Параболический цилиндр — Уравнени

Применим изложенный алгоритм определения отраженной волны для решения простейшей граничной задачи — задачи о падении плоской волны па параболический цилиндр [25]. Уравнение цилиндра и первичное поле Ui в полярных координатах г, Э имеют вид (рис. 2.4) [c.47]

Это есть уравнение параболического цилиндра с образующими, параллельными осп г, причем направляющей этого [c.150]

Если прямая бесконечно удалённая (уравнения не совместны), то поверхность - параболический цилиндр. [c.207]

Элементы 246—249 Парабола полукубическая 90 Параболические ветви 89, 261 Параболические точки поверхности 296 Параболический сегмент — Площадь 107 Параболический цилиндр — Уравнение [c.580]

Параболические точки поверхности 293 Параболические цилиндры — Уравнения 256 [c.558]

Эти же уравнения определяют в пространстве цилиндрические поверхности (эллиптический, гиперболический, параболический цилиндр или вертикальные плоскости), для которых соответствующие плоские кривые являются направляющими. Образующие этих поверхностей параллельны оси г. [c.15]

Если теперь г o близко к единице, то уравнение (2.2) пригодно во всем интервале значений г , и решение задач А т В представляется соответствующими функциями параболического цилиндра. Можно показать [6], что собственные числа в этом случае суть [c.112]

Здесь уравнение контура параболического цилиндра принято в виде Ь х == —у , так что срединная поверхность полости будет совпадать с полуплоскостью у = О, х с, 0. [c.116]

Решения этих уравнений выражаются через функции параболического цилиндра [3.5], теория которых достаточно подробно из-ложена в [3.6]. Они также могут быть представлены в виде степенных рядов [5.5. [c.126]

Решения этого уравнения - функция параболического цилиндра. При ш > 1 любое решение уравнения (2.3) имеет по крайней мере один корень и, следовательно, лишено физического смысла. При ш < 1 существуют решения, не меняющие знака и достаточно быстро стремящиеся к нулю при 1 1 —00. Таким образом, ш < 1. [c.364]

Простейшее уравнение прямого параболического цилиндра [c.158]

При этом линии уровня поверхности являются центральными кривыми второго порядка. Вариант б = О, т. е. вариант параболического цилиндра, может быть приведен к рассматриваемому введением незначимых коэффициентов в уравнение (6), [c.236]

Параболические цилиндры — Уравнения [c.450]

Отсюда следует, что при Л < 0,25 звуковая поверхность будет эллиптическим параболоидом, при [ 1=0,25 — параболическим цилиндром, при IЛ > 0,25 — гиперболическим параболоидом. Уравнения поверхностей г = О, и = О (аналогичных линиям 0 = О в плоском и осесимметричном случаях) имеют в декартовых координатах вид (см. также (3.39)) [c.210]

Отсюда следует, что при (< 0,25 звуковая поверхность будет эллиптическим параболоидом, при / =0,25—параболическим цилиндром, при / >0,25 — гиперболическим параболоидом. Уравнения поверхностей и = 0, ау = 0 (аналогичных линиям 9 = 0 в плос- [c.93]

Вывод о том, что решения уравнения Гельмгольца, сосредоточенные в окрестности произвольного луча, выражаются через функции параболического цилиндра, можно было бы сделать и на основании результатов 4, 5 главы 5, посвященной методу параболического уравнения, однако исследование эталонной задачи позволяет выявить аналитический характер не только первого приближения, но и всех последующих. [c.195]

Эффективное волновое число в этом уравнении является частным случаем семейства решаемых профилей (3.34) (01 = О, Рзг = - 2, 2 ] =к а ). Как было показано в п. 3.2, для таких профилей эффективного волнового числа решения волнового уравнения выражаются через функции Уиттекера, причем для уравнения (3.180), согласно последнему из соотношений (3.35), индекс т функций Уиттекера равен 3/4. В этом частном случае функции Уиттекера сводятся к.функциям параболического цилиндра. В 9 мы подробно проанализируем решения уравнения (3.180), в том числе в [c.86]

