Грина функция для задачи Дирихле

Уравнение (10) в частных производных может быть приведено к интегро-дифференциальпому уравнению, определяющему тот интеграл уравнения (10), который удовлетворяет поставленным граничным уловиям. Это интегро-дифференциальное уравнение устанавливается введением функции Грина С для задачи Дирихле с нулевыми значениями на окружностях р = Ро и р = 1. [c.736]

Эта формула даст решение внутренней задачи Дирихле, если принять, что поверхность 5 совпадает с 2 и что ф = 0 на 2. Эта же формула даст решение задачи Неймана, если гармоническая функция ф определена условием Эф/й/г = 0 на 2. Две различные функции ф, определенные такими условиями, называются функциями Грина для задачи Дирихле или для задачи Неймана. Гармонические функции ф хо, у о, 2о, х, у, ) имеют особенности внутри Ж соответствующие условия на 2 для регулярной гармонической функции к имеют вид [c.167]

Основываясь на рассмотренных здесь дл у1фо анстка, свойствах зеркальной симметрии, по-ограниченного плоскостью строим функции Грина для задач Дирихле и Неймана в области представляющей собой верхнее или нижнее полупространство, ограниченное плоскостью г = 0. [c.178]

Легко усмотреть, что функция Грина для задачи Дирихле вне сферы представится формулой [c.180]

Пользуясь свойствами О (х, у) п g (х, у) (тензора Грина оператора А (д ) и функции Грина оператора Д для задач Дирихле) из формулы Гаусса— Остроградского будем иметь [c.411]

Фредгольмов оператор 119 Функция Грина для задачи Дирихле 415 [c.472]

Существование функции Грина следует из того факта, что для каждого положения точки р определение функции и д) сводится к разрешимой задаче Дирихле. [c.108]

Возникает, естественно, вопрос о возможном преимуществе решения задачи Дирихле посредством функции Грина по сравнению с решением той или иной конкретной задачи каким-либо иным методом, например, посредством интегральных уравнений. Нужно отметить, что построение функции Грина, вообще говоря, требует решения совокупности краевых задач для различных положений точки р, однако для отдельных областей удается построить функцию Грина в явном виде. [c.108]

Зная функцию Грина, можно получить решение задачи Дирихле для полупространства [c.109]

В 10 гл. I было показано, что решение задачи Дирихле для шара может быть получено методом разделения переменных с привлечением присоединенных сферических функций. Если же вспомнить, что в 5 гл. III было установлено, что решение пер вой основной задачи теории упругости для шара может быть сведено к трем задачам Дирихле, то появляется возможность непосредственно реализовать метод разделения переменных и для решения задач теории упругости (рассуждения в случае второй основной задачи аналогичны, но более громоздки). Применим метод разделения переменных с использованием представлений Папковича — Нейбера при решении задачи для шара. Первоначально найдем решение осесимметричной задачи, которое позволит построить функцию Грина уже для произвольного случая нагружения. [c.333]

Таким путем решение общих задач Дирихле и Неймана для функции ф с произвольными граничными данными сводится к решению частных задач Дирихле и Неймана длй функции к с граничными условиями (12.22). Очевидно, что таким же путем можно строить функцию Грина для смешанной задачи. [c.167]

Функция Грина. Решение задачи Дирихле для произвольной плоской области, ограниченной контуром С, даётся формулой [c.250]

Для решения задачи Дирихле (4.53), (4.54) достаточно знать ее функцию Грина, т.е. решение специальной задачи Дирихле [c.110]

Пусть Сс г, г, д, д ) — функция Грина задачи Дирихле для области, ограниченной кривой г = так что Ос содержит Хс и 1с [c.646]

Заметим, что в некоторых случаях решение указанных выше задач Дирихле или Неймана можно не производить. Например, если возбуждение внешнее и нас интересует только поле вне тела, то искать U+ не надо, так как с помощью формулы Грина (2.8) эта функция может быть исключена из выражений для амплитуд. [c.113]

