Ритца метод сетка

Формулировка метода конечных элементов. Основные соотношения МКЭ для задач статики и динамики конструкций могут быть получены как обобщения известных вариационных методов Галеркина, Ритца и других, например коллокации, наименьших квадратов, на пространство кусочно-непрерывных базисных или пробных функций специального вида [47]. Для построения этого пространства исходная расчетная область D (конструкция или ее отдельные элементы) покрывается сеткой, составленной из совокупности М достаточно простых непересекающихся подобластей - конечных элементов Д , связанных между собой в отдель- [c.104]

Априорные оценки дают возможность оценить погрешность еще до того, как приближенное решение построено [0.11 . Как правило, априорные оценки суть оценки асимптотические — они дают лишь порядок убывания погрешности при бесконечном возрастании числа параметров, используемых при дискретизации координатных элементов в методе Ритца или числа узлов сетки в вариационно-разностном методе. Другими словами, большинство априорных оценок не дает возможности указать заранее, какое число членов ряда в методе Ритца или число узлов сетки следует взять, чтобы обеспечить нужную точность решения они только говорят чтобы уменьшить погрешность в k раз, достаточно увеличить число варьируемых параметров в I раз . [c.194]

Линеаризованные краевые задачи решают методами конечных разностей 19В, 148, 49, 227], вариационно-разностным [103], конечных элементов [182, 193], методами Ритца [113] и Бубнова — Галерки на [154]. Перечисленные методы сводят задачу к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и удобны для оболочек сложной формы. Особый интерес представляют направленные на подавление погрешности, вызываемой жесткими смещениями элементов оболочки, метод криволинейных сеток [76—79] и моментная схема конечных элементов [182]. Эти методы позволяют существенно увеличить шаги сетки по пространственным координатам при сохранении высокой точности результатов [27]. [c.24]

Лучшие результаты можно получить уменьшением размера сетки или применением экстраполяционного метода Ричардсона. Погрешность в значениях основных частот колебаний, полученных методом конечных разностей, является всегда меньшей, чем в результатах, полученных методом Рэлея — Ритца. На рис. 3 сопоставлены результаты, полученные для квадратных пластинок с круювыми вырезами Андерсоном и др. [7], использовавшими метод конечных элементов, а также результаты, полученные в этом исследовании для квадратных вырезов с целью установления характера поведения и проверки использованного здесь приближенного метода исследования влияния вырезов различных размеров на частоты свободных колебаний квадратных пластинок. Как видно из табл. 2, значения основных собственных частот свободных колебаний, полученных соответственна при помощи метода сеток и метода Неймарка [6], очень близки друг другу. Влияние коэффициента Пуассона ц изменялосй примерно от 7 до 10% при [а = 0,3. Предложенная формулировка задачи является более простой, и число решаемых уравнений гораздо меньше по сравнению с методом конечных элементов. Однако этот метод - пригоден только для квадратных или прямоугольных вырезов и не может быть использован в случае произвольных границ.. [c.58]

Отметим, что скорости убывания ошибок — h для переме щения и h для напряжения — опять-таки подтверждаются численным экспериментом. Многие экспериментаторы подсчитывали ошибки только в отдельных узлах сетки вместо среднеквадратичных ошибок на интервале и получили те же самые скорости сходимости. (Чтобы предсказать поточечные ошибки, мы должны вернуться к принципу максимума или предположить большую гладкость данных в среднем и улучшить вариационную оценку. В некоторых важных задачах решение по методу Ритца действительно точнее всего в узловых точках например, для —и" f, и(0) = и (п) = О функция и совпадает [c.65]

Подпространство сплайнов 5 , приемлемое для абстрактного метода конечных элементов, успешно применялось в одномерных приложениях. Построение уравнения /СР = Р и задание границы требуют изменений в технике, стандартной для узлового метода, но основные правила по-прежнему одинаковы для любой формы метода Ритца. Главное преимущество сплайнов в том, что дополнительная непрерывность уменьшает размерность пространства пробных функций без понижения степени аппроксимации. В узловом случае эрмитовы кубические полиномы определяются на каждом подынтервале значенияйи V и V в его концах (это означает, что на каждую точку сетки приходится М = 2 параметров). Порождающие функции Ф1 и Фг изображены на рис. 1.8 (функции яр и и соответственно). [c.127]

В этом разделе мы применим предыдущие теоремы об аппроксимации для достижения главной цели всей нашей теории нахождение оценки ошибки и — Ф метода конечных элементов. Функция и служит решением п-мерной эллиптической краевой задачи порядка 2т, а Ф — ее приближением Ритца, вычисленным в пространстве метода конечных элементов На равномерной сетке уравненря метода конечных элементов KQ = F становятся системой разностных уравнений, и мы находим одновременно порядок точности этих разностных уравнений. [c.195]

Для проблемы 1 предположим сначала, что на каждом квадрате сетки только один узел (и одно связанное с ним неизвестное) это случай линейных элементов на правильных треугольниках, билинейных элементов на квадратах и сплайнов. Тогда КО = Р будет выглядеть точно как общепринятое разностное уравнение. Этот факт привел к бесчисленным дискуссиям о связи между конечными элементами и конечными разностями. Ясно, что не все разностные уравнения можно получить подходящим выбором элемента матрица К должна быть симметричной и положительно определенной, но даже при этих ограничениях соответствующий элемент может отсутствовать. С другой стороны, достаточно терпеливый читатель может пожелать рассматривать все уравнения метода конечных элементов (даже на неравномерной сетке с многими узловыми неизвестными) как конечноразностные уравнения. Мы приветствуем это намерение. Вообще система КО = Р дает новый тип объединенных разностных уравнений, который в принципе можно было изобрести без вариационного принципа в качестве посредника. Исторически, конечно, это почти никогда не случалось. Метод конечных элементов систематически приводит к специальному классу уравнений [пересечению всевозможных разностных уравнений со всевозможными уравнениями Ритца — Галёркина), удивительно удачному при вычислениях. [c.200]

Если бы базис был ортонормальным, то матрица М была бы единичной и х = 1. Это не так для конечных элементов, но важно то, что на равномерной сетке базисные функции метода конечных элементов равномерно линейно независимы х(М) с onst. Другими словами, все собственные значения матрицы Ai одного и того же порядка. Как заметил Шульц, при аппроксимации по методу наименьших квадратов (который есть не что иное, как метод Ритца, примененный к дифференциальному уравнению нулевого поряка и = f) кусочные полиномы значительно более устойчивы, чем последовательность 1, х, у, х ,. .. обычных полиномов. Число обусловленности матрицы массы, соответствующей этой последовательности и являющейся матрицей Гильберта (1.6), растет по экспоненциальному закону. [c.240]

Поэтому особенности могут появляться, только когда граница или некоторые из исходных данных не будут гладкими. К сожалению, эти случаи встречаются часто, например в задачах механики разрушения, и при наличии особенностей продолжение исследований методом конечных элементов на равномерной сетке даст совершенно неудовлетворительные результаты. Как и в разностных аппроксимациях, эффективным приемом работы с. особенностями оказалось локальное сгущение сетки (в том смысле, который обсуждался в предыдущих главах). Однако о природе особенностей, возникающих в эллиптических задачах, известно много и специальная форма вариационного метода стимулирует нас к использованию этой информации в приближении Ритца-Галёркина. Данная глава и посвящается этой задаче. Мы начнем с выявления аналитической формы особенностей, которые могут возникнуть. [c.298]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...