Сравнивая последнее с уравнением для параболического цилиндра (24.34), обозначая вместо п номер функции через I, получаем [c.317]

Уравнение (2.127) показывает, что распределение температуры в пластине, цилиндре и шаре при наличии равномерно распределенных внутренних источников теплоты постоянной мощности подчиняется параболическому закону. [c.191]

Уравнение (127) относится к параболическому типу и совпадает с уравнением теплопроводности. Поставленная задача эквивалентна задаче распространения тепла в бесконечном цилиндре, на поверхности которого температура пульсирует со временем по закону (128). [c.401]

Напряжения, вызванные перепадом температуры по толщине стенки, на основании теории упругости в длинных цилиндрах при заданных свойствах материала (коэффициенте удлинения р, модуле упругости Е, коэффициенте Пуассона v) зависят от абсолютного значения температурного перепада по толщине стенки М и характера распределения температур. Преобразование общих формул для расчета температурных напряжений с учетом параболического закона изменения температуры по толщине стенки в процессе пуска позволяет получить расчетные уравнения для определения напряжения в текущей точке стенки. [c.169]

Исследование уравнений теплопроводности (параболического и эллиптического типа) содержится в курсах математической физики [43, 46, 49]. Здесь рассматриваются задачи теплопроводности, имеюшие наибольшее практическое значение и иллюстрирующие применение основных методов теории теплопроводности. К ним относятся задача о нестационарном теплообмене пластины произвольного профиля, решение которой основано на аппроксимации температуры по толщине пластины по степенному закону ( 3.2) задачи о стационарном и нестационарном осесимметричном плоском температурном поле диска ( 3.3 и 3.6) задача о нестационарном осесимметричном теплообмене полого цилиндра конечной длины с окружающей средой, исследованная с помощью интегрального преобразования Лапласа и метода разделения переменных ( 3.7), и др. [c.57]

Во всех этих случаях в теле (пластине, цилиндре, шаре) устанавливается параболическое распределение температур согласно уравнениям [c.334]

Итак, предположим, что нулевая поверхность функции V го-меоморфна конусу с вершиной в начале координат или параболическому цилиндру. Уравнение вида (а), где С может быть как отрицательным, так и положительным числом, определяет семейство незамкнутых поверхностей, к которому принадлежит и нулевая поверхность V = 0. [c.225]

Второй метод позволяет найти параметрические уравнения, по которым можно вычислить координаты любой точки искомой линии. Для определения линий пересечения поверхностей второго порядка используют проективные свойства пар поверхностей, разбитых на несколько классов 1) параболический цилиндр — поверхность второго порядка 2) двухнолостный гиперболоид — поверхность второго порядка 3) эллипсоид —сфера 4) эллиптический параболоид — сфера 5) двуполостный гиперболоид — сфера. [c.95]

Здесь ф1о( ) — универсальная функция, такая, что Фю(Е) 0 при с помощью уравнения (11.76 ) эту функцию удается явно выразить через ехр(—1 ) и так называемые функции параболического цилиндра (см. Сафмен (19626)). Аналогично обстоит дело с функцией Q2o Z,t), описывающей дисперсию распределения примеси в плоскости Z = onst по направлению оси ОХ. Согласно (11.76"), эта функция зависит и от коэффициента горизонтального обмена Кхх, точнее, она представляет собой сумму двух слагаемых, первое из которых зависит только от il(Z) и Kzz = K (но не от Кхх), а второе —от Kxx(Z) и Kzz = K (но не от u Z)). Первое из указанных слагаемых пропорционально QP и поэтому в силу соображений размерности должно записываться в виде произведения QT K (Ki ) p2o ZI(Кг) / ) что же касается второго из них, то его общий вид может быть выписан если Кхх представляет собой степенную функцию от Z. В част- [c.574]

