Теорема Эмми Нётер

Теперь мы можем сформулировать теорему Эммы Нётер. Теорема Нётер. Пусть задана система движущихся в потенциальном поле материальных точек, имеющая лагранжиан L q, dq/dt, t), и пусть существует однопаражтрическое семейство преобразований (66), удовлетворяющее услот ям ° и 2°. Пусть, далее, лагранжиан L инвариантен по отношению к таким преобразованиям, т. е. новый лагранжиан L вычисленный по формуле (64)) не зависит от а и как функция q, dq ldi, t имеет совершенно такой же вид, как и старый лагранжиан L как функция q, dq/dt, t. Тогда существует функция Ф( , р, t), которая не изменяется во время движения этой системы, т. е. является первым интегралом движения. Эта функция имеет вид [c.287]

Проблема точного интегрирования уравнений динамики — одна из самых популярных тем исследования, начиная со знаменитых Математических начал натуральной философии Ньютона. Руководящей идеей в этом круге вопросов является общая идея симметрии. При решении задачи о центральном движении Ньютон уже использовал соображения симметрии факторизуя орбиты группы вращений, он свел эту задачу к изучению движения по прямой в потенциальном поле. Впоследствии Лагранж и Якоби заметили, что классические интегралы задачи многих гравитирующих тел связаны с инвариантностью уравнений движения относительно группы преобразований Галилея. Это фундаментальное наблюдение обобщено Эмми Нётер каждой группе преобразований, сохраняющих действие по Гамильтону, отвечает интеграл уравнений движения. Верно и обратное фазовый поток уравнений Гамильтона, в которых гамильтонианом служит известный интеграл, переводит решения исходных уравнений движения в решения тех же уравнений. На этой идее основано доказательство известной теоремы Лиувилля о полной интегрируемости уравнений Гамильтона фазовые потоки инволютивных интегралов попарно коммутируют и порождают абелеву группу симметрий максимально возможной размерности на многообразиях их совместных уровней. [c.6]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...