15 — Функции тригонометрические большие — Функции тригонометрические

В уравнении (4) матрицы G, G зависят от и типа краевых условий. Элементы матрицы преобразования для составной конструкции Л , связывающей перемещения и усилия на ее краях I и II, являются экспоненциально-тригонометрическими функциями. Амплитуда этих функций экспоненциально возрастает с ростом длины составляющих конструкцию оболочек и достигает величины С ехр где — безразмерная суммарная длина оболочек, С — постоянная, зависящая от геометрии оболочек и не зависящая от их длины. С ростом матрица становится плохо обусловленной и ее точное обращение становится невозможным даже с помощью ЭВМ. Действительно, так как матрица является матрицей перехода от края I к краю II, то обратная ей матрица (Л ) является матрицей перехода о т края II к краю I и по условиям взаимности ее элементы совпадают с элементами матрицы с точностью до некоторых коэффициентов, не зависящих от произведение (Л ) дает единичную матрицу, элементы которой 1 и О являются при больших I малыми разностями больших чисел порядка С ехр 2 . Это наглядно видно, например в случае оболочек, для которых решение дифференциальных уравнений выражается через функции А. Н. Крылова, и матрица содержит в качестве ядра матрицу функций А. Н. Крылова, обладающую свойством ( ) = Y (— I). Однако можно показать, что при решении системы (4) независимо от вида краевых условий достаточно обращения только одного блока второго порядка матрицы Л , которое может быть выполнено точно (при той же длине конструкции). Например, если по краям составной конструкции из [c.78]

В большой степени переработана и дополнена часть VH. Добавлены новые параграфы по теории приближений функций, в частности, аппроксимация функций с помощью сплайнов, аппроксимация периодических и условно-периодических функций тригонометрическими многочленами, выделение вековой части функции по совокупности табличных значений. Расширена глава, посвященная численным методам решения дифференциальных уравнений. [c.18]

И. Комплексные прямоугольные координаты. Большая легкость при выполнении операций с комплексными показательными функциями по сравнению с тригонометрическими функциями подсказывает идею использования в дифференциальных уравнениях комплексных переменных. Переменными, которые, по-видимому, обладают особыми преимуществами, являются [c.95]

Хотя в общей теории можно подставить любое значение времени, из этого не следует, что результат обязательно будет иметь физическое значение и смысл. Обычно планетные общие теории содержат тригонометрические функции, умноженные на время такие члены неограниченно возрастают при неограниченном росте времени и эта особенность мешает теории быть справедливой в течение более чем нескольких столетий. Теория Луны свободна от этого недостатка и по форме пригодна для любого промежутка времени. Однако элементы орбиты и массы возмущающих тел должны по-прежнему определяться из наблюдений. Поскольку количество наблюдений ограниченно, а сами наблюдения обладают ограниченной точностью, то теория неизбежно все больше и больше отклоняется от действительности для моментов времени, все более и более удаленных от фундаментальной эпохи. [c.178]

Естественно, что эти схемы оказались мало пригодными для ЭВМ, которые на вычисление каждой тригонометрической функции тратят большое количество элементарных операций. Наличие большого разнообразия схем расчета для специальных случаев, например, для плоских поверхностей или поверхностей большого [c.82]

Если угол больше 90°, но меньше 360°, то его тригонометрические функции определяются следующим образом [c.104]

Рассматривая задачу о свободных колебаниях материальной точки при отсутствии силы сопротивления, можно довести решение до результата в общем виде и затем подставить в него численные данные. Рещая же задачу о свободных колебаниях материальной точки при наличии силы сопротивления, надо подставить численные данные в составленное дифференциальное уравнение н определить я и к, так как в зависимости от соотношения коэффициентов п ]Л к приходится записывать решение уравнения в тригонометрических либо в гиперболических функциях (случаи малого, большого сопротивлений и предельный случай). [c.80]

Для установления зависимостей между косинусами углов, образованных осями подвижной системы (связанной с твердым телом) с осями неподвижной системы, и эйлеровыми углами можно воспользоваться также формулами сферической тригонометрии. Опишем вокруг точки О сферу единичного радиуса и отметим на поверхности сферы точки пересечения ее с осями координат и линией узлов (рис. 182). Соединяя эти точки дугами больших кругов, получаем сферические треугольники, решая которые находим искомые соотношения между косинусами углов, образуемых координатными осями, и тригонометрическими функциями эйлеровых углов. [c.266]