Решение уравнения Шрёдингера. Уравнение Шрёдингера в координатном представлении (2.14) является дифференциальным уравнением для функции параболического цилиндра. Чтобы прояснить это и найти собственные значения энергии, введём обезразмеренные переменные и преобразуем уравнение к более удобному виду. Для энергии вводим переменную а для координаты — переменную = ях, где [c.64]

ДЛЯ гармонического осциллятора. Здесь введена безразмерная координата а дифференцирование по этой переменной обозначено двумя штрихами. Обш,ее решение этого дифференциального уравнения при произвольном значении г] выражается через функции параболического цилиндра. Однако эти функции, вообш,е говоря, не обладают требуемым асимптотическим поведением при больших значениях Чтобы обеспечить нормируемость волновых функций, мы должны рассматривать решения, убываюш,ие при больших Функции параболического цилиндра имеют нужные асимптотики лишь при специальном выборе Г], а именно при = ш + 1/2. В этом случае указанные решения сводятся к полиномам Эрмита Нт. При этом соответствующие значения г]т являются собственными значениями энергии. [c.661]

Здесь ф1о(Е) — универсальная функция одного переменного такая, что ф1о( ) - 0 при сю с помощью уравнения (10.76 ) эту функцию удается явно выразить через ехр (—12) уак называемые функции параболического цилиндра математической физики (см. Сафмен (19626)). Аналогично обстоит дело и с наиболее интересной для нас функцией 02о(2, t), описывающей дисперсию распределения примеси в плоскости Z= onst по направлению оси ОХ. Согласно уравнению (10.76"), эта функция зависит уже и от коэффициента горизонтального обмена Кхх , точнее говоря, она представляет собой сумму двух слагаемых, первое из которых зависит только от й(2) и Kzz=K (но не от Кхх), а второе — от Kxx(Z) и Kzz= K (но не от U(Z)). Первое из указанных слагаемых, очевидно, пропорционально QP и поэтому в силу соображений размерности должно записываться в виде произведения рРК" (Кт) / ф2о(2/(/(т) / ) что же касается второго из них, то его общий вид также легко может быть выписан, если только Кхх представляет собой степенную функцию от Z. В частности, если / xx=i i== onst или, соответственно, Kxx KiZ, где К — = onst, то нужное нам рещение уравнения (10.76) будет представимо В виде [c.568]

Решения уравнения Гельмгольца, сосредоточенные в окрестности оси волновода и имеющие вид произведения экспоненты на функцию параболического цилиндра, аргументы которых представляют собой бесконечные ряды, строили В. С. Булдырев [6] и В. Ф. Лазуткин [3]. Впервые с неразрешимостью задач на собственные значения при условии, что величины ф и 2я линейно зависимы над кольцом целых чисел, столкнулся В. Ф. Лазуткин [5], исследовавший собственные функции типа прыгающего мячика в однородной среде. Собственные функции типа прыгающего мягчика в неоднородной среде рассматривались В. С. Булдыревым в [7]. Им же получена формула для собственных частот открытого резонатора, заполненного неоднородной средой. Поправки в формуле для собственных частот неконфокальных резонаторов нашел В. Ф. Лазуткин [4]. [c.442]

Здесь a (где j = 1, 2, 3) - произвольные горизонтальные векторы, Zi и а - скалярные постоянные. Возможные вертикальные зависимости проекции вектора Vq, заданного формулой (3.183), на произвольное горизонтальное направление показаны на рис. 3.11. Зависимость проекций Vq (3.184) от Z формально совпадает с функцией (z) (3.35). Поэтому рис. 3.3 может служить иллюстрацией форм профилей (vq)x и (vo)y, получающихся при различных значениях параметров a и а. Для профилей течения (3.183) решения уравнения (3.181) выражаются через функции параболического цилиндра, еаш fuj Ф О, и через функции Эйри, если в) = 0. (В последнем случае, как отмечалось выше, удается найти и решения точного уравнения (3.180).) В однородной среде с течением (3.184) решения волнового уравнения выражаются через функции Уиттекера и В частном случае ffl2 = О, когда они сводятся к функциям [c.88]

