Задача Дирихле внешняя

При формулировке внешних задач Дирихле и Неймана № необходимо еще добавить ограничение на поведение функции в бесконечности типа (6.20). [c.98]

Внешняя и внутренняя задачи Дирихле разрешимы единственным образом. Действительно, в противном случае существовало бы решение, удовлетворяющее нулевым краевым уело- [c.98]

Решение уравнения Лапласа в некоторой области определяется заданием значений функции ф на поверхности 2, ограничивающей область 25. Задача об отыскании гармонической в области 25 функции по ее значениям на границе области 25 называется задачей Дирихле. Эта задача в односвязной области, вообще говоря, всегда имеет однозначное единственное решение. Поэтому движение жидкости и импульс давления внутри области полностью определяются, если на границе заданы значения внешнего импульса давления = — рф. [c.155]

Из существования конечной кинетической энергии следует, что приведенные выше доказательства о единственности однозначных решений внутренних задач Дирихле, Неймана и смешанной при наличии условия (12.17) автоматически распространяются на случай внешних задач. [c.173]

Таким образом получается полное решение внешней и внутренней задач Дирихле для сферы с помощью формулы (12.21), в которой функции ф], или Ф1 определены формулами (12.57) и (12.58). [c.180]

Задача Дирихле. Определить гармоническую функцию и н объёме, ограниченном поверхностью 6, если известны значения, которые она должна принимать на поверхности (внутренняя задача). Аналогичным образом можно определить функцию и для пространства вне объёма, ограниченного поверхностью 5 (внешняя задача). При этом ставится дополнительное требование при удалении точки М в бесконечность и (М) стремится [c.248]

Однако в отличие от известной задачи Дирихле одна из границ области (в данном случае — внешний контур Сг) является подвижной (деформируемой), причем скорость ее перемещения определяется градиентом потенциала на этой границе [c.485]

Аналогичное явление известно в электростатике. Решение внешней задачи Дирихле, к которой сводится разыскание поля [c.186]

Теперь, составив решения a>i x, у, z ро), <Ле х, у, z ро) внутренней и внешней задач Дирихле при этих заданиях на поверхности эллипсоида р = ро, придем к функции [c.312]

VI. 5. Внешняя и внутренняя задачи Дирихле для сжатого эллипсоида (сфероида). Сравнение форм частных решений уравнений Лапласа (VI. 1.3) и (VI. 1.8) для сферы и для сфероида показывает, что задание искомой гармонической функции на поверхности эллипсоида s = So можно также мыслить представлением в форме рядя (VI. 4.1) но в этом случае приходится разбить на отдельные слагаемые каждый член этого ряда [c.901]

Внутренняя задача о распространении гармонической волны имеет единственное решение, если со не является одним из собственных значений системы. Существуют, однако, родственные трудности в случае соответствующей внешней граничной задачи, что выражено уравнением (10.77), хотя оно, конечно, удовлетворяет обычным условиям регулярности, а также условиям излучения на бесконечности. Имеется бесконечная последовательность значений со, совпадающих с соответствующими резонансными волновыми числами или собственными значениями соответствующей внутренней задачи, при которых это уравнение имеет множество решений. Поэтому решение внешних задач Дирихле или Неймана не будет иметь успеха при волновых числах, отвечающих собственным значениям внутренних задач Неймана и Дирихле соответственно. Это не физическая трудность, присущая внешней задаче, так как для йнешних задач не существует собственных значений трудность неединственности полностью обусловлена формулировкой задачи через граничные интегралы. Подробное обсуждение возникающих здесь трудностей можно найти в работах [5, 10, 21, 23, 24, 55—57], где для преодоления этих трудностей предложены модификации как прямого, так и непрямого методов. [c.299]

Последующими преобразованиями добиваются разделения решения по каждой из взаимно независящих ве- [ичин X и 0 с тем, чтобы получить обобщенное решение. Рассмотрим следующий пример. Требуется рассчи-ать тепловой режим бесконечной пластины толщиной 6 заданным исходным распределением температуры по элщине <р(лс). На внешней и внутренней сторонах платы поддерживают постоянную температуру, равную, ример, нулю (задача Дирихле). [c.27]

Установлено, в частности, что уравнения типа (1.5), (1.6) не всегда имеют решение в случае внутренней задачи Неймана и внешней задачи Дирихле. Для Внутренней задачи Неймана дополнительные условия, гарантирующие разрешимость ИУ, сводятся к естественным требованиям, накладываемым [c.186]

