425 — Уравнения мембран

Решение уравнений мембраны в такой форме весьма трудоемко. В расчетах используют соотношения, соответствующие малым [c.187]

Уравнения мембраны при малых прогибах и абсолютно гибкой мембраны можно получить как предельные случаи из дифферен- [c.260]

Для вывода дифференциального уравнения мембраны представим себе немного деформированный элемент поверхности dS (с поверхностной плотностью р) со сторонами dSx и dSy в состоянии смещения от положения равновесия (рис. V.1.1). [c.136]

Таким образом, с учетом граничных условий частные решения волнового уравнения мембраны представимы в виде [c.140]

Общее решение уравнения мембраны состоит из суммы частных решений [c.141]

Колебания круглой мембраны. Если мембрана натянута на круглом каркасе, то задачу о ее поперечном колебании удобно решать в полярных координатах. Пусть уравнение мембраны (IV. 1.6) имеет начальные условия [c.141]

Уравнение мембраны у входящего угла может быть взято в следующем виде [c.300]

Из этого выражения следует, что функция ср также удовлетворяет уравнению мембраны [а]. Величины функцни ср по контуру, на осно-гании выражений [ ] и [ /], будут выражаться уравнением [c.334]

Неоднозначность решений уравнения колебаний. Когда граничная задача математической физики относится к области, содержащей бесконечно удаленную точку, необходимо особо рассмотреть вопрос О поведении решения на бесконечности исследовать асимптотический характер решения в зависимости от пространственных координат. В условиях задачи обычно нет непосредственных указаний относительно этого характера, и он должен быть определен из косвенных соображений в соответствии с физическим содержанием вопроса, причем забота о том, чтобы принятый на бесконечности характер решения обеспечивал единственность искомого решения, является важнейшей. Ясно, что условие, обеспечивающее единственность, само, вообще говоря, не является единственным, и задача состоит в выборе этого условия наиболее целесообразным образом, и прежде всего так, чтобы решения с заданным характером на бесконечности существовали. Формулы Грина и им подобные, в частности в теории упругости формулы Бетти, служат средством, позволяющим делать этот, выбор однако после того, как из физических соображений или на основании указаний, которые черпаются из формул Грина, мы остановились на том или ином асимптотическом характере решения, необходимо доказать, что такое решение действительно существует и является единственным. Подобный выбор асимптотического характера решения граничных задач для уравнения мембраны (скалярное уравнение колебаний), основанный на применении формулы Грина, был сделан впервые в 1898 г. А. Зоммерфельдом и вошел в литературу под названием условия излучения-, доказательство суи<е-ствования и единственности решений основных граничных задач колебаний, удовлетворяющих условию излучения Зоммерфельда, было дано автором в 1933—1934 гг. [136, в, д]. [c.58]

Теорема 2. Если и есть решение уравнения мембраны A -)- 2 = 0 ( 2 > 0) и при этом [c.76]

В приведенных выше выводах и уравнениях термодинамические свойства мембраны не учитывались, поскольку речь шла о системах с жесткими мембранами, не изменяющими своего размера и формы. В случае гибких упругих мембран надо учитывать их вклад во внутреннюю энергию системы за счет энергии натяжения мембраны и работу изменения ее площади (5.8). Если мембраной является естественная поверхность раздела фаз, то коэффициент поверхностного натяжения граничной поверхности а является частной производной от внутренней энергии [c.137]

Уравнения (15.4), (15.5) определяют и равновесную форму граничной поверхности между фазами, т. е. форму поверхности, при которой реализуется минимум соответствующего термодинамического потенциала системы. Действительно, если мембрана гибкая и на нее действуют только силы, учтенные в (15.3), то разность давлений на мембране должна быть одинаковой в любой точке ее поверхности, так как в каждой из фаз давления изотропны (гидростатические давления), т. е. [c.138]

Внутренняя энергия мембраны является, следовательно, функцией ее площади, избытка энтропии и поверхностных избытков количеств составляющих веществ (адсорбции веществ). В соответствии с этим фундаментальное уравнение для мембраны имеет вид [c.139]

