Жорданова нормальная форма

Если собственные значения матрицы А кратные, то она, вообще говоря, не приводится к диагональному виду, а приводится к квазидиагоналыюму виду (жордановой нормальной форме) [41, 47]. Самосопряженные матрицы всегда приводятся к диагональному виду, при этом их собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны. Для любой самосопряженной матрицы существует ортогональный базис в С", состоящий из собственных векторов. [c.97]

Мы предполагаем у читателя предварительное знакомство с материалом на нескольких уровнях. Прежде всего, мы без оговорок используем, предполагая хорошую осведомленность, результаты линейной алгебры (включая жордановы нормальные формы), дифференциальное и интегральное исчисление для функций многих переменных, основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений (включая системы), элементарный комплексный анализ, основы теории множеств, элементарную теорию интеграла Лебега, основы теории групп и рядов Фурье. Необходимые сведения следующего, более высокого уровня рассматриваются в приложении. Большая часть материала приложения включает материал такого типа, а именно, в приложении содержатся сведения из стандартной теории топологических, метрических и банаховых пространств, элементарная теория гомотопий, основы теории дифференцируемых многообразий, включая векторные поля, расслоения и дифференциальные формы, и определение и основные свойства римановых многообразий. Некоторые темы используются лишь в отдельных случаях. Последний уровень необходимых знаний включает основания топологии и геометрии поверхностей, общую теорию меры, ст-алгебры и пространства Лебега, теорию гомологий, теорию групп Ли и симметрических пространств, кривизну и связности на многообразиях, трансверсальность и нормальные семейства комплексных функций. Большая часть этого материала, хотя и не весь он, также рассматривается в приложении, обычно в менее подробном виде. Такой материал может быть принят на веру без ущерба для понимания содержания книги, или же соответствующая часть текста может быть без большого ущерба пропущена. [c.15]

Доказательство. Используя жорданову нормальную форму, мы можем найти такой базис в R", что матрица нашего отображения блочно-диагональна, т. е. имеет вид [c.35]

Предположение о диагонализируемости линейной части отображения на самом деле использовалось только в формальной части рассуждений. Без больших затруднений можно модифицировать нашу технику таким образом, что она будет работать и при наличии нетривиальной жордановой нормальной формы в качестве линейной части. В частности, следствие 6.6.8 остается в силе без предположения о диагонализируемости. [c.291]

Определение. Пусть (21,..., г )—координаты, в которых матрица линейной части формального векторного поля V имеет жорданову нормальную форму пусть X — спектр этой матрицы. Одночлен называется резонансным членом, [c.59]

Теорема Пу анкар е- Д юл ака ((Н. Ви1ас) [8]). Формальное векторное поле с особой точкой нуль и резонансной линейной частью формально эквивалентно такому полю, линейная часть которого имеет жорданову нормальную форму 1г, а нелинейные члены резонансны. Это поле имеет вид [c.59]

Теорем а. Векторное поле с особой точкой нуль формально эквивалентно такому полю, линейная часть которого имеет жорданову нормальную форму 1г, а нелинейная коммутирует с векторным 1голем (звездочка означает эрмитово сопряжение (а - -)- (а 4)). [c.59]

Определение. Пусть Zi,..., 2 — координаты, в которых матрица линейной части ростка диффеоморфизма в неподвижной точке имеет жорданову нормальную форму Zj соответствует собственному значению Я (числа Я, необязательно различны). Одночлен d/dzj называется мультипликативно резонансным членом, если выполнено резонансное соотношение Яз=Я". [c.105]

Теорема Пуанкаре—Дюлака. Формальное отображение с резонансной линейной частью формально эквивалентно такому отображению, линейная часть которого имеет жорданову нормальную форму, а нелинейная часть содержит только мультипликативно резонансные члены. [c.105]

Резонансные нормальные формы. Пусть линейный оператор Л имеет жорданову нормальную форму, г= (гь. .., 2 ) — координаты в жордановом базисе соответствует собственному значению Я . Одночлен называется резонансным членом, если выполнено соотношение [c.109]

Теорему о жордановой нормальной форме можно сформулировать и без введенных выше определений, например, следующим образом для каждой квадратной матрицы L с комплексными элементами найдется невырожденная матрица 5, такая, что [c.108]

Введем теперь матрицу 5, приводящую Л к жордановой нормальной форме [c.122]

Поскольку матрица Л приведена к жордановой нормальной форме, матрица С (см. разд. 2.6) также приведена к жордановой нормальной форме. Итак, при подходящем выборе матрицы матрица С — генератор представления группы Т ] —приводится к блочнодиагональному виду [c.127]