Задача отыскания решения уравнения Лапласа по заданному значению функции на границе называется задачей Дирихле. Для внешней задачи Дирихле условия имеют вид (3.13). [c.133]

В работах [31, 32] задача с трением и сцеплением сводится к комбинированной задаче Дирихле-Римана Ьп Ф (0 = + хФ ( ) = 5f( ), где g(t) определяются через граничные перемещения и напряжения. Данный подход позволяет рассматривать взаимодействие с упругой полуплоскостью системы произвольно нагруженных штампов при условии, что касательное контактное напряжение на участках проскальзывания задано. Получены необходимые и достаточные условия, при которых решение имеет механический смысл. Эти условия имеют вид неравенств с параметром к = 0,1,2,..связывающих размеры участков сцепления и проскальзывания с условиями внешнего нагружения. [c.247]

Заметим, что в некоторых случаях решение указанных выше задач Дирихле или Неймана можно не производить. Например, если возбуждение внешнее и нас интересует только поле вне тела, то искать U+ не надо, так как с помощью формулы Грина (2.8) эта функция может быть исключена из выражений для амплитуд. [c.113]

Задача Дирихле ). Предположим, что О не является собственным значением оператора Л, и рассмотрим задачу (36.1) — (36.3) при Я = 0. Она распадается на внутреннюю и внешнюю задачи Дирихле с + = " = на 5 внутренняя задача разрешима (это следует из предложения 1), внешняя всегда однозначно разрешима (см. [И] или [36]). Для этой двойной задачи Дирихле нетрудно получить теорему типа теоремы 2. Ограничимся замечанием, что оценка (36.13) заменится оценкой [c.357]

Если Я = 0 — собственное значение оператора А, а целью является приближенное решение внешней задачи Дирихле, то можно поступить следующим образом. Заменим область на V E , где Яе —шар малого радиуса, лежащий внутри V , и подчиним решение условию ди/дг- - и = 0 на его внешней поверхности Sj с р = onst, ImP<0. Можно проверить, что модифицированная таким образом задача (36.1) — (36.3) с Я = 0 однозначно разрешима и эквивалентна интегральному уравнению Лф = , в котором А уже не имеет собственного значения 0. Ядро оператора А имеет вид G x, у) а у), где G (х, i) — функция Грина для уравнения Гельмгольца в дополнении к E с указанным выше условием на Sg и условием излучения на бесконечности. Функция G(x, y) — G x — y) принадлежит С°° при х, у (см. [3], гл. III), так что А —А—бесконечно сглаживающий оператор. Поэтому для А сохраняются теоремы 1 и 3 и их следствия. Функцию G x, у) можно выписать в явном виде (см. [67]). [c.358]

Пусть ф —ненулевая функция из Кег (/ + 26). Тогда феС°°(5) и внешняя задача Дирихле для уравнения Гельмгольца в с условием и = ц> на 5 и условием излучения на бесконечности однозначно разрешима. Вторая из формул (37.2) показывает, что А ди-1дМ) = 0. Пусть теперь ф —ненулевая функция из Кег Л. Тогда 11зеС°°(5) и внешняя задача Неймана для уравнения Гельмгольца с условием ди 1дМ = 1р на 5 и условием излучения также однозначно разрешима. Вторая из формул (37.2) показывает, что (/ + 26)ы- = 0. [c.363]

Точно так же из решения внешней задачи Дирихле определим другую гармоническую функцию (л х, у, z), обращающуюся в нуль на [c.257]

Эффективное проведение этого хода вычисления связано с возможностью указать криволинейную координатную систему, в числе замкнутых координатных поверхностей 5 которой имеется вырожденная поверхность — плоская область 2, снабжаемая верхней и нижней сторонами. Необходимо также располагать возможностью построения решений внешней и внутренней задачи Дирихле для поверх- [c.258]

Решения первого класса обозначим и достаточно рассмотреть только первое (о) ), так как второе (to") получится простой заменой os ср на sin 9. Следует, конечно, различать функции ш и U), дающие решения внутренней и внешней задач Дирихле для Эллипсоида s = Sq. [c.261]

Таким образом, получено выражение гармонической функции ш, решающей указанную выше внутреннюю и внешнюю задачу Дирихле для эллипсоида 5 [c.263]