Все независимые переменные в этом выражении являются экстенсивными. Это справедливо и для площади поверхности со, поскольку, несмотря на отсутствие у мембраны собственного объема, ей приписываются определенные количества веществ, находящихся в объемах граничащих фаз. При неизменном строении переходного слоя эти количества изменяются пропорционально со, т. е. со относится к экстенсивным характеристикам системы. Поэтому для функции со, п ) применимо соотношение (3.8) и аналогично (9.43) можно записать уравнение Гиббса—Дюгема для мембраны [c.139]

В случае поперечных сечений сложной формы решение задачи о кручении может оказаться весьма трудоемким. В этом случае весьма эффективно использование так называемой мембранной аналогии Прандтля. Суть.ее заключается в том, что основные уравнения задачи о кручении стержня и задачи о деформации упругой мембраны, условно натянутой на контур поперечного сечения стержня и подвергнутой равномерному поперечному давлению q (рис. 8.4), аналогичны. [c.177]

Действительно, дифференциальное уравнение равновесия такой мембраны имеет вид [c.177]

На контуре L мембраны имеем из=0. Сравнивая уравнения (8.19), [c.178]

Для решения данной задачи (рис. 8.7) воспользуемся методом мембранной аналогии Прандтля. Представим себе мембрану, натянутую на контур поперечного сечения и нагруженную равномерно распределенной нагрузкой q. Мембрана получит прогибы из, удовлетворяющие уравнению [c.181]

Таким образом, решение исходного уравнения Пуассона в задаче об изгибе мембраны имеет вид [c.182]

Уравнение (2.123) является уравнением Пуассона. Заметим, что уравнение такого типа появляется и в задаче об изгибе тонкой мембраны, где б имеет смысл прогиба мембраны (вьшод уравнения изгиба мембраны имеется в большинстве курсов уравнений математической физики). [c.66]

Задача об определении деформации кручения по уравнению (16,11) с граничным условием (16,12) формально совпадает с задачей об определении формы прогиба равномерно нагруженной плоской мембраны по уравнению (14,9). [c.89]

Решение. Уравнение колебаний мембраны [c.143]

Для мембраны (5.45) уравнение движения примет вид [c.180]

Суперпозиция в классической и квантовой физике. Суперпозиция часто встречается в классической физике это хорошо известная суперпозиция классических волн. С математической точки зрения классическая суперпозиция и суперпозиция в квантовой физике аналогичны. Именно это обстоятельство немало способствовало развитию квантовой теории. В то же время оно затрудняло осмысливание физического содержания получаемых в теории результатов, так как порождало соблазн проводить неоправданные аналогии с классическими волнами. Как писал Дирак, допущение суперпозиционных связей между состояниями приводит к математической теории, в которой уравнения движения, определяюш,ие состояния, линейны по отношению к неизвестным. Ввиду этого многие пытались установить аналогии с системами классической механики, такими, как колеблющиеся струны или мембраны, которые подчиняются линейным уравнениям, а следовательно, и принципу суперпозиции. Важно помнить, однако, что суперпозиция в квантовой физике существенным образом отличается от суперпозиции, встречающейся в любой классической теории. Это [c.108]

Отсюда получим уравнение для прогиба о равномерно нагруженной мембраны [c.182]

Таким образом, граничное условие (7.88) для перемещений мембраны тождественно с граничным условием (7.13) для функции напряжений, а дифференциальные уравнения (7.87) и (7.33) становятся также тождественными, если принять [c.149]

Для определения наибольшего местного напряжения в точках А, следуя С, П. Тимошенко (1878—1972), используем мембранную аналогию. На рис. 7.30, б заштрихованные области представляют эпюры прогибов W мембраны. Поверхность мембраны по биссектрисе OOi выкружки приближенно можно считать поверхностью вращения с осью, перпендикулярной плоскости поперечного сечения и проходящей через точку О. Тогда уравнение (7,87) поверхности мембраны в зоне выкружки в полярных координатах имеет вид [c.189]

Произвольную функцию / (Xi) можно выбрать таким образом, что-. бы правая часть уравнения (8.9) обращалась в нуль. При этом функция Ф на контуре L поперечного сечения будет постоянной величиной, которую можно принять равной нулю. В этом случае задача изгиба бруса будет аналогична задаче определения прогиба равномерно натянутой мембраны на жесткий контур, совпадающий с контуром поперечного сечения бруса, и испытывающей непрерывную нагрузку, определяемую правой частью уравнения (8.16). , [c.206]