С аналогичным уравнением мы встречались в п. 3.2 (см. (3.34) при = 0). Линейно независимыми решениями (9.32) являются функщ1и параболического цилиндра [c.182]

Если подставить в (9.37) главные члены разложений Дарвина для функций параболического цилиндра и учесть (9.34), то (9.37) перейдет в обычную ВКБ-асимптотику решения волнового уравнения. Поэтому неравенства (9.41), (9.42) определяют область применимости приближения ВКБ в задаче с двумя точками поворота. Физический смысл этих условий прост когда точки поворота близки ( а 1), как при отражении от барьера, так и при надбарьерном распространении должна быть исключена окрестность вершины барьера размером порядка (Llko) когда точки поворота далеки, ограничения возникают только в первом случае. Приближение ВКБ неприменимо тогда в узких окрестностях горизонтов f j j. Пользуясь (9.34), можно выразить условие (9.41) и (9.42) через значения фазового интеграла. При этом они принимают однаковую и весьма простую форму [c.184]

Для других неоднородных сред, помимо (15.35), точные решения волнового уравнения с точечным источником в терминах злементарных или изученных специальных функций неизвестны. В слоистой среде с квадратичной зависимостью от z удается представить р(г, гв виде интеграла от элементарной функции [393]. Он значительно удобнее для вычислений и асимптотического анализа, чем (15.34), где в рассматриваемом случае pi,2( )> как показано в п. 3.2, выражаются через функции параболического цилиндра. Ниже в п. 15.2 мы в основном будем следовать Холфорду [393]. [c.343]

Согласно (25), траектория точки параболический виит. Если развернуть щшиндр на плоскость, то параболический еинт превратится в параболу. Для определения реакции поверхности цилиндра N воспользуемся первым уравнением системы (б). Тогда [c.62]

Полное решение проблемы выбора надлежащей модели материала даже в такой упрощенной форме далеко от завершения, однако имеются примеры удачных частных решений. Так, при сверхвысоких (порядка модуля упругости) давлениях, развивающихся при гиперскоростных соударениях, успешно используется модель идеальной жидкости (М. А. Лаврентьев, 1949). Для материалов типа полимеров, для которых существенны эффекты несовершенной упругости, иногда используется модель вязкоупругого тела (см., например, А. Ю. Ишлинский, 1940). Что касается материалов типа металлов, находящихся под действием умеренно высоких напряжений порядка предела текучести (которым, в основном, и посвящен данный обзор), то для их изучения могут использоваться два подхода. В основе первого из них лежит допущение, что за пределами упругости материал переходит в вязко-пластическое состояние и его определяющее уравнение зависит от времени. Начало этому направлению подолбили работы А. А. Ильюшина (1940, 1941), в которых в качестве определяющих уравнений использованы уравнения вязко-пластического течения, не учитывающие упругих деформаций. В этих работах дано решение нескольких теоретических задач (удар по цилиндрическому образцу твердым телом, деформирование полого цилиндра под действием внутреннего давления) и описан сконструированный автором первый пневматический копер, позволявший достигать скоростей деформаций порядка 10 Исек (с помощью его были определены коэффициенты вязкости некоторых металлов). Сразу вслед за тем учениками А. А. Ильюшина были решены задачи о вращении цилиндра в вязко-пластической среде (П. М. Огибалов, 1941) и об ударе цилиндра по вязко-пластической пластинке (Ф. А. Бахшиян, 1948 — опубликование этой работы задержалось на ряд лет). С математической точки зрения уравнения динамики одноосного вязко-пластического тела принадлежат к классу уравнений параболического типа. [c.303]

В работе В И. И в а н о в а [1] метод параболического уравнения был применен к задаче о дифракции коротких волн на гладком выпуклом цилиндре и привел к отысканию быстро осциллирующих множителей, входящих в асимптотику решения. Нахождение амплитудного множителя (в рамках метода параболического уравнения) впервые осуществил В. С. Буслаев [1]. [c.441]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...