранжева и эйлерова методов описания движения сплошной среды продемонстрируем на примере установившегося движения жидкости (рис.3.6), при котором траектория и линия тока совпадают. [c.34]

Остальные уравнения для описания движения пузырьковой жидкости имеют тот же вид, что и в 7. Процедура расчета также аналогична описанной в 7 с Toii лишь разницей, что при v = I (v = 2 n 3) для решения необходимо вычислять эйлерову координату частиц x t, г), испсльзуя второе уравнение (6.9.1). [c.111]

ЛАГРАНЖЕВО И ЭЙЛЕРОВО ОПИСАНИЯ ДВИЖЕНИЯ. Рассмотрим движение сплошной среды, не накладывая вначале требование малости смещений. Выберем некоторый базис бь б2, бз. Будем считать его фиксированным относительно наблюдателя. [c.93]

При использовании второго подхода, который носит имя Эйлера, рассматривают все величины как функцию координат частиц в текущий момент времени — пространственных координат (tZ/, X, X ). Подход Лагранжа называют также материальным, а подход Эйлера — пространственным. Другими словами, при ла-гранжевом описании движения среды следят за движением каждой материальной частицы среды, имеющей в начальный момент времени координаты (С ,С ,С ). При эйлеровом описании следят за происходящим в каждой фиксированной точке пространства (ж ,ж ,ж ), через которую в разные моменты времени проходят различные материальные частицы [59, 82. [c.6]

Таким образом, при лагранжевом способе описания движения сплошной среды изучается поведение материальной точки этой среды, а при эйлеровом — поведение сплошной среды в точке пространства. [c.41]

Тензоры деформации при эйлеровом и лагранжевом способах описания движения сплошной среды. Продифференцировав первую группу уравнений из (2.6) по материальным координатам получим тензор второго ранга с компонентами Fik = dxi/dat, который называется [c.41]

Соотношения (3.18) устанавливают симметрию тензора напряжений Коши при эйлеровом способе описания движения и отсутствии распределенных объемных и поверхностных пар сил. [c.70]

Таким образом, лагранжево и эйлерово описание движения сплошной среды эквивалентны в том смысле, что позволяют од-нознатао определить положение любой частицы среды в произвольный момент времени. [c.122]

Дано пространственное (эйлерово) описание движения континуума XI = Х1б + Хз (е — 1), лгг = Хз (е — е ) + Х , х = = Хз- Доказать, что якобиан J для такого движения отличен от нуля, и найти материальное (лагранжево) представление этого движения, обращая уравнения для перемещений. [c.167]

С точки зрения использования вычислительных методов лагранже-во описание движения в гидромеханике предпочтительно для одномерных задач (распространение плоской и сферической ударных волн, особенно в области развития скачка, положение которого заранее неизвестно), в то время как эйлерово описание широко используется при численных расчетах плоских и пространственных потоков, [c.44]

Описание деформаций можно проводить в эйлеровом и в лагранжевом представлении, которые непосредственно связаны с методами Эйлера и Лагранжа описания движения среды. [c.60]

Предложенная Олдройдом (1950 г.) производная по времени от тензорных характеристик среды устанавливает связь между материальными производными от компонент тензора, взятых в абсолютной и собственной системах координат. При этом в качестве собственной системы выбирается лагранжева (сопутствующая) система, а система наблюдателя служит в качестве абсолютной системы. Таким образом, различие между двумя материальными производными целиком определяется движением среды, а их вычисление связано либо с лагранжевым, либо с эйлеровым описанием движения. [c.313]

Принцип Херивела — Лина (Herivel J. W., Ып С. С.) (эйлерово представление). Поскольку в эйлеровом описании движения величины , р, ри S рассматриваются как функции точек пространства х,, х , и времени I, то связь с частицей, которая находится в данной точке пространства, здесь в некотором смысле теряется. Это вызывает трудности при формулировке вариационного принципа, единого для разных моделей жидкостей. В этом случае идут по пути установления вариационных принципов, каждый раз для новых систем уравнений и граничных условий, относящихся к той или иной модели жидкости (газа) (см. задачу 16.2), [c.456]

Способ описания движения сплошной среды с помощью незавнси мых переменных а , I называется точкой зрения Эйлера, а переменные — пространственными, или эйлеровыми координатами. [c.11]

До сих пор при описании движения сплошной среды использовался способ Эйлера, в котором все величины считаются функциями координат х, у, z неподвижного пространства и времени I. Таким образом, эйлерово описание позволяет следить за движением различных частиц гкидкости в определенных точках пространства. [c.127]

Поле скорости жидкости. Скорость является важнейшим понятием, которое наряду с законом движения характеризует течение жидкости. В лагранжевых координатах при наличии закона движения (1.12) скорость 1> Х,0 жидкой частицы по определению V = Ьх/Ы. Она вычисляется для фиксированной частицы и численно равна расстоянию, прдходимому за единицу времени, поэтому здесь берется частная производная от х по Однако задание скорости в лагранжевых координатах при описании движения жидкости встречается крайне редко. Кроме того, такое задание не позволяет просто определить пространственные градиенты скорости в точках жидкости. Поэтому при анализе течения основной независимой переменной выступает векторная функция и(х, 1) — скорость жидкости в точке х в момент времени /. В эйлеровых координатах она определяется как объем жидкости, проходящей за единицу времени через единичную площадку, которая перпендикулярна направлению потока. Отыскание векторного поля скоростей к(х, 1) наряду со скалярными полями давления р(х,0 и плотности р(х, /) является основной задачей гидромеханики. [c.16]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...