Усреднимые группы

Мы доказали последний результат, пользуясь лишь элементарными средствами. Как показывает более глубокое исследование, этот результат является лишь частным случаем общей теории локально компактных усреднимых групп. Ниже мы приведем некоторые результаты этой теории без доказательств. [c.220]

Наличие связи между представлениями группы G и непрерывными функциями положительного типа на G, с одной стороны, и представлениями в (G), с другой стороны, говорит GiOM, что пространство, сопряженное с пространством 2 (G) ), может играть известную роль в определении средних и, следовательно, в определении усреднимых групп. Эта мысль дей- [c.223]

В заключение данного пункта мы хотели бы еще раз подчеркнуть то обстоятельство, что мы определили усреднимые группы как группы, для которых на (E(G) существует по крайней мере одно инвариантное среднее. Изменение топологии на группе G или даже замена S(G) другим пространством функций на группе G может полностью изменить проблему существования среднего и привести в общем случае к более тонкой проблеме единственности, которую мы здесь даже не затрагивали. В этой связи заметим, что в большинстве случаев, представляющих интерес с точки зрения физики, единственность среднего на множестве S(G) отнюдь не гарантируется. Но, как мы увидим в следующем пункте, отсутствие единственности никак не сказывается на физических следствиях из того, что мы рассматриваем усреднимые группы. [c.224]

Лемма. Пусть О — усреднимая группа, являющаяся группой симметрии в описании (81, ,( )). Тогда множество о = = ф I Vgф = ф е 0 непусто. [c.225]

Если усреднимая группа О служит группой симметрии в описании (Я, , ( )), то произвольное состояние ф, принадлежащее множеству , называется ц-кластером относительно инвариантного среднего т] на О, если для всех элементов Л, В из 21 выполняется соотношение [c.228]

Определение. Система, состоящая из описания (Ш, В, ( )), усреднимой группы симметрии О и инвариантного среднего т) на С, называется г -асимптотически абелевой, если [c.229]

Заметим, что для любой локально компактной, некомпактной усреднимой группы условие т]-асимптотической абелевости выполняется при одном из двух следуюш,их более сильных условий [c.230]

В связи с этими тремя условиями следует заметить, что их формулировка не предполагает усреднимости группы G, в силу чего их, если угодно, можно применять к неусреднимым группам, например к группе Лоренца. Все они так или иначе выражают стремление наблюдаемых А и В коммутировать, когда наблюдаемая Л удаляется от наблюдаемой В. [c.230]

Определение. Система, состоящая из описания (9 , ,( )), усреднимой группы симметрии G и инвариантного среднего т) на G, называется G-абелевой на состоянии ф из множества д, если [c.230]

Лемма. Пусть g->Ug—слабо непрерывное представление усреднимой группы G унитарными операторами, действующими в некотором гильбертовом пространстве Ж. Тогда для любого инвариантного среднего ц на G и любых векторов Ф, Ф из Ж справедливо соотношение [c.231]

Теорема 6. Пусть О — усреднимая группа симметрии в описании (Э1, ,( )). Для любого состояния ф из множества о рассмотрим ковариантное представление (Лф (Я), 7ф (С)), о котором говорилось в теореме 5. Пусть — оператор проектирования на подпространство пространства образованное всеми векторами, инвариантными относительно (О). Пусть далее [c.232]

Лемма. Пусть усреднимая группа G служит группой симметрии в описании (Я, , ( )) и т] — инвариантное среднее на О. Тогда для каждого ковариантного представления (л (Я), i/(G) ) существует отображение Tin, действующее из Ш в я Ш)"г и G) и такое, что [c.234]

Теорема 7. Пусть усреднимая группа С является группой симметрии в описании (Я, )). Для любого состояния фе д рассмотрим ковариантное представление (Яф(Я), и (0)), о котором говорится в теореме 5. Пусть т]ф — отображение, ассоциированное с ним по предыдущей лемме, и 31 — алгебра фон Неймана, порожденная представлением (Яф(Э1), и 0)). Тогда необ- [c.235]

Так же как и рассмотренные выше эквиваленты условия О-абелевости, новое условие не требует усреднимости группы О, что открывает возможности для использования его в релятивистских теориях. [c.240]

Следствие. Пусть ф — экстремальное состояние на G, инвариантное относительно действия а усреднимой группы G. Если вектор Ф из Жщ, канонически ассоциированный с ф, является в то же время циклическим относительно Яф(Я), то 1) система (Я, [c.244]

Теорема 14, Пусть ф — сепарабельное экстремальное состояние КМШ динамической системы 0i, , а . Если ф инвариантно относительно усреднимой группы симметрии G, действующей г -абелевым образом на ф, то возможна любая из двух следующих альтернатив [c.270]