Матрицу 5 выберем так, чтобы она приводила матрицу Ьо к жордановой нормальной форме, т. е. [c.128]

В дальнейшем мы будем предполагать, что Лц, Лз — матрицы, а е — вектор, не зависящие от времени. Нетрудно, однако, обобщить наш подход на случай, когда все эти величины зависят от времени. Примем следующие предположения. Введем малый параметр б и будем считать вектор и величиной порядка б. Предположим, что матрица Лц приведена к жордановой нормальной форме и допускает разложение вида [c.233]

Матрица Лз по предположению приведена к жордановой нормальной форме с отрицательными диагональными элементами. Для простоты мы будем считать также, что матрица Л диагональна и имеет малость б, хотя используемый нами метод без труда обобщается на матрицы Ли более общего вида. [c.246]

Нормальная форма в случае унипотентной жордановой клетки. Росток диффеоморфизма в неподвижной точке на плоскости с унипотентной линейной частью может быть реализован как преобразование монодромии периодического дифференциального уравнения с нильпотентной линейной частью [c.56]

Галин вычислил также нормальные формы, к которым можно привести любое семейство гладко зависящих от параметров линейных гамильтоновых систем при помощи гладко зависящей от параметров симплектической линейной замены координат. Например, для простейшей жордановой клетки .а) такой нормальной формой гамильтониана будет [c.350]

Неубиваемые невязки. Размерность пространства однородных векторных многочленов степени Ы, входящих в невязку формальной нормальной формы векторного поля с линейной частью 1х, не превосходит числа жордановых клеток оператора а(11. Здесь а(1 / г— оператор коммутирования с I, действующий на пространстве Ь всех однородных векторных многочленов степени N. В силу предыдущей теоремы число этих клеток равно числу центрированных Цепочек. Размерность пространства тензоров фиксированного веса нетрудно сосчитать. Поэтому из теоремы (после некоторых вычислений) вытекает [c.75]

При кратных собственных числах в типичном случае матрица линейной гамильтоновой системы имеет две жордановы клетки второго порядка (см. п. 2.3). При собственных числах, близких к кратным, квадратичная часть гамильтониана приводится к виду ( 1Ь) из (5). Согласно [117], в этом случае члены гамильтониана до 4-го порядка включительно можно привести к следующему виду, также называемому нормальной формой [c.278]

В том случае, когда О имеет кратные собственные значения и им отвечают кратные элементарные делители, матрица С приводима к нормальной жордановой форме. Элементы матрицы ехр(0() содержат квазимногочлены от / с показателями Х . При этом решения системы [c.463]

К нормальным координатам, или к главным осям). Кроме того, примем вначале, что жорданова форма чисто диагональная [c.197]

Поскольку Г.у можно заменить любой матрицей вида (7), то можно предположить, что фундаментальная матрица X t) системы (II) выбрана так, что соответствующая матрица монодромии Гх имеет нормальную жорданову форму. Тогда диагональные элементы матрицы Гх равны мультипликаторам Я],. .., я ,, а элементы, располагающиеся по линии, параллельной диагонали и граничащей с нею сверху, равны О или 1 (возможно, только О или только 1) все же остальные элементы равны нулю. Пусть я — один из мультипликаторов Я , и пусть его кратность равна/( 1). Тогда можно предположить, что первые I диагональных элементов матрицы Гх равны я. Пусть я принадлежит при этом различным элементарным делителям с кратностями Ль. .., ка соответственно, так что 4-. .. ка = I, причем 1, 1 и любое Л 1. Предположим, что первая клетка рассматриваемой матрицы Гх (имеющей жорданову форму) соответствует кратности Тогда, если обозначить через ..., т(0 т-векторы, состав- [c.130]

Если матрица Л удовлетворяет условиям теорем I, II (см. 1.4), то она может быть приведена к диагональному виду (все мультипликаторы в этом случае простые, либо Д-кратные). При этом мы приходим к условиям (1.12.1) и вытекающим из них представлениям (1.12.2). Если среди мультипликаторов имеются /-кратные, то матрица монодромии может быть приведена к нормальной жордановой форме (см. 1.4). В этом случае наряду с собственными существуют и присоединенные волны [44], не удовлетворяющие условиям (1.12.1) и не представимые в енде [c.88]

Рассмотрим теперь случай, когда матрица Л имеет некоторую нормальную жорданову форму общего вида, что скажется прежде всего при решении операторных уравнений [c.178]

Это — последний из результатов, приведенных в разд. 2.7. Для тех читателей, кого интересуют все подробности, мы рассмотрим вопрос о том, как определить матрицу Л в (2.7.8), если С известна. Для этого введем матрицу V, приводящую С к нормальной жордановой форме. Используя (2.7.8), получаем [c.123]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...