Так как тригонометрическая функция синус при изменении угла от О до 180° дважды проходит каждое значение от О до 1, то целесообразно сначала найти угол, составляемый равнодействующей с большей по модулю силой, так как он всегда меньше 90°. Тогда [c.16]

Мы видим, что в случае большого сопротивления общее решение (15) или (16) уравнения (1) не содержит тригонометрических функций. В этом случае движение точки М является апериодическим, т. е. оно не имеет уже характера колебательного (периодического) движения, и притом затухающим. В самом деле, учитывая, что [c.527]

Притяжение к центру по закону klr . Теперь, после того как мы произвели классификацию всех возможных траекторий, можно перейти непосредственно к интегрированию детальное вычисление всегда предпочтительно осуществлять после качественного исследования. В случае центрального ноля с потенциалом V = — р,/г уравнения интегрируются при п = —2, —1, 1, 2 в тригонометрических или экспоненциальных функциях, а при п = —6, —4, 3, 4, 6 — в эллиптических функциях- (Теория предыдущего параграфа применима, разумеется, лишь в случаях, когда п больше двух.) Рассмотрим случай, когда притяжение пропорционально В этом случае имеем [c.314]

Рассмотрим характер изменения функций в зависимости от z при а/, значительно большем рассмотренного выше. Заодно проиллюстрируем нагрузку, характерную для антирезонанса. С этой целью примем а/ по формуле (17.244) при = 2, т. е. примем а/ = 9я/4 = 7,06858 радиан (405°, тригонометрические функции при этом такие же, как при 45°), а = 0,02356194 сл- , [c.188]

Примечание. Таблица дает возможность получать значение тригонометрических показательных и гиперболических функций с пятью значащими цифрами. Для достижения большей точности в тех случаях, когда первые две значащие цифры образуют число, не превышающее 15, дается, как правило, шесть значащих цифр. Однако значения тригонометрических и гиперболических функций даны в таблице не более чем с пятью десятичными знаками. Если аргумент дан с пятью значащими цифрами, то см. [107] на стр. 360, [c.56]

Формы собственных колебаний гибкого вала, вращаюш,егося в подшипниках с зазорами, как это видно из решений (26), представляют собой пространственные кривые, содержащие тригонометрические и гиперболические функции. Каждой форме колебаний соответствует своя собственная частота колебаний, определяемая частотным уравнением (20). Оно является обш,им для любого вида закрепления концов гибкого ротора. Из этого уравнения получаются все известные частотные уравнения для частных случаев опирания гибкого ротора на подшипники. Корнями уравнения (20) являются величины к,/, зависяш,ие от квазиупругих коэффициентов щ и Кц опор ротора. Эти коэффициенты, в свою очередь, определяются также изгибной деформацией вала. Определение Kj и Кц из уравнений (25) и подстановка их в уравнение (20), а затем решение частотного уравнения относительно к1 вызывает большие трудности и громоздкость. Однако значительные упрощения в решении частотного уравнения (20) достигаются при рассмотрении частных случаев опирания ротора на подшипники. [c.206]

При небольшом затухании амплитуды периодических составляющих (q близко к единице) и сравнительно большой частоте колебаний построение периодических составляющих с достаточной степенью точности можно осуществить, ориентируясь лишь на нулевые значения тригонометрической функции и на точки касания с огибающими экспонентами. [c.552]

Сетки дискретизации расчетных схем по МГЭ и МКЭ совпадают, если перемещения стержней точно описываются полиномами. Если перемещения описываются гиперболическими и тригонометрическими функциями, то сетка МКЭ содержит больше стержней, чем сетка МГЭ при одинаковой точности результатов расчета. [c.386]

Профиль несферической поверхности может быть задан тем или иным уравнением такие уравнения в общем случае могут быть совершенно произвольными их можно задавать, например, какими-либо тригонометрическими функциями, уравнением участка спирали и т. п. Однако на практике большей частью ограничиваются показательными функциями. [c.238]

С большим количеством десятичных знаков или раскладывать тригонометрические функции в ряды. [c.490]

Сопоставление результатов исследований на основе двух указанных выше методов при определении второй и более высоких форм колебаний (по четвертую форму включительно) не дает удовлетворительного результата. Различие ме жду результатами, полученными методом конечных элементов и методом Рэлея, увеличивается при переходе от низшей формы колебаний к более высокой, а также с увеличением размеров выреза. Этот результат не является неожиданным. Диализ результатов исследований, полученных методом конечных элементов, показывает, что вследствие их сложной природы более высокие формы колебаний прямоугольной пластинки сложно аппроксимировать простыми тригонометрическими )ядами, в особенности для пластинок с большими вырезами, 1о мнению авторов, представление функции перемещений при определении частот и форм свободных колебаний прямоугольных пластинок с вырезами в виде полиномиальных рядов могло бы дать более приемлемые результаты при небольшом объеме вычислений. В своих следующих публикациях авторы предполагают изложить результаты исследований, проведенных в этом направлении. [c.154]