Насколько известно автору, то обстоятельство, что проведение различия между группой симметрии О и эволюцией во времени не сказывается на доказательстве теоремы 14, было впервые отмечено Штермером [376]. Приведенное нами доказательство воспроизводит предложенное Штермером [380] доказательство следующего утверждения Пусть 3№— полуконечный фактор, действующий на некотором гильбертовом пространстве а — группа унитарных операторов на таких, что иШи = Ш для всех U Предположим, что существует единичный вектор Ч удовлетворяющий следующим условиям 1) вектор Ч — разделяющий для 3№ 2) множество W A совпадает с множеством векторов таких, что 1/Ф = Ф для всех Тогда фактор 3№ конечен со следом 5р(Л) = (Ч , для всех ЛеЗИ . Отметим, в частности, что Штермер в своем доказательстве не требует усреднимости группы G и лишь предполагает, что она действует П-абелевым образом. Это обеспечивает ему большую общность, что особенно ценно при рассмотрении релятивистских теорий поля, в которых, очевидно, условие КМШ на ф необходимо заменить предположением о том, что Ф — (циклический и) разделяющий вектор для фактора Яф (Я). Представленное нами несколько более простое доказательство остается в силе для статистической механики при допущениях, достаточно общих для того, чтобы охватывать все наиболее интересные случаи. [c.273]

III. Если пространство бесконечномерно, то существует усреднимая группа ii = g- унитарных преобразований [c.302]

В-третьих, условие т1-абелевости можно заменить более слабым условием О-абелевости (формулировка которого не требует усреднимости группы С см. теорему б из гл. 2, 2), если потребовать, чтобы группа О не обладала другими одномерными представлениями, кроме единичного, и если сверх того предположить, что вектор О — единственный с точностью до фазы. Чтобы показать это, мы можем, не ограничивая общности, принять, что пространство Ж является носителем представления и О) группы С, такого, что и д) а ) V ) = = ( [/]) для всех и всех Отсюда для любого [c.319]

Лемма. Пусть С — усреднимая группа симметрии в описании физической системы (3 , , ( )) (мы предполагаем, что группа С обладает ц-абелевостью)-, ф/ (/=1, 2) суть С-инвариантные состояния на 3 , причем ф] есть г -кластер] (лу (Э ), Uj (С) — ковариантное представление, ассоциированное с ф/ Ж, — пространство представления и Ф/ — соответствующий циклический вектор, Ц/ t) i — слабо непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов, действующих в пространстве Ж) и таких, что П Ц) Ф/ == Ф е К л[c.320]

Лемма. Пусть О — усреднимая группа симметрии в описании физической системы (3 , , ( )) [мы предполагаем, что группа О обладает ц-абелевостью)] (f Ц = , 2) суть О-инвариантные состояния на 3 , причем ф] есть ц-кластер (лу (Э ), П/ (С) — ковариантное представление, ассоциированное с ф/ <3 / — пространство представления и Ф/ — соответствующий циклический вектор-, [Ц] (/) и е К — слабо непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов, действующих в пространстве и таких, что 0 t) Ф] — Ф/ К (Э ), ир (С) — ковариантное представление, определенное для всякого 1 е К соотношениями [c.321]

Мы сначала дадим определение инвариантного среднего по группе. Затем рассмотрим проблему существования инвариантных средних на группе и для иллюстрации докажем, что евклидова группа в трехмерном пространстве усреднима. В заключение остановимся на некоторых свойствах инвариантных средних, которые могут иметь значение для физических приложений. [c.215]

Критерий 1. Группа О усреднима в том и только в том случае, если для любой конечной последовательности [ действительных функций из 6 (С) и любой конечной последовательности элементов группы О из неравенства 2] ( [/ ] — [c.217]

Теперь, пользуясь этим критерием, докажем ), что всякая абелева группа усреднима. Пусть и — абелева (топологическая) [c.217]

Предложение. Пусть G — локально компактная группа и — мера Хаара на ней. Тогда G усреднима, если для каждой [c.219]

Поскольку величина е>0 произвольна, мы имеем д О. Итак, критерий 1 выполнен и группа О усреднима. [c.219]

Приведенное только что предложение позволяет доказать усреднимость евклидовой группы трехмерного пространства. Эта группа, определяемая с физической точки зрения как группа 1Р всех преобразований трехмерного действительного [c.219]

Предложение. Локально компактная группа С с заданной на ней мерой Хаара усреднима в том и только в том случае, если для всякого компактного множества К и любых чисел е, 6> О существует компактное множество и изме- [c.220]

Для локально компактных групп было предложено много альтернативных определений усреднимости. Мы приведем здесь лишь те из них, которые наиболее тесно связаны с теорией [c.220]

Введенные нами обозначения и полученные результаты позволяют сформулировать (помимо критерия 1) следующие критерии усреднимости локально компактной группы G [c.223]

Ранее мы доказали, что всякая компактная группа и всякая абелева (локально компактная) группа усреднимы. Приведенные выше свойства делают понятной общую причину, по которой евклидова группа усреднима, и, кроме того, позволяют сделать вывод, что любая замкнутая подгруппа евклидовой группы также усреднима. [c.224]

Теорема 8. Пусть усреднимая групп2 О является группой симметрии в описании (9 , , ( )), а т] — инвариантное среднее на Тогда для каждого состояния ф е справедливы следующие утверждения [c.238]

Если группа О усреднима и рассматриваемая система т]-абелева при некотором среднем т] на О, то О есть большая группа симметрии этой системы. [c.240]

Следствие 3. Пусть ф — сепарабельное экстремальное состояние КМШ динамической системы (Я, , а , а О — группа симметрии в описании (0 , ( ) , такая, что-. 1) состояние ф О-ин-вариантно, 2) группа С усреднима и 3) группа С действует ц-абелевым образом на ф при некотором среднем у на О. Тогда Ф удовлетворяет девяти условиям теоремы 8 относительно группы О. [c.268]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...