ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Жорданова нормальная форма из "Синергетика иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах " Решения вида (2.6.1) полезны при обсуждении некоторых вопросов, однако вектор д нам бы хотелось получить в более явном виде. В зависимости от различных начальных векторов д (О) решения я (О получаются различными. Если начальные векторы д (О) линейно независимы, то векторы также линейно независимы при любом 1. [c.115] являются многочленами по i, степень которых ГП] не превосходит степень вырождения собственного значения . Если все Я различны, то вектор ( ) вырождается в постоянный вектор. Если несколько собственных значений Я/ совпадают, то вектор может (но необязательно) содержать степени t. В дальнейшем мы увидим, как установить по построению, в какой степени t входит в (2.6.5). Перейдем к доказательству высказанных утверждений. [c.116] Все числа Я/, стоящие на главной диагонали такого блока, равны над главной диагональю идет диагональ из единиц, а все остальные элементы матрицы /1 равны нулю. [c.117] В начале данного раздела. Способ доказательства позволяет в явном виде построить все решения Изложенный нами метод допускает обобщение на случай периодической (по времени) матрицы Ь, к рассмотрению которого мы сейчас переходим. [c.121] Следовательно, прямые вычисления позволяют получить матрицу преобразования С. [c.121] Соотношение (2.7.11) означает, что матрица-решение И 1) периодическая. [c.122] Характеристические показатели К/ в (2.7.18) называются показателями Флоке. Они являются собственными значениями матрицы Л (см. (2.7.12)). [c.123] К счастью, нам не нужно заботиться о сходимости ряда в правой части (2.7.33). Она следует из формул (2.6.28), (2.6.32) и их обобщения утверждения о том, что степени матрицы К выше некоторой равны нулевой матрице. Итак, соотношение (2.7.33) дает явное решение нашей задачи об определении матрицы в (2.7.29). Мы показали, каким образом можно вычислить Л, если матрица С известна. [c.125] Результаты разд. 2.2 и 2.7 могут служить иллюстрацией основных понятий теории представлений групп. Оператор Т в полной аналогии с разд. 2.2 порождает абелеву группу с элементами Т , где п — любое целое число (положительное, отрицательное или нуль). А что происходит с установленным нами соответствием Т - а (см. (2.2.16)) Исходным пунктом для его установления послужило соотношение (2.2.10), т. е. [c.125] Одна из главных задач теории представлений групп состоит в нахождении неприводимых представлений абстрактной группы (в нашем случае — группы Т )). [c.128] Сравнив коэффициенты при одинаковых степенях е в правой и левой частях уравнения (2.9.18), мы придем к системе дифференциальных уравнений. Рассмотрим ее подробнее. [c.131] Черта над означает усреднение (2.9.13). [c.131] в виде произведения экспоненциальной функции ехр (А /) и периодической функции. Как будет показано ниже, такой выбор л обеспечивает представление я (/) в виде (2.9.12). [c.132] Чтобы исследовать структуру его правой части более подробно, воспользуемся явным видом Мц (см. (2.9.14)) и Л/ (см. (2.9.20), (2.9.24)). [c.132] После этих предварительных замечаний сформулируем теорему 3.1.1, доказательство которой будет приведено ниже. [c.137] Теорема 3.1.1. Примем относительно (3.1.4) и (3.1.5) следующие предположения. [c.137] Из него следует, что минимальные углы между единичными векторами и (/) сохраняются при всех /, т. е. векторы и ни при каком t не становятся линейно зависимыми. [c.138] В разд. 3.8 мы приведем обобщение теоремы 3.1.1 на случай, когда некоторые из к совпадают. [c.139] Доказательство теоремы 3.1.1 разбито на ряд этапов. Им посвящены разд. 3.2—3,5 и 3.7. (В разд. 3,6 мы излагаем приближенные методы построения решений связанные с идеялш доказательства.) Сформулировав и доказав в разд. 3.2 несколько вспомогательных теорем (лемм), мы сначала доказываем, что матрица С приводима к треугольному виду (для случая матрицы 2x2 — в разд. 3.3, для случая матрицы т X т — в разд. 3.5). Это позволяет выбрать я (/, ф) так, чтобы при всех ф выполнялись неравенства ,. . А, . Затем мы доказываем, что элементы треугольной матрицы С можно выбрать в соответствии с утверждениями а и б теоремы 3.1.1 (для случая матрицы 2 X 2 —в разд. 3.4, для случая матрицы т X т — в разд. 3.5). Наконец, в разд. 3.7 мы доказываем утверждение в . [c.139] Вернуться к основной статье