Разметчикам часто приходится определять различные элементы прямоугольных треугольников. Определение этих элементов аналитическим методом с применением таблиц тригонометрических функций иногда отнимает больше времени, чем сама разметка. [c.71]

Коэффициенты при m, в формулах для перемещений можно раесматривать как коэффициенты влияния для соответствующих перемещений. Следует указать, что полученные формулы удобны для вычислений только при очень малых X, так как при больших К в них входят малые разности. Используя формулы (3.52) и переходя от функций Крылова вновь к тригонометрическим и гиперболическим функциям, получим [c.149]

Углы — Измерение радианиое 72 — Минуты — Перевод в доли градуса — Таблицы 100 — Минуты и секунды 15 — Функции тригонометрические 72 --большие — Функции тригонометрические 73 [c.1002]

Эта величина характеризует работу образования новых граничных поверхностей при зарождении пузырька на поверхности нагрева. В случае раосмотренном 1на рмс. 13-1, отношение поверхности основания РоК полной поверхности Р пузырька можно выразить через тригонометрические функции от величины 0 [Л. 148]. Однако приведенное выражение применимо также для более общего случая, когда пузырек образуется не на плоском участке (как на рис. 13-1), а в углублении или на выступе элемента шероховатости произвольной формы [Л. 143]. Тогда отношение Ро/Р характеризует ту долю поверхности пузырька, на которой пар соприкасается с поверхностью нагрева. Отношение зависит от формы элемента шероховатости. Можно видеть, что при этом работа образования граничных поверхностей будет тем меньше, чем больше отношение Ро/Р и чем больше величина краевого угла 0. Отсюда следует вывод, что наиболее вероятными местами возникновения пузырьков на теплоотдающей поверхности будут элементы шероховатости в виде углублений, впадин И т. п. (величины Ро/Р для углублений больше, чем для плоских участков или выступов) и именно те из них, в которых местные условия смачивания по каким-либо причинам ухудшены. Локальное ухудшение смачивания (увеличение 0) может вызываться неоднородностью материала поверхности, инородными включениями, различными загрязнениями и, в частности, трудноудаляемыми сдсорбционными пленками масел и жиров, механическими напряжениями и т. п. Размеры этих элементов шероховатости оказываются того же порядка, что и критический радиус пузырька / к- [c.291]

Встречавшиеся до сих пор функции, униформизующие тернарные соотношения, были мероморфными рациональными, тригонометрическими или эллиптическими функциями спектрального параметра. Отношение весов было рациональным при симметрии 8и(п) или 80 п), тригонометрическим при 50(2) и эллиптическим при Z20Zo. Наличие квадратичных соотношений Фробениуса для тэта-функций нескольких переменных позволило высказать предположение (Чудновский Д., Чуднов-ский Г., 1981), что существуют решения тернарных соотношений в абелевых функциях, обобщающие известные эллиптические решения на случай рода больше единицы ). Абелевы функции, являясь периодическими функциями нескольких переменных, могут быть представлены в виде отношения сумм произведений тэта-функций. [c.308]

Большие удобства при анализе создает применение электронных клавишных вычислительных машин-микрокалькуляторов. Микрокалькуляторы оперируют с восьмиразрядными десятичными числами и выполняют любое из четырех арифметических действий как простых, так и цепочечного типа, вычисляют обратные числа, проценты. Некоторые из них выполняют извлечение квадратного корня, вычисляют логарифмы, антилогарифмы, тригонометрические функции. Вводимые в машину числа и результаты считываются с восьмиразрядного цифрового светящегося индикатора. Скорость сложения восьмиразрядных чисел 50 мс, умножения или деления — 300 мс. Машины работают либо от четырех сменных элементов А-316 Квант непрерывно в течение шести часов, либо от сети переменного тока напряжением 220 В через блок питания БП2-1. [c.223]