Действительно, написанное выражение представляет гармоническую функцию внутри эллипсоида s = принимающую на поверхности этого эллипсоида заданные значения (3.30). Для решения внешней задачи Дирихле надо определить второе частное решение уравнения (3.35), обращающееся в нуль при 5- со. Это решение, назовём его q.2k(s), будет [ср. (3.21)] [c.265]

Решение внешней задачи Дирихле, принимающее при 5 = 50 значение (3.30), теперь может быть записано в виде [c.266]

Это выражение даёт решение задачи о равновесии упругой сплошной сферы, находящейся под действием уравновешенной системы внешних сил. Гармонический вектор П , через который выражено перемещение и, определяется из решения задачи Дирихле для сферы по известному на поверхности сферы значению этого [c.455]

Численный пример. Задача Дирихле для двусвязной области. Ищется гармоническая в кольце В, функция, принимающая на внутренней окружности радиуса Я (5)) = 1 нулевые значения, а на внешней окружности 2 радиуса к (З2) = 2 — значение 1п 2. Точное решение, как нетрудно проверить, есть 1пл(. о, х), где — [c.378]

Так как, с другой стороны, на бесконечности К(л ) = 0, то по теореме единственности решения внешней задачи Дирихле, имеем К(л ) = 0 при х В — В. Отсюда следует равенство нулю во всей области гармоничности, и следовательно, [c.398]

Решение внешней задачи Дирихле. Когда гармоническая функция по граничным значениям ищется в области В (внешняя задача), вспомогательную поверхность следует взять внутри [c.403]

Мы получили интегральное уравнение внешней задачи Дирихле однородное уравнение, как известно, имеет единственное нетривиальное решение и потенциал простого слоя с плотностью ф(у), равной решению союзного однородного уравнения, есть постоянная в Поэтому условие разрешимости неоднородного уравнения [c.408]

Сейчас мы рассмотрим новый метод изучения внешних задач и частот рассеяния. Мы применим этот метод сначала к задаче Дирихле, а затем к задаче сопряжения. [c.408]

Значительное место в его творчестве занимают вопросы теории ньютоновского потенциала, разработанные им в строго классическом направлении. Отправляясь от фундаментальных работ А. М. Ляпунова, относящихся к проблеме фигур равновесия, Леонид Николаевич живо и оригинально строит решение граничных задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа. В .предположении постоянной плотности он доказывает известную теорему П. С. Новикова по обратной задаче ньютоновского потенциала, а также исследует вопрос об аналитическом продолжении функций, представимых потенциалами. Эти результаты нашли освещение в опубликованной в 1946 г. монографии Теория ньютоновского потенциала , к которой примыкают две другие работы Об одной обратной задаче теории потенциала (1938 г.) и О единственности определения формы притягивающего тела по значениям его внешнего потенциала (1954 г.). Интерес Леонида Николаевича к этим вопросам не ослабевал до последнего времени ( К теории сфероида Лапласа , 1968 г.). [c.10]

Докажем непрерывность построенных кусочно квадратичных элементов на сторонах треугольников. Доказательство очень простое. Вдоль каждой стороны у будет полиномом второй степени от одной переменной. На каждой стороне лежат 3 узла — две вершины и средняя точка. Полином второй степени тремя значениями в -узлах определяется однозначно. Для двух соседних треугольников эти значения одинаковы, а значения в остальных узлах не влияют на у вдоль стороны, так что непрерывность доказана. Для стороны, лежащей на внешней границе Г в задаче Дирихле, три узловые значения (а значит, и ве сь полином) равны нулю. [c.98]

Метод Ритца основан на использовании известной теоремы Дирихле—Лагранжа, на основании которой формулируется следующий принцип потенциальная энергия упругого тела в состоянии устойчивого равновесия имеет минимальное значение. Для использования метода Ритца в задачах расчета пластин необходимо составить выражения для потенциальной энергии деформации пластины U и работы внешних сил А. Полная потенциальная энергия пластины равна их разности [17= U—A). Можно показать, что при задании прогиба в виде (20.67) полная потенциальная энергия является квадратичной функцией параметров а , n=n(ali). [c.450]

Смотреть страницы где упоминается термин Задача Дирихле внешняя : [c.173] [c.313] [c.587] [c.187] [c.173] [c.102] [c.121] [c.113] [c.534] [c.403] [c.405] [c.161] [c.182] [c.635]

Теория упругости (1970) -- [ c.186 ]

ПОИСК

Дирихле

Дирихле задачи

Задача внешняя

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...