Уравнение (11.48) и контурное условие (11.49) для функции Oi тождественны с уравнениями поверхности идеально гибкой мембраны, натянутой на жесткий круговой контур радиуса г и подверженной давлению, меняющемуся по закону, выраженному правой частью равенства (11.48). Легко найти, что функция имеет вид [c.378]

Так как функция Фх должна удовлетворять условию (11.77), то можно потребовать, чтобы функции Ф , Ф11, и Ф , на контуре L поперечного сечения бруса также были равны нулю. Тогда уравнения (11.79), (11.80) и (11.82) вместе с контурными условиями для функций Ф1а> 1б и Ф е тождественны с уравнениями поверхности идеально гибкой мембраны, натянутой на жесткий прямоугольный контур, совпадающий G контуром поперечного сечения бруса, и подверженной давлению, изменяющемуся по законам, выраженным правыми частями уравнений (11.79), (11.80) и (11.82). [c.385]

Привлекая к рассмотрению процесса модель растворяющей мембраны, мы фактически одну феноменологию заменили на другую, более детальную (ср. уравнения (8.152) и (8.155)), так как коэффициент диффузии И константу Генри так же, как и величину П, надо находить экспериментально. Молекулярно-кинетическое рассмотрение позволяет выразить феноменологический коэффициент Lii через свойства газа (молекулярную массу и мольный объем), характеристику мембраны (радиус пор) и параметр процесса (температуру). [c.221]

Мембранная аналогия. Эта аналогия основана на том, что прогиб ненагруженной мембраны z удовлетворяет уравнению Лапласа [c.478]

Уравнение нагруженной мембраны является уравнением Пуассона и имеет вид [c.478]

ЧТО после соответствуюгцих преобразований основных уравнений дает ему возможность свести дело к интегрированию хоропю известных в математической физике уравнений (Пуассона, Лапласа, уравнения мембраны). Аналогичным об-эазом, но значительно сложнее, вопрос обстоит и в случае пространственного движения. [c.151]

Рис. 5.3. Графическое решение дисперсионного уравнения мембраны нри д=Ро = onst

Выражения (V.1.3) и (V.1.6) представляют собой волновые уравнения мембраны, записанные в прямоугольной XOY и полярной срог системах координат. [c.138]

Если положить частнре решение в виде гармонической функции времени ц = (г, ф) е то уравнение мембраны преобразуется в уравнение Гельмгольца относительно функции (г, ф) [c.142]

Шехтер В. Я-, Решение дифференциального уравнения мембраны применительно к вытяжке прямоугольных форм, Труды хМАТИ, вып 9, Оборонгиз, 1950. [c.456]

Теоремы существования, которые мы доказали выше, опираясь на теорему о простоте полюсов резольвенты, могут быть доказаны и в том случае, когда полюс резольвенты не предполагается простым. Для интегральных уравнений Фредгольма и для задач о колебании мембраны и об упругих колебаниях это было показано автором в работах [13а, д.]. Позже (1952 г.) к тем же результатам в частном случае задачи Дирихле и только для уравнения мембраны пришел Вейль в работе [46]. Для того чтобы указанный метод распространить на системы сингулярных интегральных уравнений, необходимо теорию этих уравнений, изложенную в гл. V, дополнить теорией главных функций и канонических ядер Гурса [7], что, конечно, нетрудно сделать. Мы, однако, на этом не останавливаемся, так как в теории упругости, как мы видели, случаи полюсов высших порядков не встречаются. [c.205]

Мембранную аналогию можно использовать и при кручении бргу-са с многосвязным поперечным сечением. На каждом внутреннем контуре Lk функция напряжений Ф (х , х ), как уже известно, должна иметь постоянные значения Ф , определяемые из уравнений (7.42). Поэтому и прогибы W Xi, Хг) мембраны в точках, соответствующих точкам контура Lu поперечного сечения бруса, должны быть одинаковыми и в силу соотношения (7.89) равными [c.149]

Функция напряжений Ф xi, Х2), как отмечалось в 1 данной главы, подобна функции прогибов W (Xi, Х2) мембраны, равномерно натянутой на жесткий, в данном случае прямоугольный, контур и находящейся под действием нагрузки, пропорциональной правой части уравнения Пуассона (8.44). На рис. 8.4 показаны эпюра этой нагрузки и кривая S, представляющая пересечение мембраны с плоскостью Х1Х3. Из такой аналогии [c.211]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...