Методы синтеза плоских механизмов применительно к отдельным конкретным механизмам с низшими парами, разрабатывались у нас и за рубежом еще во второй половине XIX в. и в первые Ae HXHnetnH XX в. Немецкие ученые в основном развивали геометрические методы синтеза, основанные на идеях выдающегося немецкого ученого Л. Бурместера. Советские ученые уделяли большое внимание аналитическим методам синтеза, истоки которьсх в работах П. Л. Чебышева. В качестве основного математического аппарата была использована теория приближения функций, при этом наибольшее развитие получили методы интерполирования функций, наилучшего приближения и квадратического приближения. Развиты были также методы, использующие тригонометрические ряды. При решении задач синтеза плоских механизмов с низшими парами использовались и комбинированные приемы, сочетающие метод геометрических мест синтеза с методами, основанными на использовании теории приближения функций. Разработанные советскими учеными методы приближенного синтеза механизмов в 60-х годах были расиространепы и на некоторые виды механизмов, образованных не только низшими, но и высшими парами, например рычажно-зубчатые, рычажно-кулачковые и др. [c.28]

Двумя специфическими особеннс тями исполнительных органов манипуляторов являются высокая размерность, обусловленная большим числом их степеней свободы наличие ряда вращательных пневматических пар, приводящее к необходимости вычисления тригонометрических функций соответствующих углов поворота. Эти особенности затрудняют набор и отладку моделирующей схемы. Поэтому на первом этапе работы моделировались движения идеального манипулятора — плоского механизма, кинематическая схема которого включает две иоступательные и одну вращательную пару. Это простейшая система, которая обладает в то же время указанными выше особенностями — избыточностью и нелинейными функциями положения. [c.9]

Зависимость (16.7) приведена на рис. 16.4 в графической форме при Р2 < 90°. Необходимо иметь в виду, что при Р2 = 90° тригонометрическая функция tg меняет знак, а при Р2 > 90° можно получить значительно ббльщие напоры (см. штриховые линии на рис. 16.4). Однако у современных насосов Р2 находятся в диапазоне 15...40°, так как при больших углах возрастают абсолютные скорости движения жидкости, резко увеличиваются гидравлические потери и падает коэффициент полезного действия насоса. [c.228]

В разд. 8.2 рассмотрено взаимодействие жестких штампов с тонкой круговой цилиндрической оболочкой по дугам окружности поперечного сечения. Дается подробное решение названной задачи от вывода исходного интегрального уравнения до численного расчета. Так как путь решения данной задачи является характерным для всех других контактных задач, следует на нем остановиться. На основе результатов гл. 6 записывается изгнбная поперечная деформация срединной поверхности оболочки в некоторой точке дуги окружности поперечного сечения от единичной сосредоточенной силы, приложенной в некоторой другой точке той же окружности. Иными словами, строится функция влияния, которая выполняет роль функции Грина при записи интегрального представления для из-гибиой деформации от произвольной нормальной погонной нагрузки, приложенной по дуге окружности поперечного сечения. П-ри записи такого представления существенную роль играет то, что главнаи часть функции Грина (логарифмическое ядро) записывается в явном замкнутом виде, остальная регулярная часть (регулярное ядро) записана в виде тригонометрического ряда. Сходимость такого ряда весьма хорошая (как 1/п при больших п), она исследована в гл. 6. Найденная нагибная деформация оболочки приравнивается разнице между исходной кривизной оболочки на линии контакта и кривизной основания штампа, которая предполагается несколько меньшей, чем кривизна оболочки. Так получается исходное интегральное уравнение с логарифмическим разностным ядром вида а — ар [c.319]

С другой стороны, в точках разрывов нагрузки производные от функций ti или Ьх, которые требуются для стоящих в квадратных скобках членов, обычно не существуют, и там, где они существуют, если нагрузка изменяется быстро, можно сделать возможной сходимость рядов, удержав только члены рядов и от-. бросив члены в квадратных скобках. Значения, полученные таким путем, будут всегда улучшать те, что следу рт из классической теории, но найденные при этом напряжения, в частности, могут оказаться недостаточно точными в непосредственной близости или в некоторой окрестности от точек разрыва нагрузки. Как уже обсуждалось выше применительно к балкам, такие функции нагружения можно заменить гармоническими, т. е. тригонометрическими рядами, использовав либо полные выражения (5.19) для гармонических составляющих с длиной полуволны, равной I, для которой отношение l/h значительно больше единицы, либо отрезки рядов вплоть до квадратных скобок, в случае, если длины полуволн окажутся короче. Поправки к на7 пряжениям в окрестностях приложения сосредоточенной нагрузки приводятся ниже в 5.3, а поправки для других видов разрывов могут быть ползлчены аналогичными методами. [c.312]