Если Я = 0 — собственное значение оператора А, а целью является приближенное решение внешней задачи Дирихле, то можно поступить следующим образом. Заменим область на V E , где Яе —шар малого радиуса, лежащий внутри V , и подчиним решение условию ди/дг- - и = 0 на его внешней поверхности Sj с р = onst, ImP<0. Можно проверить, что модифицированная таким образом задача (36.1) — (36.3) с Я = 0 однозначно разрешима и эквивалентна интегральному уравнению Лф = , в котором А уже не имеет собственного значения 0. Ядро оператора А имеет вид G x, у) а у), где G (х, i) — функция Грина для уравнения Гельмгольца в дополнении к E с указанным выше условием на Sg и условием излучения на бесконечности. Функция G(x, y) — G x — y) принадлежит С°° при х, у (см. [3], гл. III), так что А —А—бесконечно сглаживающий оператор. Поэтому для А сохраняются теоремы 1 и 3 и их следствия. Функцию G x, у) можно выписать в явном виде (см. [67]). [c.358]

Изучение приливов при такой постановке задачи широко представлено как в отечественной, так и зарубежной литературе. П. Я. Полуба-риновой-Кочиной (1938) принадлежит решение об определении собственных колебаний жидкости в плоских бассейнах при наиболее общих предположениях о виде границы бассейна. Ею показано, что решение может быть осуществлено путем нахождения фундаментальных чисел и функций интегрального уравнения, ядро которого представляется через функцию Грина для соответствующей задачи Дирихле. Исследование интегральных уравнений выполнено Полубариновой-Кочиной с использованием разложений в ряды по степеням малого параметра, пропорционального угловой скорости вращения бассейна. Для конкретного случая прямоугольного бассейна ею проведен подробный аналитический анализ решения и вычислены первые члены рядов (1937). В. А. Яблоков (1944) построил котидальные карты и изучил особенности собственных колебаний в зависимости от соотношения между длинами сторон прямоугольного бассейна. [c.81]

Для решения задачи Дирихле следует пайти функцию Грина О (х, у т,), определяемую следующими условиями [c.176]

Класс, к которому относятся функции (л ) и (х), мы уточним ниже. Кривую 5j = Л )В дополним кривою S = BEA так, чтобы область Вд, ограниченная замкнутой кривой 2 +5з = ЛСВ Л, не имела общих точек с областью Пусть G(x, у) есть функция Грина задачи Дирихле для односвязной области В + Вд + з, ограниченной замкнутой кривой -f- 5з = ADBEA. Имеем [c.415]

Базируясь на работе Д. Людвига [2] и на интегральных априорных оценках решений уравнения Гельмгольца, К. Моравец и Д. Людвиг [1] строго оправдали лучевые разложения функции Грина задачи Дирихле в освещенной области и асимптотические формулы для нее в полутени. [c.446]

Таким образом, можно записать ГИУ и в том случае, когда область ограничена несколькими поверхностями 5о, Si,. ... .., Sk или тело кусочно однородно (см., например, [1—3]). Если известна функция Грина краевой задачи типа Дирихле или Неймана для области, внешней по отношению к поверхности 5j (пусть 5] — внутренняя граница), и в исходной краевой задаче на Si заданы нулевые условия, то, используя при выводе ГИУ не фундаментальное решение дифференциальных уравнений (как обычно делается), а функцию Грина, можно получить ГИУ, в котором интегралы по Si отсутствуют. Именно так в [4] преобразовано ГИУ двумерной задачи теории упругости для тела с трещиной. [c.183]

Метод эталонных задач позволяет сделать следующий шаг и получить не только главный член асимптотики, но и все последующие. В главе 10 основное внимание уделяется построению асимптотических разложений для функции Грина в пограничном слое, примыкающем к отражающей поверхности 5. На поверхности 5 может быть поставлено любое из краевых условий (3) —(5), при этом без каких-либо специальных предположений относительно ц М) в случае смешанного краевого условия. Наиболее подробно рассматривается случай условия Дирихле. Построенные в главе 10 разложения представляют собою достаточно простые формальные ряды по дробным степеням волнового числа к. Однако за пределами пограничного слоя эти разложения в исходной форме неприменимы. Для получе- Ния формул, пригодных за пределами пограничного слоя, требуется выполнить переход от координат пограничного слоя к так называемым эвольвентным координатам. На этом пути получены и выписаны асимптотические формулы, справедливые с погрешностью 0(й"2/з) дд любом расстоянии от границы препятствия. [c.17]

В теории Дирихле решающую роль играет обратное в некотором смысле утверждение оператор, обратный к L, задаваемый функцией Грина задачи, дает решение и, непрерывно зависящее от правой части f. Это означает, что для каждой функции f существует единственное решение и и для некоторой постоянной р [c.83]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...