Чтобы не нарушать тригонометрическую форму преобразования Крылова — Боголюбова, мы сразу положили в формулах (44), (45) произвольные функции фДа), i 3i(a), возникающие прт ип-тегрировании, равными нулю. Заметим, что в функции Ui (о, 1 з, t) имеется большое слагаемое порядка 0( л ), так как выполняется условие (37), поэтому (xui может достичь величины порядка 0(1). [c.70]

В заключение отметим, что, хотя преобразование Крылова — Боголюбова (39) имеет тригонометрическую форму, тем не менее некоторые члены рядов (39) могут достичь больших значений по абсолютной величине из-за наличия условия (37). Это условие обусловливает появление малых знаменателей вида (о) —>.) в.выражениях для и, и больших периодов 7 = 2л(о) — Л) в тригонометрических функциях. Если "у < 1, то такие явления не наблюдаются. Кроме того, для неавтономного осциллятора Ван-дер-Поля преобразование Крылова — Боголюбова дает квазп-периодическое относительно t репгение, так как в случае рациональной несоизмеримости и X функции ц,, Vi, щ, Vz,. .. будут, вообще говоря, квазипериодическими функциями времени. [c.71]

Интересно сравнить подъем с горизонтальным полетом при такой же скорости на данной высоте. Раз подъемная сила должна быть при подъеме меньшей, значит, должен быть меньшим, чем в горизонтальном полете, и угол атаки. Однако практически эта разница заметна лишь при больших углах подъема, так как при малых углах os0 l, что видно из таблицы тригонометрических функций. [c.163]

Мы можем пользоваться формулой (72) только тогда, когда функции К известны. В общем случае эти функции можно определить с большим трудом и только приближенно. Тем не менее важно, чтобы читатель рассматривал разложение в ряд по тригонометрическим функциям как частный случай общего типа разложения в ряд по собственным функциям . Тогда ему станет ясно, что исследование, проведенное для шарнирно закрепленных балок постоянного поперечного сечения, можно обобщить mutatis mutandis ) на балки переменной жесткости, закрепленные любым из тех способов, при которых энергия системы остается неизменной. [c.648]

В работе изложен приближенный метод определения параметров свободных колебаний цилиндрических оболочек с вырезами, свободными либо подкрепленными шпангоутами и стрингерами. Исследование основано на методе Рэлея — Ритца, в котором при описании изогнутой поверхности оболочки в рядах для перемещений могут быть использованы различные аппроксимирующие функции. В настоящем исследовании для аппроксимации перемещений в осевом направлении используются балочные характеристические функции, а для аппроксимации перемещений в окружном направлении — тригонометрические функции. В результате проведенного исследования установлено, что вырезы в общем приводят к снижению собственных частот колебаний, и этот эффект в наибольшей степени прояв- ляется для основной частоты колебаний. Физически это означает, что вырез уменьшает эффективную жесткость оболочки в большей степени, чем это делает уменьшение эффективной массы. Формы колебаний оболочек с вырезами проявили Сильное взаимодействие с различными волновыми формами, отличающееся в сравнении со сплошной оболочкой. При этом авторы установили возможность существования пиков для амплитуд нормальных перемещений как вблизи, так и вдали от края выреза. Уменьшение низших частот колебаний (обусловленное наличием выреза) для подкрепленной оболочки было меньше, чем для неподкрепленной. [c.238]

Если разложить выражение для возвышения в какой-нибудь точке (х), например, формулы (24), на простые тригонометрические функции от времени, то оно будет состоять из двух членов, из которых второй представляет сверхприлив, или прилив второго порядка, так как он пропорционален а частота этого прилива в два раза больше частоты начального приливного колебания, определяемого законом (20). Продолжая приближение, мы получим приливы еще большего порядка, частоты которых тогда в три, четыре и т. д. раза больше частот первоначального прилива. [c.354]

Предполагается, что тригонометрическая функция в промежутке инте грирования имеет большое число периодов, в то время как 9>(х) меняется сравнительно медленно, или, более точно, предполагается, что когда /(х) меняется на 2я, то qp(x) меняется только на малук> лробь своего значения. При этих условиях различные элементы инте грала по большей части будут взаимно уничтожаться за исключением элементов вблизи тех значений л,—если таковые имеются,—для которых fix) имеет стационарное значение. Полагая x = a + f, где а есть значение х внутри области интегрирования, для которой / (а)=0, мы для малых значений S получим приближенно [c.493]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...